Aufgaben zur Kinematik mit Lösungen

Physik lernst du nicht durch Lesen, sondern nur durch Rechnen. Es folgen dreizehn Aufgaben zur Bewegung, geordnet vom Weg und der Verschiebung über die Beschleunigung und den freien Fall bis zur Zentripetalbeschleunigung. In den letzten beiden wechseln sich die Bewegungsarten ab. Alle lösen wir nach demselben Vorgehen: Angaben notieren, Einheiten umrechnen, allgemeine Lösung, Einsetzen mit Einheiten, Abschätzung und Antwort in einem ganzen Satz. Versuche jede Aufgabe zuerst selbst zu lösen und lies die Lösung erst danach.

Aufgabe 1: Klara geht mit dem Hund Gassi

Klara geht mit ihrem Hund um einen quadratischen Park mit der Seitenlänge 120 m. Sie startet an einer Ecke und geht um drei Seiten des Parks herum. Welchen Weg legt sie zurück, und wie groß ist ihre Verschiebung?

Lösung:

$\begin{aligned} s & = ? (m) \\ | Δ \vec{r} | & = ? (m) \end{aligned}$

Der Weg ist die Länge der Bahn, also von drei Seiten des Parks:

$s = 3 \cdot 120 m = 360 m$

Die Verschiebung ist der Pfeil vom Startpunkt zu dem Ort, an dem sie angekommen ist. Nach drei Seiten des Quadrats steht sie an der Ecke, die an die Startecke angrenzt, die Verschiebung verläuft also entlang der vierten Seite:

$| Δ \vec{r} | = 120 m$

Klara ist 360 m gegangen, aber von ihrem Startpunkt ist sie nur 120 m entfernt. Wäre sie um den ganzen Park herumgegangen, hätte sie 480 m zurückgelegt, und die Verschiebung wäre null.

Aufgabe 2: Bergauf und bergab

Max fährt mit dem Fahrrad auf einer 3 km langen Straße mit 12 km/h einen Berg hinauf und auf demselben Weg mit 36 km/h wieder hinunter. Wie groß ist seine Durchschnittsgeschwindigkeit?

Lösung: Man ist versucht, die Geschwindigkeiten zu addieren und durch zwei zu teilen, das ergäbe 24 km/h. Die Durchschnittsgeschwindigkeit ist aber der gesamte Weg geteilt durch die gesamte Zeit, und bergauf fährt Max viel länger als bergab.

$\begin{aligned} s_{1} = s_{2} & = 3 km \\ v_{1} & = 12 km / h \\ v_{2} & = 36 km / h \\ \bar{v} & = ? (km / h) \end{aligned}$

Alles ist in Kilometern und Stunden, eine Umrechnung entfällt. Die Fahrzeiten sind $t_{1} = \frac{s_{1}}{v_{1}}$ und $t_{2} = \frac{s_{2}}{v_{2}}$ , also

$\bar{v} = \frac{s_{1} + s_{2}}{t_{1} + t_{2}} = \frac{s_{1} + s_{2}}{\frac{s_{1}}{v_{1}} + \frac{s_{2}}{v_{2}}} .$

Wir setzen ein:

$\begin{aligned} \bar{v} & = \frac{6 km}{\frac{3 km}{12 km / h} + \frac{3 km}{36 km / h}} \\ = \frac{6 km}{0, 25 h + \frac{1}{12} h} = \frac{6 km}{\frac{1}{3} h} = 18 km / h \end{aligned}$

Bergauf war Max eine Viertelstunde unterwegs, bergab fünf Minuten. Die ganze Strecke hat er in zwanzig Minuten geschafft, und wer 6 km in einer Drittelstunde fährt, käme in einer Stunde 18 km weit. Max ist im Durchschnitt 18 km/h gefahren, nicht 24 km/h.

Aufgabe 3: Hannah läuft von der Hütte los

Eine Berghütte steht 4 km hinter dem Dorf am Weg. Hannah geht von ihr aus mit konstanter Geschwindigkeit 5 km/h weiter vom Dorf weg. Wie weit vom Dorf entfernt ist sie nach 1 Stunde und 12 Minuten?

