Çözümlü Kinematik Örnekleri

Fiziği okuyarak değil, hesap yaparak öğrenirsin. Aşağıda hareketle ilgili on üç örnek var; alınan yol ve yer değiştirmeden ivme ve serbest düşme üzerinden merkezcil ivmeye kadar sıralandılar. Son ikisinde hareket türleri art arda geliyor. Hepsini aynı yöntemle çözüyoruz: yazılış, birim dönüşümü, genel çözüm, birimli yerine koyma, tahmin ve tam cümleyle cevap. Her örneği önce kendin çözmeye çalış, çözümü ancak sonra oku.

Örnek 1: Ceren Köpeğini Gezdiriyor

Ceren köpeğiyle kenarı 120 m olan kare şeklindeki bir parkın çevresinde dolaşıyor. Bir köşeden yola çıkıp parkın üç kenarını dolaşıyor. Aldığı yol nedir ve yer değiştirmesi ne kadardır?

Çözüm:

$\begin{aligned} s & = ? (m) \\ | Δ \vec{r} | & = ? (m) \end{aligned}$

Alınan yol yörüngenin uzunluğudur, yani parkın üç kenarının uzunluğu:

$s = 3 \cdot 120 m = 360 m$

Yer değiştirme başlangıç noktasından bittiği noktaya çizilen oktur. Karenin üç kenarından sonra başlangıç köşesine komşu köşede durur, yani yer değiştirme dördüncü kenar boyunca uzanır:

$| Δ \vec{r} | = 120 m$

Ceren 360 m yürüdü, ama yola çıktığı yerden yalnızca 120 m uzakta. Parkı baştan sona dolaşsaydı 480 m yürümüş olurdu ve yer değiştirmesi sıfır olurdu.

Örnek 2: Yokuş Yukarı ve Yokuş Aşağı

Mert bisikletiyle 3 km uzunluğundaki yoldan 12 km/h süratle tepeye çıkıyor ve aynı yoldan 36 km/h süratle iniyor. Ortalama sürati nedir?

Çözüm: Süratleri toplayıp ikiye bölmek cazip geliyor, 24 km/h çıkardı. Ama ortalama sürat toplam yolun toplam süreye bölümüdür ve Mert yokuş yukarı çok daha uzun süre gidiyor.

$\begin{aligned} s_{1} = s_{2} & = 3 km \\ v_{1} & = 12 km / h \\ v_{2} & = 36 km / h \\ v_{ort} & = ? (km / h) \end{aligned}$

Her şey kilometre ve saat cinsinden, dönüşüm gerekmiyor. Gidiş süreleri $t_{1} = \frac{s_{1}}{v_{1}}$ ve $t_{2} = \frac{s_{2}}{v_{2}}$ , yani

$v_{ort} = \frac{s_{1} + s_{2}}{t_{1} + t_{2}} = \frac{s_{1} + s_{2}}{\frac{s_{1}}{v_{1}} + \frac{s_{2}}{v_{2}}} .$

Yerine koyarız:

$\begin{aligned} v_{ort} & = \frac{6 km}{\frac{3 km}{12 km / h} + \frac{3 km}{36 km / h}} \\ = \frac{6 km}{0, 25 h + \frac{1}{12} h} = \frac{6 km}{\frac{1}{3} h} = 18 km / h \end{aligned}$

Mert yukarı çıkarken çeyrek saat, inerken beş dakika harcadı. Bütün yolu yirmi dakikada aldı ve 6 km’yi saatin üçte birinde alan biri, bir saatte 18 km alırdı. Mert’in ortalama sürati 18 km/h’tir, 24 km/h değil.

Örnek 3: Hande Dağ Evinden Yürüyor

Yürüyüş yolundaki dağ evi, köyün 4 km ilerisinde. Hande oradan köyden uzaklaşarak sabit 5 km/h süratle yürümeye devam ediyor. 1 saat 12 dakika sonra köyden ne kadar uzakta olur?

Çözüm:

$\begin{aligned} s_{0} & = 4 km \\ v & = 5 km / h \\ t & = 1 h 12 \min = 1, 2 h \\ s & = ? (km) \end{aligned}$

Dönüşüme dikkat. On iki dakika 0,12 h değil, $\frac{12}{60} = 0, 2 h$ ’tir. Hande köyden değil, köyden 4 km uzaktan yola çıkıyor, bu yüzden aldığı yola düzgün doğrusal hareketteki gibi başlangıç yolu s₀’ı ekleriz:

$s = s_{0} + v \cdot t = 4 km + 5 km / h \cdot 1, 2 h = 10 km$

Saatte kilometre çarpı saat kilometre verir, uyuyor. Hande bir saatte 5 km yürür, 1,2 h’te beşte bir fazlasını, yani 6 km, dağ evi de eklenince on eder. Hande köyden 10 km uzakta olur. 1,12 h yerine koyan 9,6 km bulurdu.

