Probleme rezolvate de cinematică

Fizica nu se învață citind, ci doar calculând. Urmează treisprezece probleme despre mișcare, ordonate de la distanța parcursă și deplasare, prin accelerație și cădere liberă, până la accelerația centripetă. În ultimele două, felurile de mișcare alternează. Pe toate le rezolvăm după același procedeu: notarea datelor, transformarea unităților, rezolvarea generală, înlocuirea cu unități, estimarea și răspunsul într-o propoziție întreagă. Încearcă mai întâi să calculezi singur fiecare problemă și citește rezolvarea abia după aceea.

Problema 1: Alina își plimbă câinele

Alina își plimbă câinele în jurul unui parc pătrat cu latura de 120 m. Pornește dintr-un colț și merge de-a lungul a trei laturi ale parcului. Ce distanță parcurge și cât de mare este deplasarea ei?

Rezolvare. Se cere:

$\begin{aligned} s & = ? (m) \\ | Δ \vec{r} | & = ? (m) \end{aligned}$

Distanța parcursă este lungimea traiectoriei, adică a trei laturi ale parcului:

$s = 3 \cdot 120 m = 360 m$

Deplasarea este săgeata de la locul de pornire la locul unde s-a oprit. După trei laturi ale pătratului Alina stă în colțul vecin cu cel de plecare, deci deplasarea merge de-a lungul celei de-a patra laturi:

$| Δ \vec{r} | = 120 m$

Alina a parcurs 360 m, dar față de locul de plecare se află la doar 120 m. Dacă ar fi ocolit parcul întreg, ar fi parcurs 480 m, iar deplasarea ar fi fost nulă.

Problema 2: La deal și la vale

Radu urcă cu bicicleta un deal pe un drum lung de 3 km cu viteza de 12 km/h și coboară pe același drum cu viteza de 36 km/h. Care este viteza lui medie?

Rezolvare: Tentația este să aduni vitezele și să împarți la doi, ar ieși 24 km/h. Dar viteza medie este distanța totală împărțită la timpul total, iar urcarea îi ia lui Radu mult mai mult timp decât coborârea.

Se dă / Se cere:

$\begin{aligned} s_{1} = s_{2} & = 3 km \\ v_{1} & = 12 km / h \\ v_{2} & = 36 km / h \\ v_{m} & = ? (km / h) \end{aligned}$

Avem totul în kilometri și ore, transformarea nu este necesară. Timpurile de mers sunt $t_{1} = \frac{s_{1}}{v_{1}}$ și $t_{2} = \frac{s_{2}}{v_{2}}$ , deci

$v_{m} = \frac{s_{1} + s_{2}}{t_{1} + t_{2}} = \frac{s_{1} + s_{2}}{\frac{s_{1}}{v_{1}} + \frac{s_{2}}{v_{2}}} .$

Înlocuim:

$\begin{aligned} v_{m} & = \frac{6 km}{\frac{3 km}{12 km / h} + \frac{3 km}{36 km / h}} \\ = \frac{6 km}{0, 25 h + \frac{1}{12} h} = \frac{6 km}{\frac{1}{3} h} = 18 km / h \end{aligned}$

În sus Radu a mers un sfert de oră, în jos cinci minute. Întregul traseu l-a făcut în douăzeci de minute, iar cine parcurge 6 km într-o treime de oră ar parcurge într-o oră 18 km. În medie Radu a mers cu 18 km/h, nu cu 24 km/h.

Problema 3: Irina pleacă de la cabană

Cabana turistică se află lângă drum, la 4 km de sat. Irina pleacă de la ea, îndepărtându-se de sat, cu viteza constantă de 5 km/h. La ce distanță de sat va fi peste 1 oră și 12 minute?

Rezolvare. Se dă / Se cere:

$\begin{aligned} s_{0} & = 4 km \\ v & = 5 km / h \\ t & = 1 h 12 \min = 1, 2 h \\ s & = ? (km) \end{aligned}$

Atenție la transformare. Douăsprezece minute nu înseamnă 0,12 h, ci $\frac{12}{60} = 0, 2 h$ . Irina nu pornește din sat, ci de la 4 km de el, de aceea la distanța parcursă adăugăm distanța inițială s₀, ca la mișcarea rectilinie uniformă:

$s = s_{0} + v \cdot t = 4 km + 5 km / h \cdot 1, 2 h = 10 km$

Kilometri pe oră înmulțiți cu ore dau kilometri, se potrivește. Într-o oră Irina parcurge 5 km, în 1,2 h cu o cincime mai mult, adică 6 km, iar împreună cu distanța până la cabană sunt zece. Irina va fi la 10 km de sat. Cine ar înlocui 1,12 h ar obține 9,6 km.

