Lösta uppgifter i kinematik

Fysik lär du dig inte genom att läsa, bara genom att räkna. Här följer tretton exempel på rörelse, ordnade från sträcka och förflyttning via acceleration och fritt fall till centripetalacceleration. I de två sista växlar rörelsetyperna. Alla löser vi med samma metod: uppställning, omräkning av enheter, allmän lösning, insättning med enheter, uppskattning och svar i en hel mening. Försök först räkna ut varje exempel själv och läs lösningen efteråt.

Exempel 1: Klara går ut med hunden

Klara går med sin hund runt en kvadratisk park med sidan 120 m. Hon startar i ett hörn och går runt tre sidor av parken. Hur lång sträcka går hon och hur stor är hennes förflyttning?

Lösning:

$\begin{aligned} s & = ? (m) \\ | Δ \vec{r} | & = ? (m) \end{aligned}$

Sträckan är längden av banan, alltså tre sidor av parken:

$s = 3 \cdot 120 m = 360 m$

Förflyttningen är en pil från startpunkten till den punkt där hon slutade. Efter tre sidor av kvadraten står hon i hörnet som ligger intill startpunkten, så förflyttningen går längs den fjärde sidan:

$| Δ \vec{r} | = 120 m$

Klara gick 360 m, men hon är bara 120 m från den plats där hon började. Om hon hade gått runt hela parken hade hon gått 480 m och förflyttningen hade varit noll.

Exempel 2: Uppför och nedför

Elias cyklar uppför en kulle på en väg som är 3 km lång med hastigheten 12 km/h och samma väg tillbaka ner med hastigheten 36 km/h. Vilken är hans medelhastighet?

Lösning: Det är frestande att addera hastigheterna och dividera med två, då blir det 24 km/h. Men medelhastigheten är hela sträckan dividerad med hela tiden, och uppför tar det Elias mycket längre tid än nedför.

$\begin{aligned} s_{1} = s_{2} & = 3 km \\ v_{1} & = 12 km / h \\ v_{2} & = 36 km / h \\ v_{m} & = ? (km / h) \end{aligned}$

Allt har vi i kilometer och timmar, så omräkning behövs inte. Åktiderna är $t_{1} = \frac{s_{1}}{v_{1}}$ och $t_{2} = \frac{s_{2}}{v_{2}}$ , alltså

$v_{m} = \frac{s_{1} + s_{2}}{t_{1} + t_{2}} = \frac{s_{1} + s_{2}}{\frac{s_{1}}{v_{1}} + \frac{s_{2}}{v_{2}}} .$

Vi sätter in:

$\begin{aligned} v_{m} & = \frac{6 km}{\frac{3 km}{12 km / h} + \frac{3 km}{36 km / h}} \\ = \frac{6 km}{0, 25 h + \frac{1}{12} h} = \frac{6 km}{\frac{1}{3} h} = 18 km / h \end{aligned}$

Uppför cyklade Elias en kvart, nedför fem minuter. Hela sträckan klarade han på tjugo minuter, och den som kör 6 km på en tredjedels timme skulle köra 18 km på en timme. Elias medelhastighet var 18 km/h, inte 24 km/h.

Exempel 3: Ella går från stugan

En vandrarstuga ligger vid vägen 4 km bortom byn. Ella fortsätter därifrån, bort från byn, med den konstanta hastigheten 5 km/h. Hur långt från byn är hon efter 1 timme och 12 minuter?

Lösning:

$\begin{aligned} s_{0} & = 4 km \\ v & = 5 km / h \\ t & = 1 h 12 \min = 1, 2 h \\ s & = ? (km) \end{aligned}$

Se upp med omräkningen. Tolv minuter är inte 0,12 h, utan $\frac{12}{60} = 0, 2 h$ . Ella startar inte i byn utan 4 km från den, så till den tillryggalagda sträckan lägger vi startsträckan s₀, som vid likformig rörelse:

$s = s_{0} + v \cdot t = 4 km + 5 km / h \cdot 1, 2 h = 10 km$

Kilometer per timme gånger timmar ger kilometer, det stämmer. På en timme går Ella 5 km, på 1,2 h en femtedel mer, alltså 6 km, och med stugan blir det tio. Ella är 10 km från byn. Den som skulle sätta in 1,12 h skulle få 9,6 km.

