Esercizi svolti di cinematica

La fisica non si impara leggendo, ma solo facendo i conti. Seguono tredici esercizi sul moto, ordinati dallo spazio e dallo spostamento, passando per l’accelerazione e la caduta libera, fino all’accelerazione centripeta. Negli ultimi due si alternano diversi tipi di moto. Li risolviamo tutti con lo stesso metodo: dati, conversione delle unità, soluzione generale, sostituzione con le unità, stima e risposta con una frase completa. Prova a risolvere ogni esercizio da solo e leggi la soluzione solo dopo.

Esercizio 1: Chiara porta a spasso il cane

Chiara gira con il cane intorno a un parco quadrato di lato 120 m. Parte da un angolo e percorre tre lati del parco. Quanto spazio percorre e quanto è grande il suo spostamento?

Soluzione:

$\begin{aligned} s & = ? (m) \\ | Δ \vec{r} | & = ? (m) \end{aligned}$

Lo spazio percorso è la lunghezza della traiettoria, cioè di tre lati del parco:

$s = 3 \cdot 120 m = 360 m$

Lo spostamento è la freccia dal punto di partenza al punto in cui è arrivata. Dopo tre lati del quadrato si trova nell’angolo adiacente a quello di partenza, quindi lo spostamento corre lungo il quarto lato:

$| Δ \vec{r} | = 120 m$

Chiara ha percorso 360 m, ma dal punto da cui è partita dista solo 120 m. Se avesse fatto tutto il giro del parco, avrebbe percorso 480 m e lo spostamento sarebbe nullo.

Esercizio 2: In salita e in discesa

Matteo sale in bicicletta su una collina lungo una strada di 3 km a 12 km/h e scende per la stessa strada a 36 km/h. Qual è la sua velocità media?

Soluzione: Verrebbe voglia di sommare le velocità e dividere per due: si otterrebbe 24 km/h. Ma la velocità media è lo spazio totale diviso per il tempo totale e in salita Matteo impiega molto più che in discesa.

$\begin{aligned} s_{1} = s_{2} & = 3 km \\ v_{1} & = 12 km / h \\ v_{2} & = 36 km / h \\ v_{m} & = ? (km / h) \end{aligned}$

Abbiamo tutto in chilometri e ore, la conversione non serve. I tempi di percorrenza sono $t_{1} = \frac{s_{1}}{v_{1}}$ e $t_{2} = \frac{s_{2}}{v_{2}}$ , quindi

$v_{m} = \frac{s_{1} + s_{2}}{t_{1} + t_{2}} = \frac{s_{1} + s_{2}}{\frac{s_{1}}{v_{1}} + \frac{s_{2}}{v_{2}}} .$

Sostituiamo:

$\begin{aligned} v_{m} & = \frac{6 km}{\frac{3 km}{12 km / h} + \frac{3 km}{36 km / h}} \\ = \frac{6 km}{0, 25 h + \frac{1}{12} h} = \frac{6 km}{\frac{1}{3} h} = 18 km / h \end{aligned}$

In salita Matteo ha impiegato un quarto d’ora, in discesa cinque minuti. L’intero percorso l’ha coperto in venti minuti, e chi percorre 6 km in un terzo d’ora, in un’ora ne percorrerebbe 18 km. In media Matteo è andato a 18 km/h, non a 24 km/h.

Esercizio 3: Anna parte dal rifugio

Un rifugio si trova accanto al sentiero, a 4 km dal paese. Anna prosegue da lì, allontanandosi dal paese, a velocità costante di 5 km/h. A che distanza dal paese sarà dopo 1 ora e 12 minuti?

Soluzione:

$\begin{aligned} s_{0} & = 4 km \\ v & = 5 km / h \\ t & = 1 h 12 \min = 1, 2 h \\ s & = ? (km) \end{aligned}$

Attenzione alla conversione. Dodici minuti non sono 0,12 h, ma $\frac{12}{60} = 0, 2 h$ . Anna non parte dal paese, ma da un punto a 4 km da esso, perciò allo spazio percorso aggiungiamo lo spazio iniziale s₀, come nel moto rettilineo uniforme:

$s = s_{0} + v \cdot t = 4 km + 5 km / h \cdot 1, 2 h = 10 km$

Chilometri all’ora per ore danno chilometri, torna. In un’ora Anna percorre 5 km, in 1,2 h un quinto in più, cioè 6 km, e con il rifugio fa dieci. Anna sarà a 10 km dal paese. Chi sostituisse 1,12 h, otterrebbe 9,6 km.