Problema 4: Vlad o ajunge pe mama

Mama iese din casă cu căruciorul cu viteza de 4 km/h. După un sfert de oră Vlad vede că ea a uitat cheile și aleargă după ea pe același drum cu viteza de 10 km/h. În cât timp o ajunge și la ce distanță de casă?

Rezolvare. Se dă / Se cere:

$\begin{aligned} v_{1} & = 4 km / h \\ v_{2} & = 10 km / h \\ t_{0} & = 15 \min = 0, 25 h \\ t & = ? (h) \end{aligned}$

După un sfert de oră mama are un avans s₀ = v₁ · t₀ = 4 km/h · 0,25 h = 1 km. La ajungerea din urmă distanța dintre ei se micșorează cu diferența vitezelor:

$\begin{aligned} t & = \frac{s_{0}}{v_{2} - v_{1}} = \frac{1 km}{10 km / h - 4 km / h} \\ = \frac{1}{6} h = 10 \min \end{aligned}$

În acest timp Vlad aleargă

$s = v_{2} \cdot t = 10 km / h \cdot \frac{1}{6} h \approx 1, 67 km .$

Verificare: mama merge 15 + 10 = 25 de minute, adică $\frac{25}{60}$ de oră, și parcurge $4 \cdot \frac{25}{60} \approx 1, 67 km$ . Se potrivește. Vlad o ajunge pe mama la zece minute după plecare, la aproximativ 1,7 km de casă.

Problema 5: Ghepardul

Un ghepard accelerează din repaus până la 72 km/h în 2,5 s. Ce accelerație medie are? Și ce accelerație are apoi, când se oprește din această viteză în 4 s?

Rezolvare. Se dă / Se cere:

$\begin{aligned} v_{0} & = 0 m / s \\ v & = 72 km / h = 20 m / s \\ Δ t & = 2, 5 s \\ a & = ? ({m / s}^{2}) \end{aligned}$

După formula accelerației:

$a = \frac{v - v_{0}}{Δ t} = \frac{20 m / s - 0 m / s}{2, 5 s} = 8 {m / s}^{2}$

Ghepardul are accelerația 8 m/s², în fiecare secundă este cu 8 m/s mai rapid. O mașină de familie care accelerează de la 0 la 100 km/h în zece secunde are sub 3 m/s², așa că ghepardul ar întrece-o fără probleme la start.

La oprire viteza scade de la 20 m/s la zero în 4 s:

$a = \frac{0 m / s - 20 m / s}{4 s} = - 5 {m / s}^{2}$

Sensul pozitiv îl luăm în sensul alergării, accelerația negativă înseamnă de aceea frânare. La oprire ghepardul are accelerația −5 m/s², adică încetinirea 5 m/s².

Problema 6: De ce lungime de pistă are nevoie avionul

Un avion de pasageri pornește din repaus la decolare cu accelerația constantă de 2 m/s² și se desprinde de pământ la viteza de 252 km/h. De ce lungime de pistă are nevoie și cât timp accelerează?

Rezolvare. Se dă / Se cere:

$\begin{aligned} v_{0} & = 0 m / s \\ a & = 2 {m / s}^{2} \\ v & = 252 km / h = 70 m / s \\ s & = ? (m), t = ? (s) \end{aligned}$

Timpul nu îl cunoaștem, de aceea ne ajută relația fără timp $v^{2} = v_{0}^{2} + 2 a s$ . Pentru pornirea din repaus exprimăm din ea distanța:

$s = \frac{v^{2}}{2 a} = \frac{(70 m / s)^{2}}{2 \cdot 2 {m / s}^{2}} = \frac{4.900 m^{2} {/ s}^{2}}{4 {m / s}^{2}} = 1.225 m$

Durata accelerării o calculăm din v = a · t:

$t = \frac{v}{a} = \frac{70 m / s}{2 {m / s}^{2}} = 35 s$

Verificare cu viteza medie: la pornirea din repaus ea este jumătate din viteza finală, 35 m/s, iar în 35 s asta dă 35 m/s · 35 s = 1.225 m. Avionul accelerează 35 s și are nevoie de peste 1,2 km de pistă. De aceea aeroporturile mari au piste lungi de câțiva kilometri, cu rezervă pentru o decolare întreruptă.