Exempel 4: Noah springer ikapp mamma

Mamma går hemifrån med en barnvagn med hastigheten 4 km/h. Efter en kvart upptäcker Noah att hon har glömt nycklarna och springer efter henne längs samma väg med hastigheten 10 km/h. Efter hur lång tid kommer han ikapp henne, och hur långt från huset?

Lösning:

$\begin{aligned} v_{1} & = 4 km / h \\ v_{2} & = 10 km / h \\ t_{0} & = 15 \min = 0, 25 h \\ t & = ? (h) \end{aligned}$

Efter en kvart har mamma ett försprång på s₀ = v₁ · t₀ = 4 km/h · 0,25 h = 1 km. När någon hinner ikapp en annan minskar avståndet med skillnaden mellan hastigheterna:

$\begin{aligned} t & = \frac{s_{0}}{v_{2} - v_{1}} = \frac{1 km}{10 km / h - 4 km / h} \\ = \frac{1}{6} h = 10 \min \end{aligned}$

Under den tiden springer Noah

$s = v_{2} \cdot t = 10 km / h \cdot \frac{1}{6} h \approx 1, 67 km .$

Kontroll: mamma går i 15 + 10 = 25 minuter, alltså $\frac{25}{60}$ timme, och hon går $4 \cdot \frac{25}{60} \approx 1, 67 km$ . Det stämmer. Noah hinner ikapp mamma tio minuter efter att han sprungit iväg, ungefär 1,7 km hemifrån.

Exempel 5: Geparden

En gepard accelererar från stillastående till 72 km/h på 2,5 s. Vilken medelacceleration har den? Och vilken acceleration har den sedan, när den stannar från den hastigheten på 4 s?

Lösning:

$\begin{aligned} v_{0} & = 0 m / s \\ v & = 72 km / h = 20 m / s \\ Δ t & = 2, 5 s \\ a & = ? ({m / s}^{2}) \end{aligned}$

Enligt formeln för acceleration:

$a = \frac{v - v_{0}}{Δ t} = \frac{20 m / s - 0 m / s}{2, 5 s} = 8 {m / s}^{2}$

Geparden har accelerationen 8 m/s², varje sekund blir den 8 m/s snabbare. En familjebil som går från noll till hundra på tio sekunder har knappt 3 m/s², så geparden skulle lätt besegra den vid starten.

När geparden stannar sjunker hastigheten från 20 m/s till noll på 4 s:

$a = \frac{0 m / s - 20 m / s}{4 s} = - 5 {m / s}^{2}$

Vi tar löpriktningen som positiv riktning, så negativ acceleration betyder inbromsning. När geparden stannar har den accelerationen −5 m/s², alltså retardationen 5 m/s².

Exempel 6: Hur lång startbana behöver flygplanet

Ett passagerarflygplan accelererar från stillastående med den konstanta accelerationen 2 m/s² och lyfter från marken vid hastigheten 252 km/h. Hur lång del av banan behöver det, och hur länge accelererar det?

Lösning:

$\begin{aligned} v_{0} & = 0 m / s \\ a & = 2 {m / s}^{2} \\ v & = 252 km / h = 70 m / s \\ s & = ? (m), t = ? (s) \end{aligned}$

Tiden känner vi inte, därför passar sambandet utan tid $v^{2} = v_{0}^{2} + 2 a s$ . För en start från stillastående löser vi ut sträckan:

$s = \frac{v^{2}}{2 a} = \frac{(70 m / s)^{2}}{2 \cdot 2 {m / s}^{2}} = \frac{4900 m^{2} {/ s}^{2}}{4 {m / s}^{2}} = 1225 m$

Tiden för starten räknar vi ut ur v = a · t:

$t = \frac{v}{a} = \frac{70 m / s}{2 {m / s}^{2}} = 35 s$

Kontroll med medelhastigheten: vid en start från stillastående är den hälften av sluthastigheten, 35 m/s, och på 35 s ger det 35 m/s · 35 s = 1225 m. Flygplanet accelererar i 35 s och behöver över 1,2 km bana. Därför har stora flygplatser startbanor på flera kilometer, med marginal för en avbruten start.

