運動の合成

動いているエスカレーターを歩いて上るとき、2つの運動を同時にしています。足で段の上を進み、同時に段が上へ運んでくれます。川のボートは水に対して進み、同時に水がボートをずっと押し流しています。全体としての運動は、それぞれの運動を合成して求めます。これは、それぞれの速度をベクトル、つまり矢印として足し合わせることです。

エスカレーターを歩く

地下鉄のエスカレーターが速さ v₂ = 0.5 m/s で上っていて、その上を速さ v₁ = 1 m/s で歩き始めます。この速さは段に対して測ったもので、ふつうの階段を歩き出すときと同じ速さです。段が足の下で勝手に動いていくので、駅に対してはもっと速く進みます。2本の矢印は同じ向きなので、大きさをそのまま足します。

$$v=v_1+v_2=1\mathrm{m}/\mathrm{s}+0.5\mathrm{m}/\mathrm{s}=1.5\mathrm{m}/\mathrm{s}$$

1秒ごとに段の上を1 m進み、そのうえ段がさらに50 cm運んでくれます。エスカレーターの長さが s = 30 m なら、上に着くまでの時間は次のとおりです。

$$t=\frac{s}{v}=\frac{30\mathrm{m}}{1.5\mathrm{m}/\mathrm{s}}=20\mathrm{s}.$$

その場に立っているだけなら、$\frac{30\mathrm{m}}{0.5\mathrm{m}/\mathrm{s}}=60\mathrm{s}$、まる1分かかります。

今度は、下りのエスカレーターに乗って、同じ歩き方で上へ向かって歩くとします。矢印は互いに逆向きなので、大きさを引きます。

$$v=v_1-v_2=1\mathrm{m}/\mathrm{s}-0.5\mathrm{m}/\mathrm{s}=0.5\mathrm{m}/\mathrm{s}$$

上には着けますが、30 mを進むのにやはりまる1分かかります。1秒に50 cmしか歩かなければ、その場で足踏みしているのと同じです。さらにゆっくり歩けば、エスカレーターにゆっくりと、しかし確実に下へ運ばれていきます。

では、実際にはどれだけの速さで歩いているのでしょうか。正しい答えは2つあります。段に対しては 1 m/s、駅に対しては 1.5 m/s または 0.5 m/s です。どちらになるかは座標系、つまり運動を何に対して表すかによって決まります。

エスカレーターでは2本の矢印が1本の直線上にあるので、大きさを足すか引くかすれば十分です。もっとおもしろいのは、2つの運動がそれぞれ別の方向を向いているときです。

川を渡るボート

川幅は d = 60 m で、流れの速さは v₂ = 1 m/s です。静水上での速さが v₁ = 2 m/s のボートが岸を離れます。こぎ手はへさきを向こう岸に垂直に向け、ずっとその向きを保ちます。ボートは出発した地点の真向かいに着くでしょうか。わかっている量を書き出します。

$$\begin{array}{rl}d& =60\mathrm{m}\\ v_1& =2\mathrm{m}/\mathrm{s}\\ v_2& =1\mathrm{m}/\mathrm{s}\end{array}$$

真向かいには着きません。ボートが川を横切って進んでいる間も、その下の水は流れていて、ボートをいっしょに運んでいきます。へさきはずっと岸に垂直な向きを向いていますが、ボートは斜めに進み、少し下流に着きます。アニメーションを見るとよくわかります。ボートはへさきが向いている方向へ進むわけではありません。へさきが示すのは、水に対してボートが進む向きです。では、流れはボートを何メートル下流へ運ぶのでしょうか。

運動はじゃまし合わない

計算のかぎは運動の独立性です。物体がいくつかの運動を同時に行うとき、それぞれの運動はほかの運動がないかのように進みます。物体は、運動を1つずつ順に行った場合と同じ場所に着きます。

ボートで2段階に分けて考えてみましょう。まず、水が止まっていて、こぎ手が30秒間こぐと考えます。ボートはまっすぐ川を横切り、真向かいで止まります。次に、こぐのをやめて30秒間流れに身をまかせると、ボートは岸に沿って運ばれます。ボートが着くのは、両方を同時に行ったときに着く場所とまったく同じです。実際には2つの運動が同時に起こるのでボートは斜めに進みますが、どちらの運動ももう一方を遅らせることはありません。

