ブレーキと停止距離

市街地を時速50 kmで走っていると、20 m前方で、止めてある車のかげからボールを追った子どもが飛び出してきました。止まれるでしょうか。子どもが見えた瞬間に車が止まるわけではありません。まずドライバーが反応してブレーキを踏み、それから初めて車は減速し始めます。そのため、障害物に気づいてから止まるまでの距離は、次の2つの部分からなります。

• 空走距離 s_r：ドライバーがブレーキをかけ始めるまでに車が進む距離
• 制動距離 s_b：ブレーキを踏んでから止まるまでに車が進む距離

添え字の r は reaction（反応）、b は braking（ブレーキ）の頭文字です。この2つを合わせたものが停止距離です。

$$s=s_r+s_b$$

空走距離

ドライバーが障害物に反応するまでには、反応時間 t_r がかかります。何が起きているかに気づき、判断し、足をアクセルからブレーキに移して踏み込まなければなりません。疲れておらず集中しているドライバーなら、これにおよそ 1 s かかります。そのため、計算でもよく1秒を使います。疲れているドライバーや、メッセージに返信している最中のドライバーの反応はずっと遅くなります。時速50 kmで走りながら2秒間スマートフォンを見ると、前を見ないまま約 28 m 進んでしまいます。

反応時間の間、車の速さは変わりません。ドライバーはまだブレーキをかけていないからです。そのため、空走距離は等速直線運動の道のりです。

$$s_r=v\cdot t_r$$

時速50キロメートルをメートル毎秒に換算すると $50\mathrm{km}/\mathrm{h}=\frac{50}{3.6}\mathrm{m}/\mathrm{s}\fallingdotseq 13.9\mathrm{m}/\mathrm{s}$ で、反応時間1秒の間に車が進む距離は次のとおりです。

$$s_r=13.9\mathrm{m}/\mathrm{s}\cdot 1\mathrm{s}=13.9\mathrm{m}.$$

ほぼ14 m進んでも、車はまだブレーキをかけ始めてもいないのです。

制動距離

ドライバーがブレーキを踏むとすぐに、車は減速し始めます。整備のよい車は、乾いたアスファルトの上ではおよそ 7 m/s² で減速し、1秒ごとに 7 m/s ずつ遅くなります。進行方向を正の向きにとるので、加速度は負になり、a = −7 m/s² です。ブレーキをかけている間、加速度は変わらないとします。するとブレーキをかけた車の運動は、負の加速度の等加速度直線運動になります。これは、速さが一定の割合で減っていく減速運動です。

ブレーキをかけ始めるときの速さは車が走っていた速さ v で、終わりの速さは0です。時間は必要ないので、時間を含まない関係式 $v^2=v_0^2+2\cdot a\cdot s$ を使います。初速度は v、終わりの速度は0で、道のりは制動距離です。

$$\begin{array}{rcl}0& =& v^2+2\cdot a\cdot s_b/-v^2\\ -v^2& =& 2\cdot a\cdot s_b/÷(2\cdot a)\\ -\frac{v^2}{2\cdot a}& =& s_b\end{array}$$

式のマイナスをこわがる必要はありません。加速度が負なので分母も負になり、分数全体は道のりらしく正になります。マイナスと負の値 a から正の数、つまり減速の大きさができます。これを加速度の大きさ $|a|$ で表すと、制動距離は次のように書けます。

$$s_b=\frac{v^2}{2\cdot |a|}$$

公式に数値を代入します。途中の計算結果を四捨五入しないように、速さは分数のままにしておきます。

$$\begin{array}{rl}{s}_b& =\frac{{\left(\frac{50}{3.6}\mathrm{m}/\mathrm{s}\right)}^2}{2\cdot 7{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2}\fallingdotseq \frac{192.9{\mathrm{m}}^2{/\mathrm{s}}^2}{14{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2}\\ & \fallingdotseq 13.8\mathrm{m}\end{array}$$

単位も合っています。平方メートル毎秒毎秒をメートル毎秒毎秒で割るとメートルになります。時速50 kmからなら、車は 13.8 m で止まります。反応時間の間に進む距離とほとんど同じです。

速さをキロメートル毎時のまま代入したくなるかもしれません。すると $\frac{{50}^2}{2\cdot 7}\fallingdotseq 179$ となりますが、これはメートルでも何でもありません。キロメートル毎時とメートル毎秒毎秒は約分できないからです。そもそも時速50 kmからの制動距離が180 mというのは、見当をつけた段階でおかしいと気づくはずです。サッカー場2面分近い長さなのですから。