Esercizio 4: Giacomo rincorre la mamma

La mamma esce di casa con il passeggino a 4 km/h. Dopo un quarto d’ora Giacomo si accorge che ha dimenticato le chiavi e le corre dietro per la stessa strada a 10 km/h. Dopo quanto tempo la raggiunge e a che distanza da casa?

Soluzione:

$\begin{aligned} v_{1} & = 4 km / h \\ v_{2} & = 10 km / h \\ t_{0} & = 15 \min = 0, 25 h \\ t & = ? (h) \end{aligned}$

Dopo un quarto d’ora la mamma ha un vantaggio s₀ = v₁ · t₀ = 4 km/h · 0,25 h = 1 km. Nell’inseguimento la distanza si riduce della differenza delle velocità:

$\begin{aligned} t & = \frac{s_{0}}{v_{2} - v_{1}} = \frac{1 km}{10 km / h - 4 km / h} \\ = \frac{1}{6} h = 10 \min \end{aligned}$

In questo tempo Giacomo corre

$s = v_{2} \cdot t = 10 km / h \cdot \frac{1}{6} h \approx 1, 67 km .$

Verifica: la mamma cammina per 15 + 10 = 25 minuti, cioè $\frac{25}{60}$ di ora, e percorre $4 \cdot \frac{25}{60} \approx 1, 67 km$ . Torna. Giacomo raggiunge la mamma dieci minuti dopo essere partito, a circa 1,7 km da casa.

Esercizio 5: Il ghepardo

Un ghepardo accelera da fermo a 72 km/h in 2,5 s. Qual è la sua accelerazione media? E che accelerazione ha poi, quando da questa velocità si ferma in 4 s?

Soluzione:

$\begin{aligned} v_{0} & = 0 m / s \\ v & = 72 km / h = 20 m / s \\ Δ t & = 2, 5 s \\ a & = ? ({m / s}^{2}) \end{aligned}$

Secondo la formula dell’accelerazione:

$a = \frac{v - v_{0}}{Δ t} = \frac{20 m / s - 0 m / s}{2, 5 s} = 8 {m / s}^{2}$

Il ghepardo ha un’accelerazione di 8 m/s², ogni secondo la sua velocità aumenta di 8 m/s. Un’auto di famiglia, che impiega dieci secondi per arrivare a cento all’ora, ha poco meno di 3 m/s², quindi il ghepardo la batterebbe facilmente alla partenza.

Quando si ferma, la velocità scende da 20 m/s a zero in 4 s:

$a = \frac{0 m / s - 20 m / s}{4 s} = - 5 {m / s}^{2}$

Il verso positivo lo prendiamo nel verso della corsa, quindi l’accelerazione negativa significa frenata. Quando si ferma, il ghepardo ha un’accelerazione di −5 m/s², cioè una decelerazione di 5 m/s².

Esercizio 6: Quanta pista serve a un aereo

Un aereo di linea parte da fermo con accelerazione costante di 2 m/s² e si stacca da terra alla velocità di 252 km/h. Quanta pista gli serve e quanto tempo impiega a prendere velocità?

Soluzione:

$\begin{aligned} v_{0} & = 0 m / s \\ a & = 2 {m / s}^{2} \\ v & = 252 km / h = 70 m / s \\ s & = ? (m), t = ? (s) \end{aligned}$

Il tempo non lo conosciamo, ci serve quindi la relazione senza il tempo $v^{2} = v_{0}^{2} + 2 a s$ . Per una partenza da fermo ne ricaviamo lo spazio:

$s = \frac{v^{2}}{2 a} = \frac{(70 m / s)^{2}}{2 \cdot 2 {m / s}^{2}} = \frac{4900 m^{2} {/ s}^{2}}{4 {m / s}^{2}} = 1225 m$

La durata della corsa di decollo la calcoliamo da v = a · t:

$t = \frac{v}{a} = \frac{70 m / s}{2 {m / s}^{2}} = 35 s$

Verifica con la velocità media: in una partenza da fermo è la metà di quella finale, 35 m/s, e in 35 s dà 35 m/s · 35 s = 1225 m. L’aereo accelera per 35 s e gli serve più di 1,2 km di pista. Per questo i grandi aeroporti hanno piste lunghe diversi chilometri, con un margine per il decollo interrotto.