Exempel 7: Rådjuret på våt väg

En bilförare kör på våt väg med hastigheten 60 km/h och ser ett rådjur 40 m framför sig. Reaktionen tar 1 s, och på våt asfalt bromsar bilen med retardationen 5 m/s². Hinner bilen stanna?

Lösning:

$\begin{aligned} v & = 60 km / h = \frac{60}{3, 6} m / s = \frac{50}{3} m / s \\ t_{r} & = 1 s \\ | a | & = 5 {m / s}^{2} \\ s & = ? (m) \end{aligned}$

Hastigheten låter vi vara ett bråk, så att vi inte avrundar mellanresultat. Hela sträckan är reaktionssträcka plus bromssträcka:

$s = s_{r} + s_{b} = v \cdot t_{r} + \frac{v^{2}}{2 \cdot | a |}$

Vi sätter in varje del för sig:

$\begin{aligned} s_{r} & = \frac{50}{3} m / s \cdot 1 s \approx 16, 7 m \\ s_{b} & = \frac{{(\frac{50}{3} m / s)}^{2}}{2 \cdot 5 {m / s}^{2}} = \frac{250}{9} m \approx 27, 8 m \end{aligned}$

Sammanlagt blir det $\frac{400}{9} m \approx 44, 4 m$ . Bilen hinner inte stanna, den skulle stanna först ungefär 4 m bortom den plats där rådjuret står. På torr väg med retardationen 7 m/s² skulle 36,5 m räcka, så på våt väg lönar det sig att köra långsammare.

Exempel 8: Sten från en bro

Från en bro släpper vi en sten som slår i ån efter 1,5 s. Hur högt över vattenytan ligger bron, och med vilken hastighet slår stenen i vattnet? Luftmotståndet försummar vi. Hur länge skulle stenen falla från en bro som är dubbelt så hög?

Lösning:

$\begin{aligned} t & = 1, 5 s \\ g & = 9, 81 {m / s}^{2} \\ h & = ? (m), v = ? (m / s) \end{aligned}$

Det är fritt fall, och vi väljer nedåt som positiv riktning:

$h = \frac{1}{2} g t^{2} = \frac{1}{2} \cdot 9, 81 {m / s}^{2} \cdot (1, 5 s)^{2} \approx 11 m$

$v = g \cdot t = 9, 81 {m / s}^{2} \cdot 1, 5 s \approx 14, 7 m / s$

Det är ungefär 53 km/h. En uppskattning med g ≈ 10 m/s² ger $\frac{1}{2} \cdot 10 \cdot 2, 25 \approx 11 m$ , det stämmer. Bron ligger ungefär 11 m över vattnet och stenen slår i med ungefär 15 m/s.

Dubbel höjd betyder inte dubbel tid. Ur $t = \sqrt{\frac{2 h}{g}}$ ser vi att dubbel höjd förlänger falltiden bara $\sqrt{2}$ gånger:

$t^{'} = \sqrt{2} \cdot 1, 5 s \approx 2, 1 s$

Exempel 9: Drönare i sidvind

En drönare flyger med hastigheten 12 m/s i förhållande till luften och har nosen riktad rakt mot norr. Det blåser en östlig vind, alltså luften rör sig mot väster, med hastigheten 5 m/s. Hur fort rör sig drönaren i förhållande till marken, och med vilken vinkel avviker den från norr?

Lösning:

$\begin{aligned} v_{1} & = 12 m / s \\ v_{2} & = 5 m / s \\ v & = ? (m / s), α = ? \end{aligned}$

Drönaren rör sig på två sätt: den flyger i förhållande till luften, och luften för den med sig. Den resulterande hastigheten är deras vektorsumma, och eftersom de båda hastigheterna är vinkelräta använder vi Pythagoras sats:

$\begin{aligned} v & = \sqrt{v_{1}^{2} + v_{2}^{2}} = \sqrt{(12 m / s)^{2} + (5 m / s)^{2}} \\ = 13 m / s \end{aligned}$

Vinkeln från norr får vi ur den rätvinkliga triangeln av hastigheter, där vindens hastighet är den motstående kateten och den resulterande hastigheten hypotenusan:

$\sin α = \frac{v_{2}}{v} = \frac{5}{13} \approx 0,385, α \approx 22, 6 °$

En enkel addition skulle ge 17 m/s, men hastigheterna har inte samma riktning. Resultatet måste vara större än 12 m/s och mindre än 17 m/s, och det är 13 m/s. Drönaren flyger med 13 m/s i förhållande till marken, och vinden vrider den ungefär 23° från norr mot väster. På en minut driver den 300 m åt sidan.