Lösung:

$\begin{aligned} s_{0} & = 4 km \\ v & = 5 km / h \\ t & = 1 h 12 \min = 1, 2 h \\ s & = ? (km) \end{aligned}$

Vorsicht bei der Umrechnung. Zwölf Minuten sind nicht 0,12 h, sondern $\frac{12}{60} = 0, 2 h$ . Hannah startet nicht im Dorf, sondern 4 km davon entfernt, deshalb addieren wir zum zurückgelegten Weg den Anfangsweg s₀, wie bei der gleichförmigen geradlinigen Bewegung:

$s = s_{0} + v \cdot t = 4 km + 5 km / h \cdot 1, 2 h = 10 km$

Kilometer pro Stunde mal Stunden ergibt Kilometer, das passt. In einer Stunde geht Hannah 5 km, in 1,2 h ein Fünftel mehr, also 6 km, und mit der Hütte sind es zehn. Hannah ist 10 km vom Dorf entfernt. Wer 1,12 h eingesetzt hätte, hätte 9,6 km erhalten.

Aufgabe 4: Jakob holt seine Mama ein

Jakobs Mama verlässt mit dem Kinderwagen das Haus und geht mit 4 km/h. Nach einer Viertelstunde merkt Jakob, dass sie die Schlüssel vergessen hat, und läuft ihr auf demselben Weg mit 10 km/h hinterher. Wie lange braucht er, um sie einzuholen, und wie weit vom Haus entfernt ist das?

Lösung:

$\begin{aligned} v_{1} & = 4 km / h \\ v_{2} & = 10 km / h \\ t_{0} & = 15 \min = 0, 25 h \\ t & = ? (h) \end{aligned}$

Seine Mama hat nach einer Viertelstunde einen Vorsprung von s₀ = v₁ · t₀ = 4 km/h · 0,25 h = 1 km. Beim Einholen verkleinert sich der Abstand um die Differenz der Geschwindigkeiten:

$\begin{aligned} t & = \frac{s_{0}}{v_{2} - v_{1}} = \frac{1 km}{10 km / h - 4 km / h} \\ = \frac{1}{6} h = 10 \min \end{aligned}$

In dieser Zeit läuft Jakob

$s = v_{2} \cdot t = 10 km / h \cdot \frac{1}{6} h \approx 1, 67 km .$

Probe: Seine Mama geht 15 + 10 = 25 Minuten, also $\frac{25}{60}$ Stunden, und legt $4 \cdot \frac{25}{60} \approx 1, 67 km$ zurück. Das stimmt. Jakob holt seine Mama zehn Minuten nach seinem Start ein, etwa 1,7 km vom Haus entfernt.

Aufgabe 5: Der Gepard

Ein Gepard beschleunigt aus der Ruhe in 2,5 s auf 72 km/h. Welche Durchschnittsbeschleunigung hat er? Und welche Beschleunigung hat er danach, wenn er aus dieser Geschwindigkeit in 4 s zum Stehen kommt?

Lösung:

$\begin{aligned} v_{0} & = 0 m / s \\ v & = 72 km / h = 20 m / s \\ Δ t & = 2, 5 s \\ a & = ? ({m / s}^{2}) \end{aligned}$

Nach der Formel für die Beschleunigung:

$a = \frac{v - v_{0}}{Δ t} = \frac{20 m / s - 0 m / s}{2, 5 s} = 8 {m / s}^{2}$

Der Gepard hat die Beschleunigung 8 m/s², jede Sekunde wird er um 8 m/s schneller. Ein Familienauto, das zehn Sekunden von null auf hundert braucht, hat knapp 3 m/s², der Gepard würde es beim Start mühelos abhängen.

