실수
실수는 유한소수나 무한소수로 나타낼 수 있는 모든 수이다. 실수는 유리수의 집합과 무리수의 집합의 합집합이라고 할 수 있다.
기호와 뜻
실수 전체의 집합은 문자 R로 나타내며, 보통 세로선을 겹쳐 그어 ℝ로 쓴다.
끝없는 수직선을 떠올리면, 실수는 수직선 위의 두 점 사이의 거리로 나타날 수 있는 모든 값이다.
실수에는 모든 자연수, 정수, 유리수, 무리수가 들어 있다.
수학에서 흔히 다루는 함수는 대부분 실수 전체의 집합을 정의역으로 갖거나(예를 들어 사인과 코사인, 일차함수), 그 이어진 부분집합을 정의역으로 갖는다(예를 들어 로그).
실수의 예: 1, −3, 0.126, −42.47, e, 0, −2π
성질
- 실수 전체의 집합은 무한집합이며 셀 수 없는 집합이다.
- 실수는 덧셈, 뺄셈, 곱셈, 나눗셈에 대하여 닫혀 있다. 두 실수를 곱하면 다시 실수가 된다.
- 실수는 대수적 수, 즉 정수 계수를 갖는 어떤 다항식의 근이거나, 초월수, 즉 그런 다항식의 근이 아닌 수이다.
- 모든 실수에는 절댓값이 있다. 절댓값은 수직선에서 원점까지의 거리이다.
- 0 이상인 모든 실수에는 실수인 제곱근이 있다. 반대로 음수에는 실수인 제곱근이 없다.