Örnek 4: Kerem Annesini Yakalıyor

Kerem’in annesi bebek arabasıyla evden 4 km/h süratle çıkıyor. Çeyrek saat sonra Kerem annesinin anahtarları unuttuğunu fark ediyor ve aynı yoldan 10 km/h süratle koşarak peşinden gidiyor. Onu ne kadar sürede ve evden ne kadar uzakta yakalar?

Çözüm:

$\begin{aligned} v_{1} & = 4 km / h \\ v_{2} & = 10 km / h \\ t_{0} & = 15 \min = 0, 25 h \\ t & = ? (h) \end{aligned}$

Çeyrek saat sonra anne s₀ = v₁ · t₀ = 4 km/h · 0,25 h = 1 km öndedir. Yakalamada aradaki mesafe süratlerin farkı kadar kısalır:

$\begin{aligned} t & = \frac{s_{0}}{v_{2} - v_{1}} = \frac{1 km}{10 km / h - 4 km / h} \\ = \frac{1}{6} h = 10 \min \end{aligned}$

Bu sürede Kerem şu kadar koşar:

$s = v_{2} \cdot t = 10 km / h \cdot \frac{1}{6} h \approx 1, 67 km .$

Doğrulama: anne 15 + 10 = 25 dakika, yani $\frac{25}{60}$ saat yürür ve $4 \cdot \frac{25}{60} \approx 1, 67 km$ gider. Uyuyor. Kerem annesini yola çıktıktan on dakika sonra, evden yaklaşık 1,7 km uzakta yakalar.

Örnek 5: Çita

Çita durgun hâlden 2,5 s’de 72 km/h hıza çıkıyor. Ortalama ivmesi nedir? Bu hızdan 4 s’de durursa ivmesi ne olur?

Çözüm:

$\begin{aligned} v_{0} & = 0 m / s \\ v & = 72 km / h = 20 m / s \\ Δ t & = 2, 5 s \\ a & = ? ({m / s}^{2}) \end{aligned}$

İvme formülüne göre:

$a = \frac{v - v_{0}}{Δ t} = \frac{20 m / s - 0 m / s}{2, 5 s} = 8 {m / s}^{2}$

Çitanın ivmesi 8 m/s²’dir, her saniye 8 m/s daha hızlıdır. Yüze çıkması on saniye süren aile arabasının ivmesi 3 m/s²’den azdır, yani çita onu startta kolayca geçerdi.

Duruşta hız 20 m/s’den sıfıra 4 s’de düşer:

$a = \frac{0 m / s - 20 m / s}{4 s} = - 5 {m / s}^{2}$

Pozitif yönü koşu yönünde aldığımız için negatif ivme frenleme demektir. Çitanın durmadaki ivmesi −5 m/s²’dir, yani yavaşlaması 5 m/s².

Örnek 6: Uçak Ne Kadar Uzun Bir Piste İhtiyaç Duyar

Yolcu uçağı kalkışta durgun hâlden 2 m/s² sabit ivmeyle hızlanıyor ve 252 km/h hıza ulaşınca yerden kesiliyor. Pistin ne kadarlık bir bölümüne ihtiyacı var ve ne kadar süre hızlanıyor?

Çözüm:

$\begin{aligned} v_{0} & = 0 m / s \\ a & = 2 {m / s}^{2} \\ v & = 252 km / h = 70 m / s \\ s & = ? (m), t = ? (s) \end{aligned}$

Süreyi bilmiyoruz, bu yüzden zamansız bağıntı $v^{2} = v_{0}^{2} + 2 a s$ işe yarar. Durgun hâlden hızlanma için ondan yolu çekeriz:

$s = \frac{v^{2}}{2 a} = \frac{(70 m / s)^{2}}{2 \cdot 2 {m / s}^{2}} = \frac{4.900 m^{2} {/ s}^{2}}{4 {m / s}^{2}} = 1.225 m$

Hızlanma süresini v = a · t’den hesaplarız:

$t = \frac{v}{a} = \frac{70 m / s}{2 {m / s}^{2}} = 35 s$

Ortalama süratle kontrol: durgun hâlden hızlanmada ortalama sürat son hızın yarısıdır, 35 m/s, ve 35 s’de bu 35 m/s · 35 s = 1.225 m eder. Uçak 35 s hızlanıyor ve 1,2 km’den fazla piste ihtiyaç duyuyor. Bu yüzden büyük havalimanlarının pistleri, yarıda kesilen kalkışa karşı pay bırakacak şekilde birkaç kilometre uzunluğundadır.