Beim Abbremsen sinkt die Geschwindigkeit in 4 s von 20 m/s auf null:

$a = \frac{0 m / s - 20 m / s}{4 s} = - 5 {m / s}^{2}$

Als positive Richtung nehmen wir die Laufrichtung, eine negative Beschleunigung bedeutet deshalb Bremsen. Beim Abbremsen hat der Gepard die Beschleunigung −5 m/s², also die Verzögerung 5 m/s².

Aufgabe 6: Wie lang muss die Startbahn sein

Ein Verkehrsflugzeug rollt beim Start mit konstanter Beschleunigung 2 m/s² aus der Ruhe an und hebt bei der Geschwindigkeit 252 km/h ab. Welche Strecke der Startbahn braucht es, und wie lange dauert das Anrollen?

Lösung:

$\begin{aligned} v_{0} & = 0 m / s \\ a & = 2 {m / s}^{2} \\ v & = 252 km / h = 70 m / s \\ s & = ? (m), t = ? (s) \end{aligned}$

Die Zeit kennen wir nicht, also eignet sich die Beziehung ohne Zeit $v^{2} = v_{0}^{2} + 2 a s$ . Für das Anrollen aus der Ruhe lösen wir sie nach dem Weg auf:

$s = \frac{v^{2}}{2 a} = \frac{(70 m / s)^{2}}{2 \cdot 2 {m / s}^{2}} = \frac{4.900 m^{2} {/ s}^{2}}{4 {m / s}^{2}} = 1.225 m$

Die Dauer des Anrollens berechnen wir aus v = a · t:

$t = \frac{v}{a} = \frac{70 m / s}{2 {m / s}^{2}} = 35 s$

Kontrolle mit der Durchschnittsgeschwindigkeit: Sie ist beim Anfahren aus der Ruhe die Hälfte der Endgeschwindigkeit, 35 m/s, und in 35 s ergibt das 35 m/s · 35 s = 1.225 m. Das Flugzeug rollt 35 s an und braucht über 1,2 km Bahn. Deshalb haben große Flughäfen Startbahnen von mehreren Kilometern Länge, mit einer Reserve für einen abgebrochenen Start.

Aufgabe 7: Ein Reh auf nasser Straße

Ein Autofahrer fährt auf nasser Straße mit 60 km/h und sieht 40 m vor sich ein Reh. Die Reaktion dauert 1 s, auf nassem Asphalt bremst das Auto mit der Verzögerung 5 m/s². Kommt es rechtzeitig zum Stehen?

Lösung:

$\begin{aligned} v & = 60 km / h = \frac{60}{3, 6} m / s = \frac{50}{3} m / s \\ t_{R} & = 1 s \\ | a | & = 5 {m / s}^{2} \\ s & = ? (m) \end{aligned}$

Die Geschwindigkeit lassen wir als Bruch stehen, damit wir Zwischenergebnisse nicht runden. Der gesamte Weg ist Reaktionsweg plus Bremsweg:

$s = s_{R} + s_{B} = v \cdot t_{R} + \frac{v^{2}}{2 \cdot | a |}$

Wir setzen jeden Teil einzeln ein:

$\begin{aligned} s_{R} & = \frac{50}{3} m / s \cdot 1 s \approx 16, 7 m \\ s_{B} & = \frac{{(\frac{50}{3} m / s)}^{2}}{2 \cdot 5 {m / s}^{2}} = \frac{250}{9} m \approx 27, 8 m \end{aligned}$

Insgesamt sind es $\frac{400}{9} m \approx 44, 4 m$ . Das Auto kommt nicht rechtzeitig zum Stehen, es würde erst etwa 4 m hinter der Stelle halten, an der das Reh steht. Auf trockener Straße mit der Verzögerung 7 m/s² würden ihm 36,5 m genügen, auf nasser Straße lohnt es sich also, langsamer zu fahren.

Aufgabe 8: Ein Stein von der Brücke

Von einer Brücke lassen wir einen Stein fallen, der nach 1,5 s in den Fluss fällt. Wie hoch liegt die Brücke über dem Wasser, und mit welcher Geschwindigkeit schlägt der Stein auf? Den Luftwiderstand vernachlässigen wir. Wie lange würde er von einer doppelt so hohen Brücke fallen?

