Konsep asas statistik
Statistik ialah bidang ilmu yang mengkaji, memproses dan menilai data.
Populasi
Matlamat statistik ialah menjalankan eksperimen untuk mengetahui sesuatu yang menarik tentang suatu populasi. Populasi bermaksud sebarang kumpulan unsur yang ingin kita kaji. