공통인수로 묶기

공통인수로 묶기를 배우기 전에 먼저 괄호를 전개하는 방법을 살펴보자. 이 둘은 아주 밀접하다. 공통인수로 묶는 것은 괄호를 전개하는 것과 정반대의 계산이라고 할 수도 있다.

괄호의 전개

괄호의 전개는 간단한 계산이다. 예를 들어 식 3 · (5 + 8)을 계산해 보자. 계산하는 방법은 두 가지이다. 괄호 안을 먼저 더하면 5 + 8 = 13이므로 3 · 13이 된다.

두 번째 방법은 괄호를 전개하는 것이다. 괄호 앞의 수 3을 괄호 안의 두 수에 각각 곱한다. 괄호 안의 덧셈 기호는 그대로 둔다. 그러면 다음을 얻는다.

$$3\cdot (5+8)=(3\cdot 5+3\cdot 8)$$

두 방법의 결과는 같다. (3 · 5 + 3 · 8) = 15 + 24 = 39이다.

괄호를 전개할 수 있는 이유

왜 이렇게 계산해도 될까? 곱셈을 덧셈으로 풀어 써 보자. 예를 들어 3 · 7은 7을 세 번 더한다는 뜻이다. 즉, 3 · 7 = 7 + 7 + 7이다.

괄호가 있는 식도 마찬가지로 풀어 쓸 수 있다. 3 · (5 + 8)은 (5 + 8) + (5 + 8) + (5 + 8)과 같다. 덧셈은 순서를 바꾸어도 되므로 괄호를 없애고 5끼리, 8끼리 모으면 5 + 5 + 5 + 8 + 8 + 8이 된다. 이 식을 곱셈으로 다시 쓰면 3 · 5 + 3 · 8이고, 이것이 괄호를 전개한 결과이다.

괄호 전개 예제

1. 5 · (4 + 7)을 전개하시오. 괄호 안의 수에 5를 곱하면 5 · (4 + 7) = 5 · 4 + 5 · 7이다.
2. 6 · (x + 4)를 전개하시오. 미지수가 있어도 놀랄 필요 없이 6을 곱하면 된다. 6 · (x + 4) = 6x + 6 · 4이다.
3. x · (4 + 173)을 전개하시오. 이번에는 미지수가 괄호 앞에 있으므로 괄호 안의 두 수에 x를 곱한다. x · (4 + 173) = 4x + 173x이다.
4. 4x · (2x + 7)을 전개하시오. 미지수가 괄호 앞에도 안에도 있고, 괄호 앞의 식도 조금 복잡하다. 그래도 괄호 안의 각 항에 4x를 곱하면 된다. 4x · (2x + 7) = 4x · 2x + 4x · 7 = 8x² + 28x이다.

간단한 공통인수 묶기

공통인수로 묶는 것은 괄호를 전개하는 것의 반대이다. 예를 들어 식 10x + 5가 있다고 하자. 두 항을 모두 깔끔하게 나눌 수 있는 수를 찾으면, 그 수를 괄호 밖으로 묶어 낼 수 있다. 이 식에서는 $10x÷5=2x$이고 $5÷5=1$이므로 5를 묶어 낼 수 있다. 그러면 다음과 같이 쓸 수 있다.

$$10x+5=5\cdot (2x+1).$$

괄호 5 · (2x + 1)을 다시 전개하면 10x + 5로 돌아온다. 공통인수로 묶는 목적은 보통 식을 간단히 하거나 곱의 꼴로 만들어 분수를 약분하기 위해서이다.

미지수를 공통인수로 묶기

수뿐 아니라 미지수도 자주 묶어 낸다. 예를 들어 식 3x² + 7x에서는 x를 묶어 낼 수 있다. 두 항을 x로 나누고 괄호를 친 뒤 괄호에 x를 곱하면 3x² + 7x = x · (3x + 7)이 된다.

보통은 묶어 낼 수 있는 것을 “최대한” 묶어 낸다. 예를 들어 식 8x² + 12x에서 x만 묶어 내면 8x² + 12x = x · (8x + 12)가 되지만, 괄호 안에서 4를 더 묶어 낼 수 있다. 지금 이어서 묶으면 x · (4 · (2x + 3))이 되고, 바깥 괄호를 없애면 4x · (2x + 3)이 된다.

처음 식 8x² + 12x에서 바로 4x를 묶어 내도 같은 결과를 얻는다. 과정을 풀어 쓰면 다음과 같다.

$$8x^2+12x=4x\cdot (8x^2÷4x+12x÷4x)=4x\cdot (2x+3).$$

더 복잡한 식에서 공통인수 묶기

지금까지는 항이 두 개인 식에서만 공통인수를 묶었다. 하지만 더 긴 식에서도 묶어 낼 수 있다. 예를 들어 7x³ + 5x² + 2x에서 x를 묶어 내면 x · (7x² + 5x + 2)가 된다.

또 꼭 깔끔한 수만 묶어 낼 필요는 없고, 무엇이든 묶어 낼 수 있다. 예를 들어 식 6x + 7에서 2를 묶어 낼 수도 있다. 다만 두 항을 모두 2로 나누어야 하므로 결과가 깔끔하지 않다. $6x÷2=3x$는 괜찮지만 $7÷2=3.5$는 깔끔하지 않다. 그래서 결과는 6x + 7 = 2 · (3x + 3.5)가 된다.

예제

• 25x + 45를 적절히 공통인수로 묶으시오. 한눈에 5를 묶어 낼 수 있음을 알 수 있으므로 5 · (5x + 9)를 얻는다.

• 다음 분수를 간단히 하시오.

  $$\frac{3x^2+7x}{x}.$$

  먼저 분자에서 x를 묶어 내면 분자는 x · (3x + 7)이 된다. 이제 분수 전체를 x로 약분할 수 있다.

  $$\frac{3x^2+7x}{x}=\frac{x\cdot (3x+7)}{x}=3x+7$$

• −2x² − 8x를 적절히 공통인수로 묶으시오. 처음으로 음수가 나왔지만 전혀 문제없다. 양수를 묶어 냈던 것처럼 음수도 묶어 낼 수 있다. 여기서는 한 번에 −2x를 묶어 낼 수 있다.

  $$-2x^2-8x=-2x(x+4).$$