Problemas resueltos de cinemática

La física no se aprende leyendo, solo calculando. A continuación tienes trece problemas sobre el movimiento, ordenados desde la distancia y el desplazamiento, pasando por la aceleración y la caída libre, hasta la aceleración centrípeta. En los dos últimos se alternan varios tipos de movimiento. Todos los resolvemos con el mismo procedimiento: datos, conversión de unidades, resolución general, sustitución con unidades, estimación y respuesta con una frase completa. Intenta resolver primero cada problema por tu cuenta y lee la resolución solo después.

Problema 1: Clara pasea al perro

Clara pasea con su perro por un parque cuadrado de 120 m de lado. Sale de una esquina y recorre tres lados del parque. ¿Qué distancia recorre y cuál es su desplazamiento?

Datos e incógnita:

$\begin{aligned} s & = ? (m) \\ | Δ \vec{r} | & = ? (m) \end{aligned}$

La distancia recorrida es la longitud de la trayectoria, es decir, de tres lados del parque:

$s = 3 \cdot 120 m = 360 m$

El desplazamiento es la flecha que va del punto de partida al punto en el que ha terminado. Tras recorrer tres lados del cuadrado, Clara está en la esquina contigua a la de salida, de modo que el desplazamiento va a lo largo del cuarto lado:

$| Δ \vec{r} | = 120 m$

Clara ha recorrido 360 m, pero está a solo 120 m del lugar de donde salió. Si hubiera dado la vuelta entera al parque, habría recorrido 480 m y el desplazamiento sería nulo.

Problema 2: Cuesta arriba y cuesta abajo

Marcos sube en bicicleta una cuesta por una carretera de 3 km a 12 km/h y baja por el mismo camino a 36 km/h. ¿Cuál es su velocidad media?

Resolución: Es tentador sumar las velocidades y dividir entre dos, con lo que saldrían 24 km/h. Pero la velocidad media es la distancia total dividida entre el tiempo total, y Marcos tarda mucho más en subir que en bajar.

$\begin{aligned} s_{1} = s_{2} & = 3 km \\ v_{1} & = 12 km / h \\ v_{2} & = 36 km / h \\ v_{m} & = ? (km / h) \end{aligned}$

Lo tenemos todo en kilómetros y horas, no hace falta convertir. Los tiempos de viaje son $t_{1} = \frac{s_{1}}{v_{1}}$ y $t_{2} = \frac{s_{2}}{v_{2}}$ , de modo que

$v_{m} = \frac{s_{1} + s_{2}}{t_{1} + t_{2}} = \frac{s_{1} + s_{2}}{\frac{s_{1}}{v_{1}} + \frac{s_{2}}{v_{2}}} .$

Sustituimos:

$\begin{aligned} v_{m} & = \frac{6 km}{\frac{3 km}{12 km / h} + \frac{3 km}{36 km / h}} \\ = \frac{6 km}{0, 25 h + \frac{1}{12} h} = \frac{6 km}{\frac{1}{3} h} = 18 km / h \end{aligned}$

Marcos ha tardado un cuarto de hora en subir y cinco minutos en bajar. Todo el trayecto lo ha hecho en veinte minutos, y quien recorre 6 km en un tercio de hora recorrería en una hora 18 km. La velocidad media de Marcos ha sido de 18 km/h, no de 24 km/h.

Problema 3: Ana sale del refugio

Un refugio de montaña está junto al camino, a 4 km del pueblo. Ana sigue desde allí, alejándose del pueblo, con velocidad constante de 5 km/h. ¿A qué distancia del pueblo estará al cabo de 1 hora y 12 minutos?

Datos e incógnita:

$\begin{aligned} s_{0} & = 4 km \\ v & = 5 km / h \\ t & = 1 h 12 \min = 1, 2 h \\ s & = ? (km) \end{aligned}$

Ojo con la conversión. Doce minutos no son 0,12 h, sino $\frac{12}{60} = 0, 2 h$ . Ana no parte del pueblo, sino de un punto a 4 km de él, por lo que a la distancia recorrida le sumamos la distancia inicial s₀, como en el movimiento rectilíneo uniforme:

$s = s_{0} + v \cdot t = 4 km + 5 km / h \cdot 1, 2 h = 10 km$

Kilómetros por hora por horas dan kilómetros, cuadra. En una hora Ana recorre 5 km, en 1,2 h una quinta parte más, es decir, 6 km, y con el refugio son diez. Ana estará a 10 km del pueblo. Quien sustituyera 1,12 h obtendría 9,6 km.

