일차방정식

일차방정식은 a ≠ 0일 때 ax + b = 0 꼴로 바꿀 수 있는 방정식이다. 구체적인 예로 2x + 4 = 0이 있다. 이 방정식의 해는 −2이고, 꽤 쉽게 짐작할 수 있다. 수가 조금 더 크면 이렇게 짐작하기 어려우므로 더 구체적인 방법이 필요하다.

일차방정식의 기본 꼴

정확히 말하면 일차방정식은 미지수 x가 하나 있고 등식의 성질을 이용해 a ≠ 0인 ax + b = 0 꼴로 바꿀 수 있는 방정식이다. 미지수는 거듭제곱되거나 근호 안에 들어 있지 않다. 분수의 분모에 미지수가 있는 방정식은 분모가 0이 아니라는 조건이 있을 때만 이 꼴로 바꿀 수 있다. 그래서 분모에 미지수가 있는 일차방정식에서 따로 다룬다. 여러 가지 일차방정식의 예를 보자.

$$\begin{array}{rcl}2x+7& =& 0\\ x-2& =& 74\\ (x+3)-(7x\cdot 3)& =& -12x\\ \frac{x}{2}+\frac{3x}{72}& =& x\cdot \frac{45}{8}+1\end{array}$$

보다시피 일차방정식은 모양이 아주 다양하다. 쉽게 풀려면 먼저 하나의 꼴로 맞춰야 하는데, 이 꼴을 기본 꼴이라고 한다.

$$ax+b=0,$$

여기서 x는 미지수이고, a와 b는 방정식의 계수라고 부르는 임의의 실수이다. 다만 a는 0이 아니어야 한다. 즉 a ≠ 0이다. ax를 일차항, b를 상수항이라고 한다.

일차방정식을 풀 때는 등식의 성질, 즉 방정식의 해를 바꾸지 않는 변형이 꼭 필요하다. 이 성질 없이는 복잡한 방정식을 풀 수 없다. 방정식을 기본 꼴로 바꾸려면 방정식에 있는 식 자체를 정리하거나 등식의 성질을 이용한다.

앞의 예로 돌아가자. 첫 번째 방정식 2x + 7 = 0은 이미 기본 꼴이므로 계수 a = 2, b = 7을 바로 알 수 있다. 두 번째 방정식 x − 2 = 74는 그렇게 쉽지 않다. 등식의 성질을 이용해 양변에 −74를 더하면(즉 양변에서 74를 빼면) x − 76 = 0을 얻는다. 이 방정식은 기본 꼴이고 계수는 a = 1, b = −76이다.

세 번째 방정식은 기본 꼴과 아직 거리가 멀지만 풀 수 있다. 먼저 우변을 0으로 “만든다”. 양변에 식 12x를 더하면 (−12x) + 12x = 0이므로 우변은 0이 된다. 방정식 전체는 다음과 같다.

$$(x+3)-(7x\cdot 3)+12x=0$$

이제 괄호를 없애고 x가 있는 항을 더하기만 하면 된다.

$$\begin{array}{rcl}(x+3)-(7x\cdot 3)+12x& =& 0\\ x+3-21x+12x& =& 0\\ -8x+3& =& 0\end{array}$$

이 일차방정식은 기본 꼴이고 계수는 a = −8, b = 3이다.

마지막 방정식에서는 분수를 없애야 한다. 그래서 양변에 모든 분모로 나누어떨어지는 수 72를 곱한다.

$$72\cdot \frac{x}{2}+72\cdot \frac{3x}{72}=72x\cdot \frac{45}{8}+72\cdot 1$$

이제 분수를 약분한다.

$$36x+3x=9x\cdot 45+72$$

좌변은 더하고 우변은 곱한다.

$$39x=405x+72$$

마지막 단계만 남았다. 양변에서 405x와 72를 빼면 방정식은 기본 꼴이 된다.

$$-366x-72=0$$

계수는 a = −366, b = −72이다.

일차방정식의 풀이

기본 꼴의 일차방정식은 쉽게 풀 수 있다. 예로 3x − 18 = 0을 보자. 어떤 수에서 18을 빼야 0이 될까? 역시 18이다. 그러니 식 3x − 18이 0이 되려면 식 3x가 18이어야 하고, 그러면 18 − 18 = 0이 된다. 식 3x는 언제 18일까? 3 · 6 = 18이므로 x = 6일 때이다.