Exempel 10: Pariserhjulet

Pariserhjulet på tivolit har radien 20 m och ett varv tar 4 min. Vilken frekvens och vinkelhastighet har det, och med vilken hastighet rör sig en gondol på kanten?

Lösning:

$\begin{aligned} r & = 20 m \\ T & = 4 \min = 240 s \\ f & = ? (Hz), ω = ? (rad / s), v = ? (m / s) \end{aligned}$

Frekvensen är det inverterade värdet av perioden:

$f = \frac{1}{T} = \frac{1}{240 s} \approx 0,004 2 Hz$

Vinkelhastigheten anger hela vinkeln 2π per period:

$ω = \frac{2 π}{T} = \frac{2 π}{240 s} \approx 0,026 rad / s$

Gondolens hastighet:

$v = ω \cdot r = \frac{2 π \cdot r}{T} = \frac{2 π \cdot 20 m}{240 s} \approx 0, 52 m / s$

På ett varv färdas gondolen hjulets omkrets, ungefär 126 m, på fyra minuter. Det är ungefär 1,9 km/h, en långsam promenad. Därför skulle man kunna kliva in i gondolen medan hjulet snurrar, som vid stora utsiktshjul.

Exempel 11: Centrifug för piloter

En träningscentrifug för piloter har en kabin på en arm som är 8 m lång. Hur många varv per minut måste den rotera för att kabinen ska få centripetalaccelerationen 6g, alltså sex gånger så stor som tyngdaccelerationen?

Lösning:

$\begin{aligned} r & = 8 m \\ a_{c} & = 6 \cdot 9, 81 {m / s}^{2} = 58, 86 {m / s}^{2} \\ f & = ? (Hz) \end{aligned}$

Ur formeln för centripetalacceleration a_c = ω² · r löser vi först ut vinkelhastigheten och sedan frekvensen:

$\begin{array}{rcl} ω^{2} \cdot r & = & a_{c} / : r \\ ω & = & \sqrt{\frac{a_{c}}{r}} \\ f & = & \frac{ω}{2 π} = \frac{1}{2 π} \sqrt{\frac{a_{c}}{r}} \end{array}$

Enheter: $\sqrt{\frac{{m / s}^{2}}{m}} = \frac{1}{s}$ , det stämmer. Vi sätter in:

$f = \frac{1}{2 π} \sqrt{\frac{58, 86 {m / s}^{2}}{8 m}} \approx 0, 43 Hz$

På en minut blir det 0,432 · 60 ≈ 26 varv. Ett varv tar ungefär 2,3 s, och kabinen rusar med hastigheten v = ω · r ≈ 21,7 m/s, nästan 80 km/h. Centrifugen måste rotera ungefär 26 varv per minut.

Exempel 12: Tunnelbanan mellan stationerna

Ett tunnelbanetåg startar från en station med accelerationen 1,2 m/s² i 15 s, kör sedan med konstant hastighet i 30 s och bromsar till sist med retardationen 1,5 m/s² tills det stannar vid nästa station. Hur långt är det mellan stationerna, och vilken medelhastighet har tåget?

Lösning: Vi delar upp färden i tre avsnitt och använder i vart och ett formlerna för en rörelsetyp.