ブレーキをかけている時間はどれだけでしょうか。公式 v = v₀ + a · t で終わりの速さを0とし、同じように考えると、次のようになります。

$$t=\frac{v}{|a|}=\frac{13.9\mathrm{m}/\mathrm{s}}{7{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2}\fallingdotseq 1.99\mathrm{s}.$$

ブレーキを踏んでから止まるまで、2秒足らずです。

運動の全体は、速度のグラフで見られます。反応時間 t_r の間はグラフが水平で、車は一定の速さで走ります。その後、グラフは直線的に0まで下がります。道のりはグラフの下の面積で、青い長方形が空走距離、赤い三角形が制動距離です。三角形の面積は直角をはさむ2辺の積の半分で、$\frac{1}{2}\cdot 1.99\mathrm{s}\cdot 13.9\mathrm{m}/\mathrm{s}\fallingdotseq 13.8\mathrm{m}$ となり、公式から求めた値と一致します。

子どもの手前で止まれるか

停止距離を順に計算しましょう。まず、わかっている量を書き出します。速さはすぐにメートル毎秒に換算しておきます。

$$\begin{array}{rl}v& =50\mathrm{km}/\mathrm{h}\fallingdotseq 13.9\mathrm{m}/\mathrm{s}\\ t_r& =1\mathrm{s}\\ |a|& =7{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2\\ s& =?(\mathrm{m})\end{array}$$

停止距離は、一般に2つの部分の和です。

$$s=v\cdot t_r+\frac{v^2}{2\cdot |a|}$$

どちらの部分もすでに計算してあります。

$$s\fallingdotseq 13.9\mathrm{m}+13.8\mathrm{m}\fallingdotseq 28\mathrm{m}$$

子どもが見えた瞬間から、車はおよそ 28 m 進みます。乗用車およそ6台分の長さです。20 m前に飛び出した子どもの手前では止まれません。子どものところに着いたとき、反応時間のあとブレーキをかけ始めてからまだ6 mしか進んでおらず、車はなお時速40 km近くで走っています。

速さが2倍なら制動距離は4倍

では、高速道路を時速100 kmで走っていたらどうでしょうか。速さは $100\mathrm{km}/\mathrm{h}\fallingdotseq 27.8\mathrm{m}/\mathrm{s}$ です。反応時間1秒の間に 27.8 m 進み、時速50 kmのときの2倍です。制動距離は次のとおりで、

$$s_b=\frac{{\left(\frac{100}{3.6}\mathrm{m}/\mathrm{s}\right)}^2}{2\cdot 7{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2}\fallingdotseq 55.1\mathrm{m},$$

時速50 kmのときの4倍です。停止距離は合わせて $27.8\mathrm{m}+55.1\mathrm{m}\fallingdotseq 83\mathrm{m}$ で、時速50 kmのときの3倍になります。

なぜ4倍なのでしょうか。制動距離の公式では速さが2乗されていて、2倍の2乗は4倍だからです。(2 · v)² = 4 · v² です。空走距離は速さに比例して増えるだけなので、速く走るほど、停止距離の中で制動距離の占める割合が大きくなります。高速道路を 120 km/h で走ると、車は反応時間の間に 33 m 進み、さらにブレーキをかけて 79 m 進みます。障害物に気づいてから止まるまでに110 m以上必要で、サッカー場1面分よりも長くなります。

グラフで見ると、さらによくわかります。ここでは時間をブレーキを踏んだ瞬間から測っています。時速100 kmからのグラフは2倍の高さから始まり、速さが同じ割合、つまり1秒に 7 m/s ずつ失われるので、ブレーキをかけている時間も2倍になります。三角形は高さも幅も2倍なので、面積は4倍になります。白い線と赤い線で、この三角形は赤い三角形と合同な4つの三角形に分かれます。

学校の前は時速30 km

学校の周りでは、速度が 30 km/h に制限されていることがあります。たった時速20 kmのちがいに意味があるのでしょうか。時速30 km、つまり 8.3 m/s からなら、車は反応時間の間に 8.3 m 進み、制動距離は次のとおりです。

$$s_b=\frac{{\left(\frac{30}{3.6}\mathrm{m}/\mathrm{s}\right)}^2}{2\cdot 7{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2}\fallingdotseq 5\mathrm{m}.$$