Örnek 7: Islak Yolda Karaca

Sürücü ıslak yolda 60 km/h süratle gidiyor ve 40 m önünde bir karaca görüyor. Tepki süresi 1 s, ıslak asfaltta araba 5 m/s² yavaşlamayla frenliyor. Zamanında durur mu?

Çözüm:

$\begin{aligned} v & = 60 km / h = \frac{60}{3, 6} m / s = \frac{50}{3} m / s \\ t_{r} & = 1 s \\ | a | & = 5 {m / s}^{2} \\ s & = ? (m) \end{aligned}$

Ara sonuçları yuvarlamamak için sürat kesir olarak kalır. Toplam yol reaksiyon artı fren mesafesidir:

$s = s_{r} + s_{f} = v \cdot t_{r} + \frac{v^{2}}{2 \cdot | a |}$

Her parçayı ayrı ayrı yerine koyarız:

$\begin{aligned} s_{r} & = \frac{50}{3} m / s \cdot 1 s \approx 16, 7 m \\ s_{f} & = \frac{{(\frac{50}{3} m / s)}^{2}}{2 \cdot 5 {m / s}^{2}} = \frac{250}{9} m \approx 27, 8 m \end{aligned}$

Toplam $\frac{400}{9} m \approx 44, 4 m$ eder. Araba zamanında durmaz, karacanın durduğu yerin yaklaşık 4 m ilerisinde dururdu. Kuruda 7 m/s² yavaşlamayla 36,5 m yeterdi, yani ıslak yolda daha yavaş gitmekte fayda var.

Örnek 8: Köprüden Taş

Köprüden bir taş bırakıyoruz ve taş nehre 1,5 s’de düşüyor. Köprü su yüzeyinden ne kadar yüksekte ve taş suya hangi süratle çarpar? Hava direncini ihmal ederiz. İki kat daha yüksek bir köprüden ne kadar sürede düşerdi?

Çözüm:

$\begin{aligned} t & = 1, 5 s \\ g & = 9, 81 {m / s}^{2} \\ h & = ? (m), v = ? (m / s) \end{aligned}$

Bu bir serbest düşmedir, pozitif yönü aşağı seçeriz:

$h = \frac{1}{2} g t^{2} = \frac{1}{2} \cdot 9, 81 {m / s}^{2} \cdot (1, 5 s)^{2} \approx 11 m$

$v = g \cdot t = 9, 81 {m / s}^{2} \cdot 1, 5 s \approx 14, 7 m / s$

Bu yaklaşık 53 km/h’tir. g ≈ 10 m/s² ile tahmin $\frac{1}{2} \cdot 10 \cdot 2, 25 \approx 11 m$ verir, uyuyor. Köprü su yüzeyinden yaklaşık 11 m yüksekte ve taş suya yaklaşık 15 m/s süratle çarpar.

İki kat yükseklik iki kat süre demek değildir. $t = \sqrt{\frac{2 h}{g}}$ ifadesinden iki kat yüksekliğin düşme süresini yalnızca $\sqrt{2}$ kat uzattığı görülür:

$t^{'} = \sqrt{2} \cdot 1, 5 s \approx 2, 1 s$

Örnek 9: Yan Rüzgârda Dron

Dron havaya göre 12 m/s hızla uçuyor ve burnu tam kuzeye bakıyor. Doğu rüzgârı esiyor, yani hava batıya doğru 5 m/s hızla hareket ediyor. Dron yere göre ne kadar hızlı hareket eder ve kuzeyden hangi açıyla sapar?