Lösung:

$\begin{aligned} t & = 1, 5 s \\ g & = 9, 81 {m / s}^{2} \\ h & = ? (m), v = ? (m / s) \end{aligned}$

Es handelt sich um einen freien Fall, die positive Richtung wählen wir nach unten:

$h = \frac{1}{2} g t^{2} = \frac{1}{2} \cdot 9, 81 {m / s}^{2} \cdot (1, 5 s)^{2} \approx 11 m$

$v = g \cdot t = 9, 81 {m / s}^{2} \cdot 1, 5 s \approx 14, 7 m / s$

Das sind etwa 53 km/h. Die Abschätzung mit g ≈ 10 m/s² ergibt $\frac{1}{2} \cdot 10 \cdot 2, 25 \approx 11 m$ , das passt. Die Brücke liegt etwa 11 m über dem Wasser, und der Stein schlägt mit rund 15 m/s auf.

Die doppelte Höhe bedeutet nicht die doppelte Zeit. Aus $t = \sqrt{\frac{2 h}{g}}$ sieht man, dass die doppelte Höhe die Fallzeit nur $\sqrt{2}$ -mal verlängert:

$t^{'} = \sqrt{2} \cdot 1, 5 s \approx 2, 1 s$

Aufgabe 9: Eine Drohne im Seitenwind

Eine Drohne fliegt mit 12 m/s relativ zur Luft, ihr Bug zeigt genau nach Norden. Es weht Ostwind, die Luft bewegt sich also nach Westen, mit 5 m/s. Wie schnell bewegt sich die Drohne relativ zum Boden, und um welchen Winkel weicht sie von Norden ab?

Lösung:

$\begin{aligned} v_{1} & = 12 m / s \\ v_{2} & = 5 m / s \\ v & = ? (m / s), α = ? \end{aligned}$

Die Drohne bewegt sich auf zweierlei Weise: Sie fliegt relativ zur Luft, und die Luft trägt sie mit. Die resultierende Geschwindigkeit ist ihre Vektorsumme, und weil beide Geschwindigkeiten senkrecht aufeinander stehen, verwenden wir den Satz des Pythagoras:

$\begin{aligned} v & = \sqrt{v_{1}^{2} + v_{2}^{2}} = \sqrt{(12 m / s)^{2} + (5 m / s)^{2}} \\ = 13 m / s \end{aligned}$

Den Winkel zur Nordrichtung finden wir im rechtwinkligen Geschwindigkeitsdreieck, in dem die Windgeschwindigkeit die Gegenkathete und die resultierende Geschwindigkeit die Hypotenuse ist:

$\sin α = \frac{v_{2}}{v} = \frac{5}{13} \approx 0,385, α \approx 22, 6 °$

Die einfache Summe würde 17 m/s ergeben, aber die Geschwindigkeiten haben nicht dieselbe Richtung. Das Ergebnis muss größer als 12 m/s und kleiner als 17 m/s sein, und 13 m/s ist es. Die Drohne fliegt relativ zum Boden mit 13 m/s, und der Wind lenkt sie um etwa 23° von Norden nach Westen ab. In einer Minute trägt er sie 300 m zur Seite.

Aufgabe 10: Riesenrad

Ein Riesenrad auf dem Jahrmarkt hat den Radius 20 m, und eine Umdrehung dauert 4 min. Wie groß sind seine Frequenz und seine Winkelgeschwindigkeit, und mit welcher Geschwindigkeit fährt die Gondel am Rand?