Esercizio 7: Un capriolo sulla strada bagnata

Un automobilista viaggia su una strada bagnata a 60 km/h e vede un capriolo a 40 m davanti a sé. La reazione dura 1 s, sull’asfalto bagnato l’auto frena con una decelerazione di 5 m/s². Si ferma in tempo?

Soluzione:

$\begin{aligned} v & = 60 km / h = \frac{60}{3, 6} m / s = \frac{50}{3} m / s \\ t_{r} & = 1 s \\ | a | & = 5 {m / s}^{2} \\ s & = ? (m) \end{aligned}$

La velocità la lasciamo come frazione, per non arrotondare i risultati intermedi. Lo spazio totale è spazio di reazione più spazio di frenata:

$s = s_{r} + s_{f} = v \cdot t_{r} + \frac{v^{2}}{2 \cdot | a |}$

Sostituiamo ogni parte separatamente:

$\begin{aligned} s_{r} & = \frac{50}{3} m / s \cdot 1 s \approx 16, 7 m \\ s_{f} & = \frac{{(\frac{50}{3} m / s)}^{2}}{2 \cdot 5 {m / s}^{2}} = \frac{250}{9} m \approx 27, 8 m \end{aligned}$

In tutto sono $\frac{400}{9} m \approx 44, 4 m$ . L’auto non si ferma in tempo, si fermerebbe solo circa 4 m oltre il punto in cui sta il capriolo. Sull’asciutto con una decelerazione di 7 m/s² le basterebbero 36,5 m, sul bagnato conviene quindi andare più piano.

Esercizio 8: Un sasso dal ponte

Da un ponte lasciamo cadere un sasso che finisce nel fiume dopo 1,5 s. A che altezza sopra l’acqua è il ponte e con che velocità arriva il sasso? Trascuriamo la resistenza dell’aria. Per quanto tempo cadrebbe da un ponte alto il doppio?

Soluzione:

$\begin{aligned} t & = 1, 5 s \\ g & = 9, 81 {m / s}^{2} \\ h & = ? (m), v = ? (m / s) \end{aligned}$

Si tratta di caduta libera, il verso positivo lo scegliamo verso il basso:

$h = \frac{1}{2} g t^{2} = \frac{1}{2} \cdot 9, 81 {m / s}^{2} \cdot (1, 5 s)^{2} \approx 11 m$

$v = g \cdot t = 9, 81 {m / s}^{2} \cdot 1, 5 s \approx 14, 7 m / s$

Sono circa 53 km/h. La stima con g ≈ 10 m/s² dà $\frac{1}{2} \cdot 10 \cdot 2, 25 \approx 11 m$ , torna. Il ponte è circa 11 m sopra l’acqua e il sasso arriva a circa 15 m/s.

Un’altezza doppia non significa un tempo doppio. Da $t = \sqrt{\frac{2 h}{g}}$ si vede che un’altezza doppia allunga il tempo di caduta solo di un fattore $\sqrt{2}$ :

$t^{'} = \sqrt{2} \cdot 1, 5 s \approx 2, 1 s$

Esercizio 9: Un drone nel vento laterale

Un drone vola rispetto all’aria a 12 m/s con la prua puntata esattamente a nord. Soffia un vento da est, cioè l’aria si muove verso ovest, a 5 m/s. Con che velocità si muove il drone rispetto al suolo e di che angolo devia dal nord?