Çözüm:

$\begin{aligned} v_{1} & = 12 m / s \\ v_{2} & = 5 m / s \\ v & = ? (m / s), α = ? \end{aligned}$

Dron iki şekilde hareket ediyor: havaya göre uçuyor ve hava onu sürüklüyor. Bileşke hız bunların vektörel toplamıdır ve iki hız birbirine dik olduğu için Pisagor teoremini kullanırız:

$\begin{aligned} v & = \sqrt{v_{1}^{2} + v_{2}^{2}} = \sqrt{(12 m / s)^{2} + (5 m / s)^{2}} \\ = 13 m / s \end{aligned}$

Kuzeyden sapma açısını, rüzgârın hızının karşı dik kenar, bileşke hızın hipotenüs olduğu hızlar dik üçgeninden buluruz:

$\sin α = \frac{v_{2}}{v} = \frac{5}{13} \approx 0,385, α \approx 22, 6 °$

Düz toplama 17 m/s verirdi, ama hızların yönü aynı değil. Sonuç 12 m/s’den büyük, 17 m/s’den küçük olmalıdır ve 13 m/s öyledir. Dron yere göre 13 m/s hızla uçar ve rüzgâr onu kuzeyden batıya doğru yaklaşık 23° saptırır. Bir dakikada onu 300 m yana sürükler.

Örnek 10: Dönme Dolap

Lunaparktaki dönme dolabın yarıçapı 20 m ve bir tur 4 min sürüyor. Frekansı ve açısal hızı nedir ve çemberin üzerindeki kabin hangi süratle gider?

Çözüm:

$\begin{aligned} r & = 20 m \\ T & = 4 \min = 240 s \\ f & = ? (Hz), ω = ? (rad / s), v = ? (m / s) \end{aligned}$

Frekans periyodun tersidir:

$f = \frac{1}{T} = \frac{1}{240 s} \approx 0,004 2 Hz$

Açısal hız, bir periyotta tam açıyı, yani 2π’yi verir:

$ω = \frac{2 π}{T} = \frac{2 π}{240 s} \approx 0,026 rad / s$

Kabinin sürati:

$v = ω \cdot r = \frac{2 π \cdot r}{T} = \frac{2 π \cdot 20 m}{240 s} \approx 0, 52 m / s$

Kabin bir turda dolabın çevresini, yaklaşık 126 m’yi, dört dakikada alır. Bu yaklaşık 1,9 km/h’tir, yavaş bir yürüyüş. Bu yüzden büyük panoramik dönme dolaplarda olduğu gibi kabine dolap dönerken de binilebilir.

Örnek 11: Pilotlar İçin Santrifüj

Pilot eğitimi santrifüjünün kabini 8 m uzunluğunda bir kolun ucunda. Kabinin merkezcil ivmesi 6g, yani yer çekimi ivmesinin altı katı olması için dakikada kaç kez dönmesi gerekir?

Çözüm:

$\begin{aligned} r & = 8 m \\ a_{M} & = 6 \cdot 9, 81 {m / s}^{2} = 58, 86 {m / s}^{2} \\ f & = ? (Hz) \end{aligned}$

Merkezcil ivme formülü a_M = ω² · r’den önce açısal hızı, sonra frekansı çekeriz:

$\begin{array}{rcl} ω^{2} \cdot r & = & a_{M} / : r \\ ω & = & \sqrt{\frac{a_{M}}{r}} \\ f & = & \frac{ω}{2 π} = \frac{1}{2 π} \sqrt{\frac{a_{M}}{r}} \end{array}$

Birimler: $\sqrt{\frac{{m / s}^{2}}{m}} = \frac{1}{s}$ , uyuyor. Yerine koyarız:

$f = \frac{1}{2 π} \sqrt{\frac{58, 86 {m / s}^{2}}{8 m}} \approx 0, 43 Hz$

Dakikada bu 0,432 · 60 ≈ 26 devirdir. Bir tur yaklaşık 2,3 s sürer ve kabin v = ω · r ≈ 21,7 m/s süratle, neredeyse 80 km/h ile döner. Santrifüjün dakikada yaklaşık 26 kez dönmesi gerekir.

Örnek 12: İstasyonlar Arasında Metro

Metro treni istasyondan 1,2 m/s² ivmeyle 15 s boyunca hızlanıyor, sonra 30 s sabit hızla gidiyor ve sonunda bir sonraki istasyonda durana kadar 1,5 m/s² yavaşlamayla frenliyor. İstasyonlar birbirinden ne kadar uzakta ve trenin ortalama sürati nedir?

Çözüm: Yolculuğu üç bölüme ayırırız ve her birinde tek tip hareketin formüllerini kullanırız.