Lösung:

$\begin{aligned} r & = 20 m \\ T & = 4 \min = 240 s \\ f & = ? (Hz), ω = ? (rad / s), v = ? (m / s) \end{aligned}$

Die Frequenz ist der Kehrwert der Umlaufdauer:

$f = \frac{1}{T} = \frac{1}{240 s} \approx 0,004 2 Hz$

Die Winkelgeschwindigkeit ist der volle Winkel 2π geteilt durch die Umlaufdauer:

$ω = \frac{2 π}{T} = \frac{2 π}{240 s} \approx 0,026 rad / s$

Die Geschwindigkeit der Gondel:

$v = ω \cdot r = \frac{2 π \cdot r}{T} = \frac{2 π \cdot 20 m}{240 s} \approx 0, 52 m / s$

Die Gondel legt in einer Umdrehung den Umfang des Rades zurück, etwa 126 m, in vier Minuten. Das sind etwa 1,9 km/h, ein langsamer Spaziergang. In die Gondel könnte man deshalb auch während der Fahrt einsteigen, wie bei großen Aussichtsrädern.

Aufgabe 11: Zentrifuge für Piloten

Eine Trainingszentrifuge für Piloten hat die Kabine an einem 8 m langen Arm. Wie oft pro Minute muss sie sich drehen, damit die Kabine die Zentripetalbeschleunigung 6g hat, also das Sechsfache der Fallbeschleunigung?

Lösung:

$\begin{aligned} r & = 8 m \\ a_{Z} & = 6 \cdot 9, 81 {m / s}^{2} = 58, 86 {m / s}^{2} \\ f & = ? (Hz) \end{aligned}$

Aus der Formel für die Zentripetalbeschleunigung a_Z = ω² · r berechnen wir zuerst die Winkelgeschwindigkeit, dann die Frequenz:

$\begin{array}{rcl} ω^{2} \cdot r & = & a_{Z} / : r \\ ω & = & \sqrt{\frac{a_{Z}}{r}} \\ f & = & \frac{ω}{2 π} = \frac{1}{2 π} \sqrt{\frac{a_{Z}}{r}} \end{array}$

Einheiten: $\sqrt{\frac{{m / s}^{2}}{m}} = \frac{1}{s}$ , das passt. Wir setzen ein:

$f = \frac{1}{2 π} \sqrt{\frac{58, 86 {m / s}^{2}}{8 m}} \approx 0, 43 Hz$

Pro Minute sind das 0,432 · 60 ≈ 26 Umdrehungen. Eine Umdrehung dauert etwa 2,3 s, und die Kabine rast mit v = ω · r ≈ 21,7 m/s, fast 80 km/h. Die Zentrifuge muss sich etwa 26-mal pro Minute drehen.

Aufgabe 12: Die U-Bahn zwischen zwei Stationen

Ein U-Bahn-Zug fährt aus einer Station 15 s lang mit der Beschleunigung 1,2 m/s² an, fährt dann 30 s mit konstanter Geschwindigkeit und bremst schließlich mit der Verzögerung 1,5 m/s², bis er in der nächsten Station hält. Wie weit sind die Stationen voneinander entfernt, und wie groß ist die Durchschnittsgeschwindigkeit des Zuges?

Lösung: Die Fahrt teilen wir in drei Abschnitte, und in jedem verwenden wir die Formeln für eine Bewegungsart.

$\begin{aligned} a_{1} & = 1, 2 {m / s}^{2}, t_{1} = 15 s \\ t_{2} & = 30 s \\ | a_{3} | & = 1, 5 {m / s}^{2} \\ s & = ? (m), \bar{v} = ? (m / s) \end{aligned}$

Anfahren aus der Ruhe. An seinem Ende hat der Zug die Geschwindigkeit

$v = a_{1} \cdot t_{1} = 1, 2 {m / s}^{2} \cdot 15 s = 18 m / s$

und hat

$s_{1} = \frac{1}{2} a_{1} t_{1}^{2} = \frac{1}{2} \cdot 1, 2 {m / s}^{2} \cdot (15 s)^{2} = 135 m .$

zurückgelegt.