Soluzione:

$\begin{aligned} v_{1} & = 12 m / s \\ v_{2} & = 5 m / s \\ v & = ? (m / s), α = ? \end{aligned}$

Il drone si muove in due modi: vola rispetto all’aria e l’aria lo trasporta. La velocità risultante è la loro somma vettoriale e, poiché le due velocità sono perpendicolari, usiamo il teorema di Pitagora:

$\begin{aligned} v & = \sqrt{v_{1}^{2} + v_{2}^{2}} = \sqrt{(12 m / s)^{2} + (5 m / s)^{2}} \\ = 13 m / s \end{aligned}$

L’angolo dal nord lo ricaviamo dal triangolo rettangolo delle velocità, in cui la velocità del vento è il cateto opposto e la velocità risultante l’ipotenusa:

$sen α = \frac{v_{2}}{v} = \frac{5}{13} \approx 0,385, α \approx 22, 6 °$

La semplice somma darebbe 17 m/s, ma le velocità non hanno la stessa direzione. Il risultato deve essere maggiore di 12 m/s e minore di 17 m/s, e 13 m/s lo è. Il drone vola rispetto al suolo a 13 m/s e il vento lo fa deviare di circa 23° dal nord verso ovest. In un minuto lo sposta lateralmente di 300 m.

Esercizio 10: La ruota panoramica

La ruota panoramica del luna park ha un raggio di 20 m e un giro dura 4 min. Quali sono la sua frequenza e la sua velocità angolare e a che velocità si muove la cabina sul bordo?

Soluzione:

$\begin{aligned} r & = 20 m \\ T & = 4 \min = 240 s \\ f & = ? (Hz), ω = ? (rad / s), v = ? (m / s) \end{aligned}$

La frequenza è il reciproco del periodo:

$f = \frac{1}{T} = \frac{1}{240 s} \approx 0,004 2 Hz$

La velocità angolare corrisponde a un angolo giro, 2π, in un periodo:

$ω = \frac{2 π}{T} = \frac{2 π}{240 s} \approx 0,026 rad / s$

La velocità della cabina:

$v = ω \cdot r = \frac{2 π \cdot r}{T} = \frac{2 π \cdot 20 m}{240 s} \approx 0, 52 m / s$

In un giro la cabina percorre la circonferenza della ruota, circa 126 m, in quattro minuti. Sono circa 1,9 km/h, una passeggiata lenta. In una cabina si potrebbe quindi salire anche in movimento, come sulle grandi ruote panoramiche.

Esercizio 11: La centrifuga per piloti

Una centrifuga per l’addestramento dei piloti ha la cabina all’estremità di un braccio lungo 8 m. Quanti giri al minuto deve fare perché la cabina abbia un’accelerazione centripeta di 6g, cioè sei volte l’accelerazione di gravità?

Soluzione:

$\begin{aligned} r & = 8 m \\ a_{c} & = 6 \cdot 9, 81 {m / s}^{2} = 58, 86 {m / s}^{2} \\ f & = ? (Hz) \end{aligned}$

Dalla formula dell’accelerazione centripeta a_c = ω² · r ricaviamo prima la velocità angolare, poi la frequenza:

$\begin{array}{rcl} ω^{2} \cdot r & = & a_{c} / : r \\ ω & = & \sqrt{\frac{a_{c}}{r}} \\ f & = & \frac{ω}{2 π} = \frac{1}{2 π} \sqrt{\frac{a_{c}}{r}} \end{array}$

Unità: $\sqrt{\frac{{m / s}^{2}}{m}} = \frac{1}{s}$ , torna. Sostituiamo:

$f = \frac{1}{2 π} \sqrt{\frac{58, 86 {m / s}^{2}}{8 m}} \approx 0, 43 Hz$

Al minuto sono 0,432 · 60 ≈ 26 giri. Un giro dura circa 2,3 s e la cabina corre a v = ω · r ≈ 21,7 m/s, quasi 80 km/h. La centrifuga deve fare circa 26 giri al minuto.

Esercizio 12: La metropolitana tra due stazioni

Un convoglio della metropolitana parte da una stazione con accelerazione 1,2 m/s² per 15 s, poi viaggia a velocità costante per 30 s e infine frena con una decelerazione di 1,5 m/s² fino a fermarsi alla stazione successiva. Quanto distano le stazioni e qual è la velocità media del convoglio?

Soluzione: Dividiamo il viaggio in tre tratti e in ciascuno usiamo le formule di un solo tipo di moto.