Problema 4: Jaime alcanza a su madre

La madre sale de casa con el cochecito a 4 km/h. Al cabo de un cuarto de hora, Jaime se da cuenta de que ella se ha olvidado las llaves y sale corriendo tras ella por el mismo camino a 10 km/h. ¿Cuánto tarda en alcanzarla y a qué distancia de casa?

Datos e incógnita:

$\begin{aligned} v_{1} & = 4 km / h \\ v_{2} & = 10 km / h \\ t_{0} & = 15 \min = 0, 25 h \\ t & = ? (h) \end{aligned}$

Pasado un cuarto de hora, la madre lleva una ventaja de s₀ = v₁ · t₀ = 4 km/h · 0,25 h = 1 km. En un alcance, la distancia entre ambos disminuye a razón de la diferencia de velocidades:

$\begin{aligned} t & = \frac{s_{0}}{v_{2} - v_{1}} = \frac{1 km}{10 km / h - 4 km / h} \\ = \frac{1}{6} h = 10 \min \end{aligned}$

En ese tiempo Jaime corre

$s = v_{2} \cdot t = 10 km / h \cdot \frac{1}{6} h \approx 1, 67 km .$

Comprobación: la madre camina 15 + 10 = 25 minutos, es decir, $\frac{25}{60}$ de hora, y recorre $4 \cdot \frac{25}{60} \approx 1, 67 km$ . Coincide. Jaime alcanza a su madre diez minutos después de salir, a unos 1,7 km de casa.

Problema 5: El guepardo

Un guepardo acelera desde el reposo hasta 72 km/h en 2,5 s. ¿Qué aceleración media tiene? ¿Y qué aceleración tiene después, si desde esa velocidad se detiene en 4 s?

Datos e incógnita:

$\begin{aligned} v_{0} & = 0 m / s \\ v & = 72 km / h = 20 m / s \\ Δ t & = 2, 5 s \\ a & = ? ({m / s}^{2}) \end{aligned}$

Según la fórmula de la aceleración:

$a = \frac{v - v_{0}}{Δ t} = \frac{20 m / s - 0 m / s}{2, 5 s} = 8 {m / s}^{2}$

El guepardo tiene una aceleración de 8 m/s²: cada segundo es 8 m/s más rápido. Un coche familiar que tarda diez segundos en llegar a los cien tiene menos de 3 m/s², así que el guepardo le ganaría con facilidad en la salida.

Al detenerse, la velocidad baja de 20 m/s a cero en 4 s:

$a = \frac{0 m / s - 20 m / s}{4 s} = - 5 {m / s}^{2}$

Tomamos como sentido positivo el de la carrera, por lo que una aceleración negativa significa frenado. Al detenerse, el guepardo tiene una aceleración de −5 m/s², es decir, una deceleración de 5 m/s².

Problema 6: Qué longitud de pista necesita el avión

Un avión de pasajeros arranca desde el reposo en la pista con aceleración constante de 2 m/s² y despega a una velocidad de 252 km/h. ¿Qué longitud de pista necesita y cuánto tiempo tarda en acelerar?

Datos e incógnita:

$\begin{aligned} v_{0} & = 0 m / s \\ a & = 2 {m / s}^{2} \\ v & = 252 km / h = 70 m / s \\ s & = ? (m), t = ? (s) \end{aligned}$

No conocemos el tiempo, así que nos conviene la relación sin el tiempo $v^{2} = v_{0}^{2} + 2 a s$ . Para una salida desde el reposo despejamos de ella la distancia:

$s = \frac{v^{2}}{2 a} = \frac{(70 m / s)^{2}}{2 \cdot 2 {m / s}^{2}} = \frac{4900 m^{2} {/ s}^{2}}{4 {m / s}^{2}} = 1225 m$

El tiempo de aceleración lo calculamos a partir de v = a · t:

$t = \frac{v}{a} = \frac{70 m / s}{2 {m / s}^{2}} = 35 s$

Comprobación con la velocidad media: en una salida desde el reposo es la mitad de la final, 35 m/s, y en 35 s da 35 m/s · 35 s = 1225 m. El avión acelera durante 35 s y necesita más de 1,2 km de pista. Por eso los aeropuertos grandes tienen pistas de varios kilómetros, con margen para un despegue abortado.