ボートの場合は、このことを簡単に思い描けます。水に対しては、池の上と同じように、まっすぐ垂直に横切っています。流れは、ボートを乗せた水のかたまり全体を下流へずらしていくだけです。エスカレーターが、乗っている人ごと段を動かしていくのと同じです。そのため、ボートを横切る向きに進ませるのは、ボート自身の速さ 2 m/s だけです。流れは岸に沿った向きなので、川を渡るのを助けもじゃましもしません。したがって、渡るのにかかる時間は、川幅と横切る向きの速さだけで決まります。

$$t=\frac{d}{v_1}=\frac{60\mathrm{m}}{2\mathrm{m}/\mathrm{s}}=30\mathrm{s}$$

この30秒間ずっと、流れはボートを 1 m/s で運びます。ボートが着く地点が真向かいからどれだけ下流にずれるかを、流される距離とよびます。

$$x=v_2\cdot t=1\mathrm{m}/\mathrm{s}\cdot 30\mathrm{s}=30\mathrm{m}$$

ボートは、真向かいの地点から30 m下流に着きます。横切る向きに2 m進むごとに、流れが岸に沿って1 mずらすので、航跡は直線になります。川の流れが2倍の速さなら、ボートはやはり30秒で向こう岸に着きますが、目標から60 mも離れた所になります。

岸に対して、ボートはどれだけの速さで動いているでしょうか。合成速度はベクトルの和です。

$$\overrightarrow{v}={\overrightarrow{v}}_1+{\overrightarrow{v}}_2.$$

2本の矢印の始点を1点にそろえ、平行四辺形をつくると、合成速度はその対角線になります。2本の矢印は互いに垂直なので、図の左側のように、この平行四辺形は長方形です。合成速度の大きさは三平方の定理で求められます。

$$\begin{array}{rl}v& =\sqrt{v_1^2+v_2^2}=\sqrt{(2\mathrm{m}/\mathrm{s}{)}^2+(1\mathrm{m}/\mathrm{s}{)}^2}\\ & =\sqrt{5{\mathrm{m}}^2{/\mathrm{s}}^2}\fallingdotseq 2.24\mathrm{m}/\mathrm{s}\end{array}$$

岸に対しては静水上よりも速く進みますが、その余分な速さは、ボートを望まない方向へ運んでいきます。速さをふつうの数のように 2 m/s + 1 m/s = 3 m/s と足すのはまちがいです。そのように足せるのは、エスカレーターのように同じ向きを向いた矢印だけです。

この結果は別の方法でも確かめられます。30 s の間に、ボートは速さ $\sqrt{5{\mathrm{m}}^2{/\mathrm{s}}^2}$ で、斜めの道のりをおよそ 67.1 m 進みます。川幅と流される距離がつくる三角形の斜辺も、同じ長さです。

$$\sqrt{(60\mathrm{m}{)}^2+(30\mathrm{m}{)}^2}=\sqrt{\mathrm{4,500}{\mathrm{m}}^2}\fallingdotseq 67.1\mathrm{m}$$

合っています。ボートは30秒で川を渡り、その間、岸に対しておよそ 2.24 m/s で動き、30 m下流に着きます。

真向かいに着くには

ちょうど真向かいに着くには、こぎ手はボートを上流に向けて斜めに進めなければなりません。するとボートの速度の一部が流れに打ち勝ち、残りがボートを川を横切る向きに進めます。図の右側のように、合成速度 $\overrightarrow{v}$ がまっすぐ向こう岸を向くようにするのです。

右の図で、赤い矢印、緑の矢印、上の破線がつくる三角形を見てください。破線は平行四辺形の向かい合う辺なので、流れの矢印と同じ長さで、しかも平行です。そのため、下の流れの矢印と同じように、緑の矢印と直角をなします。斜辺はボートの速さ v₁ で、角 α の対辺は流れの速さ v₂ です。したがって、次の式が成り立ちます。

$$\sin \alpha =\frac{v_2}{v_1}=\frac{1\mathrm{m}/\mathrm{s}}{2\mathrm{m}/\mathrm{s}}=\frac{1}{2}.$$

sin の値が2分の1になるのは、角が 30° のときです。こぎ手は、ボートを岸に垂直な向きから上流へ 30° 傾けなければなりません。

ボートの速度を垂直な2つの成分に分解しても、同じ結果になります。一方の成分は上流向きで大きさ v₁ · sin α、もう一方は川を横切る向きで大きさ v₁ · cos α です。ボートが真向かいへ進むには、上流向きの成分が流れとちょうどつり合わなければならず、v₁ · sin α = v₂ が成り立つ必要があります。両辺を速さ v₁ で割ると、やはり $\sin \alpha =\frac{1}{2}$ になります。このとき流れはボートをどこへも流さず、川を横切る運動だけが残ります。

