크라메르 공식

크라메르 공식은 계수행렬이 정칙인 연립일차방정식을 풀 때 쓴다.

크라메르 연립방정식

연립일차방정식 Ax = b가 있다고 하자. A가 정칙인 정사각행렬이면 이 연립방정식을 크라메르 연립방정식(크라메르 공식을 쓸 수 있는 연립방정식)이라고 한다. 즉 이 행렬의 행렬식은 언제나 0이 아니고, 행렬에는 일차종속인 행이나 열이 없다.

프로베니우스 정리에 따르면 모든 크라메르 연립방정식은 해를 하나만 가진다. 프로베니우스 정리에 따르면 rank(A) = rank(A|b) = k이면 연립방정식은 해를 가진다. 크라메르 연립방정식의 행렬 A는 정사각행렬이고 가능한 최대 계수를 가진다. 그래서 이 행렬에 어떤 열을 더 붙여도 그 열은 반드시 행렬 A의 열들의 일차결합이다. 따라서 행렬 b의 열을 붙여도 행렬 A의 계수는 커지지 않는다.

또 프로베니우스 정리에 따르면 해를 나타내는 데 매개변수가 n − k개 필요하다. 여기서 n은 미지수의 개수이고 k는 행렬의 계수 rank(A|b)이다. 크라메르 연립방정식에서는 n = k이므로 해를 나타내는 데 매개변수가 0개 필요하다. 그래서 모든 크라메르 연립방정식은 해를 하나만 가진다.

다음으로 행렬 A에서 i번째 열 자리에 열 b를 넣은 행렬을 A_i로 나타내자. 형식적으로 행렬 A_i는 다음과 같이 정의한다.

$$A_i=\left(\begin{array}{ccccccc}{a}_{1,1}& \dots & a_{1,i-1}& b_1& a_{1,i+1}& \dots & a_{1,n}\\ a_{2,1}& \dots & a_{2,i-1}& b_2& a_{2,i+1}& \dots & a_{2,n}\\ ⋮& ⋮& ⋮& ⋮& ⋮& ⋮& ⋮\\ a_{n,1}& \dots & a_{n,i-1}& b_n& a_{n,i+1}& \dots & a_{n,n}\end{array}\right)$$

여기서 a_ij는 행렬 A의 성분이고 b_i는 행렬 b의 성분이다.

크라메르 공식

Ax = b가 크라메르 연립일차방정식이라고 하자. 크라메르 공식에 따르면 이 연립방정식의 해는 (x₁, x₂, …, x_n) 하나뿐이고, 여기서

$$x_i=\frac{\text{det }{A}_i}{\text{det }A}=\frac{|A_i|}{|A|}.$$

이다. 바로 작은 예로 공식을 써 보자. 다음 연립방정식을 크라메르 공식으로 푼다.

$$\begin{array}{ccccc}{x}_1& +& 2x_2& =& 5\\ 4x_1& +& 3x_2& =& 15& \end{array}$$

계수행렬은 다음과 같다.

$$A=\left(\begin{array}{cc}1& 2\\ 4& 3\end{array}\right)$$

이 행렬의 행렬식은 다음과 같다.

$$|A|=3-8=-5.$$

다음으로 행렬 A₁과 A₂를 만든다. 두 행렬은 다음과 같다.

$$A_1=\left(\begin{array}{cc}5& 2\\ 15& 3\end{array}\right),A_2=\left(\begin{array}{cc}1& 5\\ 4& 15\end{array}\right)$$

이 행렬들의 행렬식을 구한다.

$$\begin{array}{rcl}|A_1|& =& 5\cdot 3-15\cdot 2=-15\\ |A_2|& =& 1\cdot 15-4\cdot 5=-5\end{array}$$

이제 x₁과 x₂를 차례로 구한다. 크라메르 공식에 따르면 x₁에 대해 다음 등식이 성립한다.

$$x_1=\frac{|A_1|}{|A|}$$

대입하면 다음과 같다.

$$x_1=\frac{-15}{-5}=3$$

두 번째 미지수 x₂도 마찬가지이다.

$$x_2=\frac{|A_2|}{|A|}=\frac{-5}{-5}=1$$

따라서 연립방정식의 해는 순서쌍 (x₁, x₂) = (3, 1)이다.

크라메르 공식은 무엇보다 풀이 과정을 알고리즘으로 만들고 싶을 때 알맞다. 프로그램으로 짜기 쉽다. 손으로 풀 때는 크라메르 공식이 보통 가우스 소거법보다 번거롭다.