$\begin{aligned} a_{1} & = 1, 2 {m / s}^{2}, t_{1} = 15 s \\ t_{2} & = 30 s \\ | a_{3} | & = 1, 5 {m / s}^{2} \\ s & = ? (m), v_{m} = ? (m / s) \end{aligned}$

Partenza da fermo. Alla fine il convoglio ha la velocità

$v = a_{1} \cdot t_{1} = 1, 2 {m / s}^{2} \cdot 15 s = 18 m / s$

e ha percorso

$s_{1} = \frac{1}{2} a_{1} t_{1}^{2} = \frac{1}{2} \cdot 1, 2 {m / s}^{2} \cdot (15 s)^{2} = 135 m .$

Marcia a velocità costante 18 m/s, cioè circa 65 km/h:

$s_{2} = v \cdot t_{2} = 18 m / s \cdot 30 s = 540 m$

Frenata da 18 m/s fino all’arresto:

$\begin{aligned} t_{3} & = \frac{v}{| a_{3} |} = \frac{18 m / s}{1, 5 {m / s}^{2}} = 12 s \\ s_{3} & = \frac{v^{2}}{2 \cdot | a_{3} |} = \frac{(18 m / s)^{2}}{2 \cdot 1, 5 {m / s}^{2}} = 108 m \end{aligned}$

In tutto:

$\begin{aligned} s & = 135 m + 540 m + 108 m = 783 m \\ t & = 15 s + 30 s + 12 s = 57 s \\ v_{m} & = \frac{s}{t} = \frac{783 m}{57 s} \approx 13, 7 m / s \end{aligned}$

Le stazioni distano circa 780 m, il convoglio le percorre in meno di un minuto a una velocità media di circa 49 km/h. Ai massimi 65 km/h viaggia solo per circa metà del tempo, per questo la media è nettamente più bassa. Una distanza intorno al chilometro è normale per una metropolitana urbana.

Esercizio 13: Lettura di un grafico

Il grafico mostra la velocità del monopattino elettrico di Filippo nell’arco di dodici secondi. Che accelerazione aveva il monopattino nei singoli tratti, quale spazio ha percorso in tutto il tempo e qual è stata la sua velocità media?

Grafico della velocità v in funzione del tempo t: da 0 a 4 s cresce da 4 a 8 m/s, da 4 a 10 s è costante, da 10 a 12 s scende a zero

Soluzione: Dal grafico leggiamo la velocità nei punti in cui cambia il tipo di moto: all’inizio 4 m/s, al tempo 4 s già 8 m/s, al tempo 10 s ancora 8 m/s e al tempo 12 s zero. L’accelerazione è la variazione di velocità divisa per l’intervallo di tempo:

$\begin{aligned} a_{1} & = \frac{8 m / s - 4 m / s}{4 s} = 1 {m / s}^{2} \\ a_{2} & = 0 {m / s}^{2} \\ a_{3} & = \frac{0 m / s - 8 m / s}{2 s} = - 4 {m / s}^{2} \end{aligned}$

Lo si vede sul grafico anche senza calcolare: più il tratto è ripido, maggiore è il modulo dell’accelerazione. Un tratto in salita significa accelerazione positiva, uno orizzontale nulla e uno in discesa negativa: nel terzo tratto il monopattino ha un’accelerazione di −4 m/s², cioè una decelerazione di 4 m/s².

Lo spazio è l’area sotto il grafico della velocità. Il primo tratto forma un trapezio, il secondo un rettangolo e il terzo un triangolo:

$\begin{aligned} s_{1} & = \frac{4 m / s + 8 m / s}{2} \cdot 4 s = 24 m \\ s_{2} & = 8 m / s \cdot 6 s = 48 m \\ s_{3} & = \frac{1}{2} \cdot 8 m / s \cdot 2 s = 8 m \end{aligned}$

In tutto s = 80 m in 12 s, la velocità media è

$v_{m} = \frac{s}{t} = \frac{80 m}{12 s} \approx 6, 7 m / s .$

Verifica: la velocità media deve stare tra zero e la velocità massima 8 m/s, e poiché il monopattino è andato a otto metri al secondo per la maggior parte del tempo, sarà più vicina a questa. Il monopattino ha avuto un’accelerazione prima di 1 m/s², poi nulla e infine di −4 m/s², ha percorso 80 m ed è andato in media a circa 6,7 m/s, cioè 24 km/h.

Allo stesso modo si possono risolvere anche i problemi in cui compaiono le forze. Li trovi nell’articolo Esercizi svolti di dinamica.

« Precedente: Forze apparenti

Successivo: Esercizi svolti di dinamica »