Problema 7: Căprioara pe șoseaua udă

Un șofer merge pe șoseaua udă cu viteza de 60 km/h și vede la 40 m în fața lui o căprioară. Reacția durează 1 s, pe asfalt ud mașina frânează cu încetinirea de 5 m/s². Se oprește la timp?

Rezolvare. Se dă / Se cere:

$\begin{aligned} v & = 60 km / h = \frac{60}{3, 6} m / s = \frac{50}{3} m / s \\ t_{r} & = 1 s \\ | a | & = 5 {m / s}^{2} \\ s & = ? (m) \end{aligned}$

Viteza o lăsăm ca fracție, ca să nu rotunjim rezultatele intermediare. Distanța totală este de reacție plus de frânare:

$s = s_{r} + s_{f} = v \cdot t_{r} + \frac{v^{2}}{2 \cdot | a |}$

Înlocuim fiecare parte separat:

$\begin{aligned} s_{r} & = \frac{50}{3} m / s \cdot 1 s \approx 16, 7 m \\ s_{f} & = \frac{{(\frac{50}{3} m / s)}^{2}}{2 \cdot 5 {m / s}^{2}} = \frac{250}{9} m \approx 27, 8 m \end{aligned}$

În total sunt $\frac{400}{9} m \approx 44, 4 m$ . Mașina nu se oprește la timp, s-ar opri abia la aproximativ 4 m dincolo de locul unde stă căprioara. Pe uscat, cu încetinirea de 7 m/s², i-ar ajunge 36,5 m, pe ud deci merită să mergi mai încet.

Problema 8: Piatra de pe pod

De pe un pod dăm drumul unei pietre, care cade în râu după 1,5 s. La ce înălțime se află podul deasupra apei și cu ce viteză atinge piatra apa? Neglijăm rezistența aerului. Cât ar dura căderea de pe un pod de două ori mai înalt?

Rezolvare. Se dă / Se cere:

$\begin{aligned} t & = 1, 5 s \\ g & = 9, 81 {m / s}^{2} \\ h & = ? (m), v = ? (m / s) \end{aligned}$

Este o cădere liberă, sensul pozitiv îl alegem în jos:

$h = \frac{1}{2} g t^{2} = \frac{1}{2} \cdot 9, 81 {m / s}^{2} \cdot (1, 5 s)^{2} \approx 11 m$

$v = g \cdot t = 9, 81 {m / s}^{2} \cdot 1, 5 s \approx 14, 7 m / s$

Asta înseamnă aproximativ 53 km/h. Estimarea cu g ≈ 10 m/s² dă $\frac{1}{2} \cdot 10 \cdot 2, 25 \approx 11 m$ , se potrivește. Podul se află la aproximativ 11 m deasupra apei, iar piatra atinge apa cu viteza de aproximativ 15 m/s.

Înălțimea dublă nu înseamnă timp dublu. Din $t = \sqrt{\frac{2 h}{g}}$ se vede că înălțimea dublă prelungește durata căderii doar de $\sqrt{2}$ ori:

$t^{'} = \sqrt{2} \cdot 1, 5 s \approx 2, 1 s$

Problema 9: Drona în vânt lateral

O dronă zboară față de aer cu viteza de 12 m/s și are partea din față îndreptată exact spre nord. Bate un vânt de est, adică aerul se mișcă spre vest, cu viteza de 5 m/s. Cu ce viteză se mișcă drona față de sol și cu ce unghi se abate de la nord?