$\begin{aligned} a_{1} & = 1, 2 {m / s}^{2}, t_{1} = 15 s \\ t_{2} & = 30 s \\ | a_{3} | & = 1, 5 {m / s}^{2} \\ s & = ? (m), v_{m} = ? (m / s) \end{aligned}$

Starten från stillastående. Vid slutet av den har tåget hastigheten

$v = a_{1} \cdot t_{1} = 1, 2 {m / s}^{2} \cdot 15 s = 18 m / s$

och har kört

$s_{1} = \frac{1}{2} a_{1} t_{1}^{2} = \frac{1}{2} \cdot 1, 2 {m / s}^{2} \cdot (15 s)^{2} = 135 m .$

Färden med konstant hastighet 18 m/s, alltså ungefär 65 km/h:

$s_{2} = v \cdot t_{2} = 18 m / s \cdot 30 s = 540 m$

Inbromsningen från 18 m/s till stillastående:

$\begin{aligned} t_{3} & = \frac{v}{| a_{3} |} = \frac{18 m / s}{1, 5 {m / s}^{2}} = 12 s \\ s_{3} & = \frac{v^{2}}{2 \cdot | a_{3} |} = \frac{(18 m / s)^{2}}{2 \cdot 1, 5 {m / s}^{2}} = 108 m \end{aligned}$

Sammanlagt:

$\begin{aligned} s & = 135 m + 540 m + 108 m = 783 m \\ t & = 15 s + 30 s + 12 s = 57 s \\ v_{m} & = \frac{s}{t} = \frac{783 m}{57 s} \approx 13, 7 m / s \end{aligned}$

Det är ungefär 780 m mellan stationerna, och tåget klarar sträckan på knappt en minut med medelhastigheten ungefär 49 km/h. Den högsta hastigheten 65 km/h håller det bara ungefär halva tiden, därför är medelhastigheten märkbart lägre. Ett avstånd på ungefär en kilometer är normalt för en tunnelbana i en stad.

Exempel 13: Avläsning av graf

Grafen visar hastigheten för Filips elsparkcykel under tolv sekunder. Vilken acceleration hade sparkcykeln i de olika avsnitten, vilken sträcka körde den under hela tiden och vilken var dess medelhastighet?

Graf över hastigheten v som funktion av tiden t: från 0 till 4 s ökar den från 4 till 8 m/s, från 4 till 10 s är den konstant, från 10 till 12 s sjunker den till noll

Lösning: Ur grafen läser vi av hastigheten i de punkter där rörelsetypen ändras: i början 4 m/s, vid tiden 4 s redan 8 m/s, vid tiden 10 s fortfarande 8 m/s och vid tiden 12 s noll. Accelerationen är hastighetsändringen dividerad med tiden:

$\begin{aligned} a_{1} & = \frac{8 m / s - 4 m / s}{4 s} = 1 {m / s}^{2} \\ a_{2} & = 0 {m / s}^{2} \\ a_{3} & = \frac{0 m / s - 8 m / s}{2 s} = - 4 {m / s}^{2} \end{aligned}$

Det syns i grafen även utan räkning: ju brantare avsnitt, desto större belopp har accelerationen. Ett stigande avsnitt betyder positiv acceleration, ett vågrätt noll och ett fallande negativ: i det tredje avsnittet har sparkcykeln accelerationen −4 m/s², alltså retardationen 4 m/s².

Sträckan är arean under hastighetsgrafen. Det första avsnittet bildar ett parallelltrapets, det andra en rektangel och det tredje en triangel:

$\begin{aligned} s_{1} & = \frac{4 m / s + 8 m / s}{2} \cdot 4 s = 24 m \\ s_{2} & = 8 m / s \cdot 6 s = 48 m \\ s_{3} & = \frac{1}{2} \cdot 8 m / s \cdot 2 s = 8 m \end{aligned}$

Sammanlagt s = 80 m på 12 s, och medelhastigheten är

$v_{m} = \frac{s}{t} = \frac{80 m}{12 s} \approx 6, 7 m / s .$

Kontroll: medelhastigheten måste ligga mellan noll och den högsta hastigheten 8 m/s, och eftersom sparkcykeln körde med åtta meter per sekund det mesta av tiden ligger medelhastigheten närmare den. Sparkcykeln hade i tur och ordning accelerationerna 1 m/s², noll och −4 m/s², körde 80 m och hade medelhastigheten ungefär 6,7 m/s, alltså 24 km/h.

Med samma metod kan man också lösa uppgifter där krafter förekommer. Dem hittar du i artikeln Lösta uppgifter i dynamik.

« Föregående: Tröghetskrafter

Nästa: Lösta uppgifter i dynamik »