Fahrt mit der konstanten Geschwindigkeit 18 m/s, also etwa 65 km/h:

$s_{2} = v \cdot t_{2} = 18 m / s \cdot 30 s = 540 m$

Bremsen von 18 m/s bis zum Stillstand:

$\begin{aligned} t_{3} & = \frac{v}{| a_{3} |} = \frac{18 m / s}{1, 5 {m / s}^{2}} = 12 s \\ s_{3} & = \frac{v^{2}}{2 \cdot | a_{3} |} = \frac{(18 m / s)^{2}}{2 \cdot 1, 5 {m / s}^{2}} = 108 m \end{aligned}$

Insgesamt:

$\begin{aligned} s & = 135 m + 540 m + 108 m = 783 m \\ t & = 15 s + 30 s + 12 s = 57 s \\ \bar{v} & = \frac{s}{t} = \frac{783 m}{57 s} \approx 13, 7 m / s \end{aligned}$

Die Stationen liegen etwa 780 m auseinander, der Zug legt die Strecke in knapp einer Minute mit einer Durchschnittsgeschwindigkeit von etwa 49 km/h zurück. Die Höchstgeschwindigkeit von 65 km/h fährt er nur etwa die Hälfte der Zeit, deshalb liegt der Durchschnitt deutlich darunter. Ein Abstand von rund einem Kilometer ist für eine Stadt-U-Bahn üblich.

Aufgabe 13: Ablesen aus dem Graphen

Der Graph zeigt die Geschwindigkeit von Philipps E-Scooter während zwölf Sekunden. Welche Beschleunigung hatte der Roller in den einzelnen Abschnitten, welchen Weg legte er insgesamt zurück, und wie groß war seine Durchschnittsgeschwindigkeit?

Graph der Geschwindigkeit v über der Zeit t: von 0 bis 4 s steigt sie von 4 auf 8 m/s, von 4 bis 10 s ist sie konstant, von 10 bis 12 s fällt sie auf null

Lösung: Aus dem Graphen lesen wir die Geschwindigkeit an den Punkten ab, an denen sich die Bewegungsart ändert: am Anfang 4 m/s, zur Zeit 4 s schon 8 m/s, zur Zeit 10 s immer noch 8 m/s und zur Zeit 12 s null. Die Beschleunigung ist die Änderung der Geschwindigkeit geteilt durch die Zeitspanne:

$\begin{aligned} a_{1} & = \frac{8 m / s - 4 m / s}{4 s} = 1 {m / s}^{2} \\ a_{2} & = 0 {m / s}^{2} \\ a_{3} & = \frac{0 m / s - 8 m / s}{2 s} = - 4 {m / s}^{2} \end{aligned}$

Das sieht man auch ohne Rechnen am Graphen: Je steiler der Abschnitt, desto größer der Betrag der Beschleunigung. Ein steigender Abschnitt bedeutet positive Beschleunigung, ein waagerechter null und ein fallender negative: Im dritten Abschnitt hat der Roller die Beschleunigung −4 m/s², also die Verzögerung 4 m/s².

Der Weg ist die Fläche unter dem Geschwindigkeitsgraphen. Der erste Abschnitt ist ein Trapez, der zweite ein Rechteck und der dritte ein Dreieck:

$\begin{aligned} s_{1} & = \frac{4 m / s + 8 m / s}{2} \cdot 4 s = 24 m \\ s_{2} & = 8 m / s \cdot 6 s = 48 m \\ s_{3} & = \frac{1}{2} \cdot 8 m / s \cdot 2 s = 8 m \end{aligned}$

Insgesamt sind es s = 80 m in 12 s, die Durchschnittsgeschwindigkeit beträgt

$\bar{v} = \frac{s}{t} = \frac{80 m}{12 s} \approx 6, 7 m / s .$

Kontrolle: Die Durchschnittsgeschwindigkeit muss zwischen null und der höchsten Geschwindigkeit 8 m/s liegen, und weil der Roller die meiste Zeit mit acht Metern pro Sekunde fuhr, liegt sie näher daran. Der Roller hatte nacheinander die Beschleunigungen 1 m/s², null und −4 m/s², legte 80 m zurück und fuhr im Durchschnitt etwa 6,7 m/s, das sind 24 km/h.

Mit demselben Vorgehen lassen sich auch Aufgaben lösen, in denen Kräfte vorkommen. Die findest du im Artikel Aufgaben zur Dynamik mit Lösungen.

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