Problema 7: Un corzo en la carretera mojada

Un conductor circula por una carretera mojada a 60 km/h y ve un corzo a 40 m por delante. El tiempo de reacción es de 1 s y, sobre asfalto mojado, el coche frena con una deceleración de 5 m/s². ¿Se detiene a tiempo?

Datos e incógnita:

$\begin{aligned} v & = 60 km / h = \frac{60}{3, 6} m / s = \frac{50}{3} m / s \\ t_{r} & = 1 s \\ | a | & = 5 {m / s}^{2} \\ s & = ? (m) \end{aligned}$

Dejamos la velocidad como fracción para no redondear los resultados intermedios. La distancia total es la de reacción más la de frenado:

$s = s_{r} + s_{f} = v \cdot t_{r} + \frac{v^{2}}{2 \cdot | a |}$

Sustituimos cada parte por separado:

$\begin{aligned} s_{r} & = \frac{50}{3} m / s \cdot 1 s \approx 16, 7 m \\ s_{f} & = \frac{{(\frac{50}{3} m / s)}^{2}}{2 \cdot 5 {m / s}^{2}} = \frac{250}{9} m \approx 27, 8 m \end{aligned}$

En total son $\frac{400}{9} m \approx 44, 4 m$ . El coche no se detiene a tiempo: lo haría solo unos 4 m más allá del lugar donde está el corzo. Sobre suelo seco, con una deceleración de 7 m/s², le bastarían 36,5 m, así que en mojado compensa ir más despacio.

Problema 8: Una piedra desde el puente

Soltamos una piedra desde un puente y cae al río en 1,5 s. ¿A qué altura está el puente sobre la superficie del agua y con qué velocidad llega la piedra? Despreciamos la resistencia del aire. ¿Cuánto tardaría en caer desde un puente el doble de alto?

Datos e incógnita:

$\begin{aligned} t & = 1, 5 s \\ g & = 9, 81 {m / s}^{2} \\ h & = ? (m), v = ? (m / s) \end{aligned}$

Se trata de una caída libre; tomamos como sentido positivo hacia abajo:

$h = \frac{1}{2} g t^{2} = \frac{1}{2} \cdot 9, 81 {m / s}^{2} \cdot (1, 5 s)^{2} \approx 11 m$

$v = g \cdot t = 9, 81 {m / s}^{2} \cdot 1, 5 s \approx 14, 7 m / s$

Son unos 53 km/h. La estimación con g ≈ 10 m/s² da $\frac{1}{2} \cdot 10 \cdot 2, 25 \approx 11 m$ , cuadra. El puente está a unos 11 m sobre el agua y la piedra llega con una velocidad de unos 15 m/s.

El doble de altura no significa el doble de tiempo. De $t = \sqrt{\frac{2 h}{g}}$ se ve que el doble de altura alarga el tiempo de caída solo $\sqrt{2}$ veces:

$t^{'} = \sqrt{2} \cdot 1, 5 s \approx 2, 1 s$

Problema 9: Un dron con viento lateral

Un dron vuela respecto al aire a 12 m/s con el morro apuntando exactamente al norte. Sopla un viento del este, es decir, el aire se mueve hacia el oeste, a 5 m/s. ¿A qué velocidad se mueve el dron respecto al suelo y qué ángulo se desvía del norte?