Rezolvare. Se dă / Se cere:

$\begin{aligned} v_{1} & = 12 m / s \\ v_{2} & = 5 m / s \\ v & = ? (m / s), α = ? \end{aligned}$

Drona se mișcă în două feluri: zboară față de aer, iar aerul o poartă cu el. Viteza rezultantă este suma lor vectorială, iar cum cele două viteze sunt perpendiculare, folosim teorema lui Pitagora:

$\begin{aligned} v & = \sqrt{v_{1}^{2} + v_{2}^{2}} = \sqrt{(12 m / s)^{2} + (5 m / s)^{2}} \\ = 13 m / s \end{aligned}$

Unghiul față de nord îl aflăm din triunghiul dreptunghic al vitezelor, în care viteza vântului este cateta opusă, iar viteza rezultantă ipotenuza:

$\sin α = \frac{v_{2}}{v} = \frac{5}{13} \approx 0,385, α \approx 22, 6 °$

Suma simplă ar da 17 m/s, dar vitezele nu au aceeași direcție. Rezultatul trebuie să fie mai mare decât 12 m/s și mai mic decât 17 m/s, iar 13 m/s chiar este. Drona zboară față de sol cu viteza de 13 m/s, iar vântul o abate cu aproximativ 23° de la nord spre vest. Într-un minut vântul o deplasează lateral cu 300 m.

Problema 10: Roata panoramică

O roată panoramică de bâlci are raza de 20 m, iar o rotație durează 4 min. Care sunt frecvența și viteza ei unghiulară și cu ce viteză se mișcă cabina de pe margine?

Rezolvare. Se dă / Se cere:

$\begin{aligned} r & = 20 m \\ T & = 4 \min = 240 s \\ ν & = ? (Hz), ω = ? (rad / s), v = ? (m / s) \end{aligned}$

Frecvența este inversul perioadei:

$ν = \frac{1}{T} = \frac{1}{240 s} \approx 0,004 2 Hz$

Viteza unghiulară înseamnă unghiul complet 2π parcurs într-o perioadă:

$ω = \frac{2 π}{T} = \frac{2 π}{240 s} \approx 0,026 rad / s$

Viteza cabinei:

$v = ω \cdot r = \frac{2 π \cdot r}{T} = \frac{2 π \cdot 20 m}{240 s} \approx 0, 52 m / s$

Cabina parcurge într-o rotație circumferința roții, aproximativ 126 m, în patru minute. Asta înseamnă aproximativ 1,9 km/h, o plimbare lentă. De aceea în cabină s-ar putea urca și în timpul mersului, ca la roțile panoramice mari.

Problema 11: Centrifuga pentru piloți

O centrifugă de antrenament pentru piloți are cabina pe un braț lung de 8 m. De câte ori pe minut trebuie să se rotească, ca cabina să aibă accelerația centripetă 6g, adică de șase ori mai mare decât accelerația gravitațională?

Rezolvare. Se dă / Se cere:

$\begin{aligned} r & = 8 m \\ a_{cp} & = 6 \cdot 9, 81 {m / s}^{2} = 58, 86 {m / s}^{2} \\ ν & = ? (Hz) \end{aligned}$

Din formula accelerației centripete a_cp = ω² · r exprimăm mai întâi viteza unghiulară, apoi frecvența:

$\begin{array}{rcl} ω^{2} \cdot r & = & a_{cp} / : r \\ ω & = & \sqrt{\frac{a_{cp}}{r}} \\ ν & = & \frac{ω}{2 π} = \frac{1}{2 π} \sqrt{\frac{a_{cp}}{r}} \end{array}$

Unități: $\sqrt{\frac{{m / s}^{2}}{m}} = \frac{1}{s}$ , se potrivește. Înlocuim:

$ν = \frac{1}{2 π} \sqrt{\frac{58, 86 {m / s}^{2}}{8 m}} \approx 0, 43 Hz$

Pe minut asta înseamnă 0,432 · 60 ≈ 26 de rotații. O rotație durează aproximativ 2,3 s, iar cabina se învârte cu viteza v = ω · r ≈ 21,7 m/s, aproape 80 km/h. Centrifuga trebuie să se rotească de aproximativ 26 de ori pe minut.

Problema 12: Metroul între stații

Un tren de metrou pornește din stație cu accelerația de 1,2 m/s² timp de 15 s, apoi merge cu viteză constantă 30 s și în final frânează cu încetinirea de 1,5 m/s², până se oprește în stația următoare. La ce distanță sunt stațiile una de alta și care este viteza medie a trenului?

Rezolvare: Împărțim mersul în trei porțiuni și în fiecare folosim formulele pentru un singur fel de mișcare.