여기서 일반적인 방법을 어떻게 끌어낼까? 먼저 일차항 ax가 무엇과 같아야 하는지 알아야 한다. 상수항을 우변으로 이항하면 된다. 즉 양변에 −b를 더한다. 그러면 ax + b − b = −b, 즉 ax = −b 꼴의 방정식을 얻는다. 앞의 예라면 3x − 18 + 18 = 18, 즉 3x = 18을 얻는다. 수 b는 b = −18이었으므로 −b를 더하는 것은 −(−18), 즉 +18을 더하는 것임을 잊지 말자.

방정식은 ax = −b 꼴이다. 어떻게 x를 바로 구할까? 예에서는 3을 곱해서 18이 되는 x를 찾았다. 실제로 한 것은 무엇일까? 18을 3으로 나누어 18/3 = 6을 얻었다. 즉 우변의 식(−b)을 a, 예에서는 3으로 나누었다. 따라서 ax = −b에서 다음을 얻는다.

$$x=\frac{-b}{a}=-\frac{b}{a}$$

첫 번째 예에 이 방법을 모두 적용하면 다음과 같다.

$$\begin{array}{rcl}3x-18& =& 0/+18\\ 3x& =& 18/÷3\\ x& =& 6\end{array}$$

그래프의 의미

일차방정식을 기본 꼴로 바꾸면 좌변에는 일차함수가 있다. 일차함수의 그래프는 직선이다. 일차방정식의 기본 꼴은 ax + b = 0이므로, 이 방정식의 해는 직선(일차함수의 그래프)이 x축(함수 f(x) = 0, 즉 우변의 그래프이기도 하다)과 만나는 점이다.

예를 들어 방정식 3x − 18 = 0의 해가 x = 6이라는 것을 구했다. 이는 무슨 뜻일까? 함수 3x − 18의 그래프가 x축과 x = 6에서 만난다는 뜻이다.

방정식 5x + 2 = 2x − 7을 그래프로 풀어 보자. 어떻게 하면 될까? 방정식을 기본 꼴로 바꿀 수 있다. 양변에 −2x를 더하면 3x + 2 = −7이 되고, 이어서 7을 더하면 3x + 9 = 0이 된다. 이제 일차함수 y = 3x + 9의 그래프를 그리고 x축과 어디서 만나는지 확인한다.

두 번째 방법은 방정식을 전혀 바꾸지 않고 양변의 함수의 그래프를 그리는 것이다. 즉 함수 f(x) = 5x + 2와 g(x) = 2x − 7의 그래프를 그린다.

두 직선은 A로 표시한 한 점에서 만났다. 이 점 A의 x좌표는 얼마일까? 역시 x = −3이다. 따라서 방정식 5x + 2 = 2x − 7을 그래프로 풀면, 좌변과 우변을 나타내는 두 그래프가 만나는 점의 x좌표가 해이다.

예제

예제 1: 방정식 7x − 14 = 0을 풀어 보자. 방정식이 기본 꼴이므로 방법을 그대로 적용하면 된다.

$$\begin{array}{rcl}7x-14& =& 0/+14\\ 7x& =& 14/÷7\\ x& =& 2\end{array}$$

예제 2: 방정식 2x + 10 = 0을 푸시오. 이번에도 기본 꼴이지만, b가 양수이므로 변형하면 우변에 음수가 나온다는 점에 주의하자.

$$\begin{array}{rcl}2x+10& =& 0/-10\\ 2x& =& -10/÷2\\ x& =& -5\end{array}$$

예제 3: 방정식 15 − 3x = 0을 푸시오. 방정식은 거의 기본 꼴이고, 미지수 x를 앞으로 옮기기만 하면 된다. 그러면 방정식은 −3x + 15 = 0 꼴이 된다. 이번에는 지금까지와 달리 일차항 앞에 마이너스가 있다는 점에 주의하자. 하지만 변형은 똑같다.

$$\begin{array}{rcl}-3x+15& =& 0/-15\\ -3x& =& -15/÷(-3)\\ x& =& 5\end{array}$$

이 예제는 조금 더 길게 풀 수도 있다. 방정식을 바로 −3으로 나누는 대신, 먼저 양변에 −1을 곱해서 두 마이너스를 모두 없앤다. 그다음 3으로 나눈다.

$$\begin{array}{rcl}-3x+15& =& 0/-15\\ -3x& =& -15/\cdot (-1)\\ 3x& =& 15/÷3\\ x& =& 5\end{array}$$

예제 4: 다음 일차방정식을 푸시오.