$\begin{aligned} a_{1} & = 1, 2 {m / s}^{2}, t_{1} = 15 s \\ t_{2} & = 30 s \\ | a_{3} | & = 1, 5 {m / s}^{2} \\ s & = ? (m), v_{ort} = ? (m / s) \end{aligned}$

Hızlanma durgun hâlden. Sonunda trenin hızı

$v = a_{1} \cdot t_{1} = 1, 2 {m / s}^{2} \cdot 15 s = 18 m / s$

ve aldığı yol

$s_{1} = \frac{1}{2} a_{1} t_{1}^{2} = \frac{1}{2} \cdot 1, 2 {m / s}^{2} \cdot (15 s)^{2} = 135 m .$

Sabit hızla gidiş, 18 m/s, yani yaklaşık 65 km/h:

$s_{2} = v \cdot t_{2} = 18 m / s \cdot 30 s = 540 m$

Frenleme 18 m/s’den duruncaya kadar:

$\begin{aligned} t_{3} & = \frac{v}{| a_{3} |} = \frac{18 m / s}{1, 5 {m / s}^{2}} = 12 s \\ s_{3} & = \frac{v^{2}}{2 \cdot | a_{3} |} = \frac{(18 m / s)^{2}}{2 \cdot 1, 5 {m / s}^{2}} = 108 m \end{aligned}$

Toplam:

$\begin{aligned} s & = 135 m + 540 m + 108 m = 783 m \\ t & = 15 s + 30 s + 12 s = 57 s \\ v_{ort} & = \frac{s}{t} = \frac{783 m}{57 s} \approx 13, 7 m / s \end{aligned}$

İstasyonlar birbirinden yaklaşık 780 m uzakta, tren bu yolu bir dakikadan kısa sürede ortalama yaklaşık 49 km/h süratle alır. En yüksek 65 km/h ile zamanın yalnızca yarısı kadar gittiği için ortalama belirgin biçimde daha düşüktür. Bir kilometre civarı bir uzaklık şehir içi metro için olağandır.

Örnek 13: Grafikten Okuma

Grafik, Furkan’ın elektrikli scooter’ının on iki saniye boyunca hızını gösteriyor. Scooter’ın her bölümdeki ivmesi nedir, tüm süre boyunca aldığı yol nedir ve ortalama sürati nedir?

Hızın v zamana t bağlı grafiği: 0’dan 4 s’ye 4 m/s’den 8 m/s’ye çıkıyor, 4’ten 10 s’ye sabit, 10’dan 12 s’ye sıfıra iniyor

Çözüm: Grafikten hareket türünün değiştiği noktalardaki hızı okuruz: başlangıçta 4 m/s, 4 s’de artık 8 m/s, 10 s’de hâlâ 8 m/s ve 12 s’de sıfır. İvme, hız değişiminin süreye bölümüdür:

$\begin{aligned} a_{1} & = \frac{8 m / s - 4 m / s}{4 s} = 1 {m / s}^{2} \\ a_{2} & = 0 {m / s}^{2} \\ a_{3} & = \frac{0 m / s - 8 m / s}{2 s} = - 4 {m / s}^{2} \end{aligned}$

Bu hesap yapmadan da grafikte görülür: bölüm ne kadar dikse ivmenin büyüklüğü o kadar büyüktür. Yükselen bölüm pozitif ivme, yatay sıfır ve alçalan negatif ivme demektir: üçüncü bölümde scooter’ın ivmesi −4 m/s²’dir, yani yavaşlaması 4 m/s².

Alınan yol hız grafiğinin altındaki alandır. İlk bölüm yamuk, ikincisi dikdörtgen, üçüncüsü üçgen oluşturur:

$\begin{aligned} s_{1} & = \frac{4 m / s + 8 m / s}{2} \cdot 4 s = 24 m \\ s_{2} & = 8 m / s \cdot 6 s = 48 m \\ s_{3} & = \frac{1}{2} \cdot 8 m / s \cdot 2 s = 8 m \end{aligned}$

12 s’de toplam s = 80 m yol alınır ve ortalama sürat şudur:

$v_{ort} = \frac{s}{t} = \frac{80 m}{12 s} \approx 6, 7 m / s .$

Kontrol: ortalama sürat sıfırla en yüksek hız olan 8 m/s arasında olmalıdır ve scooter zamanın çoğunda sekizle gittiği için ona yakın olacaktır. Scooter’ın ivmesi sırasıyla 1 m/s², sıfır ve −4 m/s² oldu, 80 m yol aldı ve ortalama sürati yaklaşık 6,7 m/s, yani 24 km/h oldu.

Aynı yöntemle kuvvetlerin yer aldığı problemler de çözülebilir. Onları Çözümlü Dinamik Örnekleri makalesinde bulursun.

« Önceki: Eylemsizlik Kuvvetleri

Sonraki: Çözümlü Dinamik Örnekleri »