Se dă / Se cere:

$\begin{aligned} a_{1} & = 1, 2 {m / s}^{2}, t_{1} = 15 s \\ t_{2} & = 30 s \\ | a_{3} | & = 1, 5 {m / s}^{2} \\ s & = ? (m), v_{m} = ? (m / s) \end{aligned}$

Pornirea din repaus. La sfârșitul ei trenul are viteza

$v = a_{1} \cdot t_{1} = 1, 2 {m / s}^{2} \cdot 15 s = 18 m / s$

și a parcurs

$s_{1} = \frac{1}{2} a_{1} t_{1}^{2} = \frac{1}{2} \cdot 1, 2 {m / s}^{2} \cdot (15 s)^{2} = 135 m .$

Mersul cu viteza constantă de 18 m/s, adică aproximativ 65 km/h:

$s_{2} = v \cdot t_{2} = 18 m / s \cdot 30 s = 540 m$

Frânarea de la 18 m/s până la oprire:

$\begin{aligned} t_{3} & = \frac{v}{| a_{3} |} = \frac{18 m / s}{1, 5 {m / s}^{2}} = 12 s \\ s_{3} & = \frac{v^{2}}{2 \cdot | a_{3} |} = \frac{(18 m / s)^{2}}{2 \cdot 1, 5 {m / s}^{2}} = 108 m \end{aligned}$

În total:

$\begin{aligned} s & = 135 m + 540 m + 108 m = 783 m \\ t & = 15 s + 30 s + 12 s = 57 s \\ v_{m} & = \frac{s}{t} = \frac{783 m}{57 s} \approx 13, 7 m / s \end{aligned}$

Stațiile sunt la aproximativ 780 m una de alta, trenul le parcurge în mai puțin de un minut cu viteza medie de aproximativ 49 km/h. Cu viteza maximă de 65 km/h merge doar cam jumătate din timp, de aceea media este vizibil mai mică. O distanță în jur de un kilometru este obișnuită pentru metroul urban.

Problema 13: Citirea din grafic

Graficul arată viteza trotinetei electrice a lui Filip pe parcursul a douăsprezece secunde. Ce accelerație a avut trotineta în fiecare porțiune, ce distanță a parcurs în tot timpul și care a fost viteza ei medie?

Graficul vitezei v în funcție de timpul t: de la 0 la 4 s crește de la 4 la 8 m/s, de la 4 la 10 s este constantă, de la 10 la 12 s scade la zero

Rezolvare: Din grafic citim viteza în punctele unde se schimbă felul mișcării: la început 4 m/s, la momentul 4 s deja 8 m/s, la momentul 10 s tot 8 m/s, iar la momentul 12 s zero. Accelerația este variația vitezei împărțită la durată:

$\begin{aligned} a_{1} & = \frac{8 m / s - 4 m / s}{4 s} = 1 {m / s}^{2} \\ a_{2} & = 0 {m / s}^{2} \\ a_{3} & = \frac{0 m / s - 8 m / s}{2 s} = - 4 {m / s}^{2} \end{aligned}$

Se vede și pe grafic fără calcul: cu cât porțiunea este mai abruptă, cu atât modulul accelerației este mai mare. O porțiune ascendentă înseamnă accelerație pozitivă, una orizontală accelerație nulă, iar una descendentă accelerație negativă: în a treia porțiune trotineta are accelerația −4 m/s², adică încetinirea 4 m/s².

Distanța este aria de sub graficul vitezei. Prima porțiune formează un trapez, a doua un dreptunghi și a treia un triunghi:

$\begin{aligned} s_{1} & = \frac{4 m / s + 8 m / s}{2} \cdot 4 s = 24 m \\ s_{2} & = 8 m / s \cdot 6 s = 48 m \\ s_{3} & = \frac{1}{2} \cdot 8 m / s \cdot 2 s = 8 m \end{aligned}$

În total s = 80 m în 12 s, iar viteza medie este

$v_{m} = \frac{s}{t} = \frac{80 m}{12 s} \approx 6, 7 m / s .$

Verificare: viteza medie trebuie să se afle între zero și viteza maximă de 8 m/s, iar cum trotineta a mers cea mai mare parte a timpului cu opt metri pe secundă, va fi mai aproape de ea. Trotineta a avut succesiv accelerațiile 1 m/s², nulă și −4 m/s², a parcurs 80 m și a mers în medie cu aproximativ 6,7 m/s, adică 24 km/h.

În același fel se pot rezolva și problemele în care apar forțe. Le găsești în articolul Probleme rezolvate de dinamică.

« Anterior: Forțele de inerție

Următor: Probleme rezolvate de dinamică »