川を横切る向きの速さはもう一方の直角をはさむ辺なので、三平方の定理で求めます。

$$\begin{array}{rl}v& =\sqrt{v_1^2-v_2^2}=\sqrt{(2\mathrm{m}/\mathrm{s}{)}^2-(1\mathrm{m}/\mathrm{s}{)}^2}\\ & =\sqrt{3{\mathrm{m}}^2{/\mathrm{s}}^2}\fallingdotseq 1.73\mathrm{m}/\mathrm{s}\end{array}$$

v₁ · cos α = 2 m/s · cos 30° としても同じ値になります。ここで運動の独立性がもう一度役に立ちます。渡るのにかかる時間は横切る向きの速さだけで決まり、その速さは前より小さくなったので、渡るのに時間がかかります。

$$t=\frac{d}{v}=\frac{60\mathrm{m}}{\sqrt{3{\mathrm{m}}^2{/\mathrm{s}}^2}}\fallingdotseq 34.6\mathrm{s}$$

まっすぐ渡る道のりのほうが短いのに、5秒近くも長くかかります。川を泳ぐ人のように、できるだけ早く向こう岸に着きたいなら、垂直な向きをめざし、流されるのはあきらめるべきです。真向かいの桟橋に着きたいなら、上流に向けて進み、時間が長くかかるのはあきらめなければなりません。

横風の中を飛ぶパイロットも、同じ方法を知っています。飛行機は、地面に対してまっすぐ目的地へ進むように、機首を少し風上に向けて飛びます。そのため、強い横風の中で着陸するとき、飛行機は横向きのような姿勢で滑走路に近づき、地面のすぐ上で向きをまっすぐに直します。

もう1つ落とし穴があります。流れがボートより速いと、sin の値が1より大きくなってしまいますが、そのような角は存在しません。流れがボートと同じ速さなら、ボートはまっすぐ上流を向くしかなく、川を横切る向きにはまったく進めません。流れはどの向きをめざしてもボートを流してしまいます。流れがボートよりわずかに遅いだけでも、こぎ手はほとんど上流を向かなければならず、川を横切る向きにはカタツムリのような速さでしか進めません。

走る車から見る斜めの雨

外は土砂降りで、風はないので雨粒はまっすぐ下に落ちています。大きな雨粒の速さはおよそ 9 m/s です。車が止まっているとき、窓からは縦の線が見えます。ところが走り出したとたん、横の窓の外の雨粒は斜め後ろへ飛んでいくように見え、速く走るほどその傾きは大きくなります。

これを車とともに動く座標系で表してみましょう。車から見ると、木も家も雨粒も、景色全体が後ろへ動いていきます。そのため、それぞれの雨粒は2つの運動をしています。速さ 9 m/s で下に落ちながら、同時に車の速さで後ろへ動いているのです。合成速度はこの2つのベクトルの和で、後ろ斜め下を向きます。

車も 9 m/s、つまり約 32 km/h で走っているなら、2本の矢印は同じ長さで互いに垂直です。合成速度は正方形の対角線になるので、雨粒は 45° の角度で落ちていきます。高速道路では水平の矢印が鉛直の矢印の何倍も長くなり、雨粒はほとんど水平に飛んでいきます。

この考え方は逆にも使えます。32 km/h で走っているとき、雨粒の跡がちょうど 45° の角度に見えたなら、雨粒は自分が走るのと同じ速さで落ちていることがわかります。スピードメーターと雨の跡の傾きから、車を降りずに雨の落ちる速さを見積もれるのです。

雨の中を車で走ると、フロントガラスにはいちばん多く雨がかかりますが、リアガラスにはあまり雨粒が当たりません。雨の中を走る人がみな傘を前に傾けるのも同じ理由です。走る人の座標系では、雨粒が斜め前から落ちてくるからです。停留所に立っている人は、雨粒が真上から落ちてくるので、傘をまっすぐに持ちます。

雨粒がフロントガラスに当たる速さも合成されます。32 km/h のとき、その速さは1辺 9 m/s の正方形の対角線で、$\sqrt{2}\cdot 9\mathrm{m}/\mathrm{s}\fallingdotseq 12.7\mathrm{m}/\mathrm{s}$ です。雨の中を速く走ると、雨粒がガラスにあれほど大きな音を立てて当たるのはこのためです。

ここまで、ボートも車も雨粒も直線上を動いていました。しかし回転木馬の馬や時計の針の先は、ぐるぐると回ります。円周上の運動をどう表すか、周期、回転数、ラジアンとは何か、そしてなぜ回転木馬の外側は中心の近くよりも速く動くのかは、次の記事等速円運動で見ていきます。