$$3+\frac{x}{4}=\frac{x}{2}$$

분수가 있으므로 조금 더 복잡하다. 먼저 분수를 없애야 한다. 양변에 모든 분모의 최소공배수를 곱하는 것이 가장 좋다. 분모는 4와 2이고 최소공배수는 4이다. 계산하기 귀찮으면 모든 분모의 곱, 즉 4 · 2 = 8을 곱해도 되지만, 다음 단계가 번거로워지므로 권하지 않는다. 양변에 4를 곱하면 분수를 차례로 약분해서 없앨 수 있다.

$$\begin{array}{rcl}3+\frac{x}{4}& =& \frac{x}{2}/\cdot 4\\ 4\cdot 3+4\cdot \frac{x}{4}& =& 4\cdot \frac{x}{2}\\ 12+\frac{4x}{4}& =& \frac{4x}{2}\\ 12+x& =& 2x\end{array}$$

이제 방정식을 기본 꼴 x − 12 = 0으로 바꾸면 x = 12라는 것을 알 수 있다.

예제 5 / 문장제: 형제인 준호와 민호가 있다. 민호는 고등학교를 졸업하고 바로 일을 시작했고, 준호는 대학교에 진학해 모두 5년 동안 공부했다. 민호는 매달 250만 원을 받았다. 준호는 “해변 선베드에 눕기”를 전공했는데도 공공 기관에 취직해 매달 350만 원을 받았다. 준호가 모두 합해 민호와 같은 금액을 버는 것은 언제일까? 다시 말해 5년 동안 민호는 5 · 12 · 2,500,000원을 벌었지만 준호는 5년 뒤에 한 푼도 없다. 몇 달 뒤에 두 사람이 번 돈이 같아질까?

문제로부터 다음과 같이 일차방정식을 세울 수 있다. 변수 x는 구하려는 달 수이고, x = 0은 준호가 졸업한 시점을 뜻한다.

먼저 달 수에 따른 준호의 수입을 나타내는 함수를 세운다. 예를 들어 준호의 6개월 뒤 수입이 궁금하면 3,500,000 · 6 = 21,000,000원으로 간단히 계산할 수 있다. 일반적으로 x개월 뒤 준호는 모두 3,500,000 · x원을 번다.

민호도 비슷하게 2,500,000 · x이지만, 준호가 공부하는 동안 민호가 번 금액을 더해야 한다. 준호는 5년 동안 공부했으므로 그동안 민호는 5 · 12 · 2,500,000원을 벌었다. 따라서 민호의 식 전체는 5 · 12 · 2,500,000 + 2,500,000 · x이다.

두 수입이 같아지는 x를 찾고 싶으므로 두 함수를 같다고 놓는다.

$$5\cdot 12\cdot \mathrm{2,500,000}+\mathrm{2,500,000}\cdot x=\mathrm{3,500,000}\cdot x$$

모든 x를 한쪽으로 이항해서 간단히 정리한다.

$$1000000x=5\cdot 12\cdot \mathrm{2,500,000}$$

마지막으로 1,000,000으로 나누기만 하면 된다.

$$x=5\cdot 12\cdot 2.5=150$$

150개월 뒤에 두 사람이 번 돈이 같아진다. 민호는 준호가 공부하는 동안 5 · 12 · 2,500,000 = 150,000,000원, 즉 1억 5천만 원을 벌었고, 그 뒤 150개월 동안 2,500,000 · 150 = 375,000,000원을 더 벌어 모두 150,000,000 + 375,000,000 = 525,000,000원을 벌었다. 준호는 이 150개월 동안만 일해서 3,500,000 · 150 = 525,000,000원을 벌었다. 5년 동안의 공부와 그 뒤 150개월이 지나면 두 사람이 정말 같은 금액을 번다는 것을 알 수 있다.

더 많은 예제

다음 일차방정식을 푸시오.

$$2\cdot (x-7)=6$$

먼저 괄호를 전개한다.

$$2x-14=6$$

이제 미지수가 있는 식은 좌변에 두고 나머지는 모두 우변으로 이항한다.

$$2x=20$$

… 그리고 마지막으로 2로 나눈다.

$$x=10$$

다음 방정식을 푸시오.

$$3\cdot (3-x)+5\cdot (x-2)=0$$

이번에도 먼저 괄호를 전개한다.

$$9-3x+5x-10=0$$

더할 수 있는 것은 더하고, 변수는 좌변으로, 나머지는 우변으로 이항한다.

$$\begin{array}{rcl}9-3x+5x-10& =& 0\\ 2x-1& =& 0\\ 2x& =& 1\end{array}$$

마지막으로 양변을 2로 나눈다.

$$x=\frac{1}{2}$$