Datos e incógnita:

$\begin{aligned} v_{1} & = 12 m / s \\ v_{2} & = 5 m / s \\ v & = ? (m / s), α = ? \end{aligned}$

El dron se mueve de dos maneras: vuela respecto al aire y el aire lo arrastra. La velocidad resultante es su suma vectorial y, como las dos velocidades son perpendiculares, usamos el teorema de Pitágoras:

$\begin{aligned} v & = \sqrt{v_{1}^{2} + v_{2}^{2}} = \sqrt{(12 m / s)^{2} + (5 m / s)^{2}} \\ = 13 m / s \end{aligned}$

El ángulo respecto al norte lo hallamos en el triángulo rectángulo de las velocidades, donde la velocidad del viento es el cateto opuesto y la velocidad resultante, la hipotenusa:

$sen α = \frac{v_{2}}{v} = \frac{5}{13} \approx 0,385, α \approx 22, 6 °$

La simple suma daría 17 m/s, pero las velocidades no tienen la misma dirección. El resultado tiene que ser mayor que 12 m/s y menor que 17 m/s, y 13 m/s lo es. El dron vuela respecto al suelo a 13 m/s y el viento lo desvía unos 23° del norte hacia el oeste. En un minuto lo arrastra 300 m hacia un lado.

Problema 10: La noria

La noria de una feria tiene un radio de 20 m y una vuelta dura 4 min. ¿Cuáles son su frecuencia y su velocidad angular y a qué velocidad se mueve una cabina del borde?

Datos e incógnita:

$\begin{aligned} r & = 20 m \\ T & = 4 \min = 240 s \\ f & = ? (Hz), ω = ? (rad / s), v = ? (m / s) \end{aligned}$

La frecuencia es la inversa del periodo:

$f = \frac{1}{T} = \frac{1}{240 s} \approx 0,004 2 Hz$

La velocidad angular indica el ángulo completo 2π por cada periodo:

$ω = \frac{2 π}{T} = \frac{2 π}{240 s} \approx 0,026 rad / s$

Velocidad de la cabina:

$v = ω \cdot r = \frac{2 π \cdot r}{T} = \frac{2 π \cdot 20 m}{240 s} \approx 0, 52 m / s$

En una vuelta, la cabina recorre la circunferencia de la noria, unos 126 m, en cuatro minutos. Son unos 1,9 km/h, un paseo lento. Por eso se podría subir a la cabina incluso con la noria en marcha, como en las grandes norias panorámicas.

Problema 11: La centrifugadora para pilotos

Una centrifugadora de entrenamiento para pilotos tiene la cabina en un brazo de 8 m de longitud. ¿Cuántas vueltas por minuto tiene que dar para que la cabina tenga una aceleración centrípeta de 6g, es decir, seis veces la aceleración de la gravedad?

Datos e incógnita:

$\begin{aligned} r & = 8 m \\ a_{c} & = 6 \cdot 9, 81 {m / s}^{2} = 58, 86 {m / s}^{2} \\ f & = ? (Hz) \end{aligned}$

De la fórmula de la aceleración centrípeta a_c = ω² · r despejamos primero la velocidad angular y luego la frecuencia:

$\begin{array}{rcl} ω^{2} \cdot r & = & a_{c} / : r \\ ω & = & \sqrt{\frac{a_{c}}{r}} \\ f & = & \frac{ω}{2 π} = \frac{1}{2 π} \sqrt{\frac{a_{c}}{r}} \end{array}$

Unidades: $\sqrt{\frac{{m / s}^{2}}{m}} = \frac{1}{s}$ , cuadra. Sustituimos:

$f = \frac{1}{2 π} \sqrt{\frac{58, 86 {m / s}^{2}}{8 m}} \approx 0, 43 Hz$

Por minuto son 0,432 · 60 ≈ 26 vueltas. Una vuelta dura unos 2,3 s y la cabina se lanza a una velocidad de v = ω · r ≈ 21,7 m/s, casi 80 km/h. La centrifugadora tiene que dar unas 26 revoluciones por minuto (rpm).

Problema 12: El metro entre estaciones

Un tren de metro arranca de una estación con una aceleración de 1,2 m/s² durante 15 s, luego circula con velocidad constante durante 30 s y finalmente frena con una deceleración de 1,5 m/s² hasta detenerse en la siguiente estación. ¿Qué distancia hay entre las estaciones y cuál es la velocidad media del tren?

Resolución: Dividimos el trayecto en tres tramos y en cada uno usamos las fórmulas de un solo tipo de movimiento.