車は 13.3 m で止まります。時速50 kmで走るドライバーは、反応時間だけで 13.9 m 進みます。時速30 kmのドライバーがもう止まっている地点で、もう一方のドライバーはまだブレーキをかけ始めてもおらず、時速50 kmのまま子どもにぶつかってしまうのです。

車間距離はどれだけ必要か

高速道路を 90 km/h、つまり 25 m/s で、別の車の後ろを走っているとします。前の車が突然急ブレーキをかけました。2台が同じようにブレーキをかけるなら、制動距離も同じです。しかし後ろの車は反応時間の分だけ遅れてブレーキをかけ始め、その間に全速力で 25 m 進みます。そのため、車間距離は少なくとも空走距離と同じだけ必要です。そうでないと前の車にぶつかってしまいます。

車間距離の目安として、よく2秒ルールがすすめられます。前の車が道路わきの電柱や標識を通り過ぎてから、自分の車がそこに着くまでに2秒以上あけるというものです。時速90 kmなら 50 m で、空走距離の2倍です。この余裕は役に立ちます。自分の車のブレーキのほうが効きが悪いかもしれませんし、前の車が障害物にぶつかって、制動距離よりずっと手前で止まってしまうこともあるからです。

何キロで走っていたか

公式は逆向きにも使えます。ABSのない古い車は、急ブレーキをかけると車輪がロックし、路面に黒いブレーキ痕を残します。乾いた路面での事故のあと、警察が長さ 25 m のブレーキ痕を測りました。ドライバーは制限速度の時速50 kmで走っていたと主張しています。これは本当でしょうか。わかっている量は次のとおりです。

$$\begin{array}{rl}{s}_b& =25\mathrm{m}\\ |a|& =7{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2\\ v& =?(\mathrm{m}/\mathrm{s})\end{array}$$

制動距離の公式を速さについて解きます。両辺に $2\cdot |a|$ をかけ、平方根をとります。

$$\begin{array}{rcl}{s}_b& =& \frac{v^2}{2\cdot |a|}/\cdot 2\cdot |a|\\ 2\cdot |a|\cdot s_b& =& v^2\\ v& =& \sqrt{2\cdot |a|\cdot s_b}\end{array}$$

代入します。

$$\begin{array}{rl}v& =\sqrt{2\cdot 7{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2\cdot 25\mathrm{m}}=\sqrt{350{\mathrm{m}}^2{/\mathrm{s}}^2}\\ & \fallingdotseq 18.7\mathrm{m}/\mathrm{s}\fallingdotseq 67\mathrm{km}/\mathrm{h}\end{array}$$

平方メートル毎秒毎秒の平方根はメートル毎秒になります。車は少なくともおよそ 67 km/h で走っていて、時速50 kmどころではありません。時速50 kmからなら、ブレーキ痕は 13.8 m にしかならないはずです。

ぬれた路面と凍った路面

ぬれた路面、雪道、凍った路面では、すべりやすい路面をタイヤがつかみにくくなるので、車の減速は小さくなります。その原因は摩擦で、これは力のところで扱います。今のところは、減速が小さくなることだけ知っておけば十分です。減速の大きさは公式の分母にあるので、減速が半分になると制動距離は2倍になります。目安の値と、時速50 kmからの制動距離は次のとおりです。

凍った路面では、時速50 kmからでも止まるまでに100 m近くかかります。空走距離は路面に左右されず、速さとドライバーだけで決まります。冬にスピードを落とし、車間距離を大きくとるのはこのためです。

停止距離の計算ツール

速さ、反応時間、路面の状態を入力すると、空走距離、制動距離、停止距離、障害物に気づいてから止まるまでの時間を計算します。路面ごとの減速の大きさは上の表と同じで、あくまで目安です。すり減ったタイヤや効きの悪いブレーキでは、もっと小さくなります。

ブレーキをかけると、速さは一様に減っていきます。その逆の場合は毎日のように目にします。何かを落とすだけでよいのです。落ちていく石の速さは、1秒ごとに同じだけ増えていきます。石を落としてから2秒後に水音がする井戸の深さはどれだけか、そしてなぜ月面ではハンマーと羽根が同時に落ちるのかは、次の記事自由落下で計算します。