$\begin{aligned} a_{1} & = 1, 2 {m / s}^{2}, t_{1} = 15 s \\ t_{2} & = 30 s \\ | a_{3} | & = 1, 5 {m / s}^{2} \\ s & = ? (m), v_{m} = ? (m / s) \end{aligned}$

Arranque desde el reposo. Al final, el tren tiene una velocidad de

$v = a_{1} \cdot t_{1} = 1, 2 {m / s}^{2} \cdot 15 s = 18 m / s$

y ha recorrido

$s_{1} = \frac{1}{2} a_{1} t_{1}^{2} = \frac{1}{2} \cdot 1, 2 {m / s}^{2} \cdot (15 s)^{2} = 135 m .$

Marcha con velocidad constante de 18 m/s, es decir, unos 65 km/h:

$s_{2} = v \cdot t_{2} = 18 m / s \cdot 30 s = 540 m$

Frenado de 18 m/s hasta detenerse:

$\begin{aligned} t_{3} & = \frac{v}{| a_{3} |} = \frac{18 m / s}{1, 5 {m / s}^{2}} = 12 s \\ s_{3} & = \frac{v^{2}}{2 \cdot | a_{3} |} = \frac{(18 m / s)^{2}}{2 \cdot 1, 5 {m / s}^{2}} = 108 m \end{aligned}$

En total:

$\begin{aligned} s & = 135 m + 540 m + 108 m = 783 m \\ t & = 15 s + 30 s + 12 s = 57 s \\ v_{m} & = \frac{s}{t} = \frac{783 m}{57 s} \approx 13, 7 m / s \end{aligned}$

Las estaciones están a unos 780 m una de otra y el tren las recorre en menos de un minuto con una velocidad media de unos 49 km/h. A la velocidad máxima de 65 km/h va solo aproximadamente la mitad del tiempo, por eso la media es claramente menor. Una distancia de alrededor de un kilómetro es habitual en un metro urbano.

Problema 13: Lectura de una gráfica

La gráfica muestra la velocidad del patinete eléctrico de Felipe durante doce segundos. ¿Qué aceleración tuvo el patinete en cada tramo, qué distancia recorrió en total y cuál fue su velocidad media?

Gráfica de la velocidad v en función del tiempo t: de 0 a 4 s crece de 4 a 8 m/s, de 4 a 10 s es constante, de 10 a 12 s baja hasta cero

Resolución: De la gráfica leemos la velocidad en los puntos donde cambia el tipo de movimiento: al principio 4 m/s, en el instante 4 s ya 8 m/s, en 10 s todavía 8 m/s y en 12 s, cero. La aceleración es el cambio de velocidad dividido entre el tiempo:

$\begin{aligned} a_{1} & = \frac{8 m / s - 4 m / s}{4 s} = 1 {m / s}^{2} \\ a_{2} & = 0 {m / s}^{2} \\ a_{3} & = \frac{0 m / s - 8 m / s}{2 s} = - 4 {m / s}^{2} \end{aligned}$

Esto se ve en la gráfica incluso sin calcular: cuanto más empinado es el tramo, mayor es el módulo de la aceleración. Un tramo ascendente significa aceleración positiva, uno horizontal, nula, y uno descendente, negativa: en el tercer tramo el patinete tiene una aceleración de −4 m/s², es decir, una deceleración de 4 m/s².

La distancia es el área bajo la gráfica de la velocidad. El primer tramo forma un trapecio, el segundo un rectángulo y el tercero un triángulo:

$\begin{aligned} s_{1} & = \frac{4 m / s + 8 m / s}{2} \cdot 4 s = 24 m \\ s_{2} & = 8 m / s \cdot 6 s = 48 m \\ s_{3} & = \frac{1}{2} \cdot 8 m / s \cdot 2 s = 8 m \end{aligned}$

En total, s = 80 m en 12 s, y la velocidad media es

$v_{m} = \frac{s}{t} = \frac{80 m}{12 s} \approx 6, 7 m / s .$

Comprobación: la velocidad media tiene que estar entre cero y la velocidad máxima de 8 m/s y, como el patinete fue la mayor parte del tiempo a ocho, estará más cerca de ella. El patinete tuvo sucesivamente aceleraciones de 1 m/s², nula y −4 m/s², recorrió 80 m y fue en promedio a unos 6,7 m/s, es decir, 24 km/h.

Con el mismo procedimiento se pueden resolver también problemas en los que intervienen fuerzas. Los encontrarás en el artículo Problemas resueltos de dinámica.

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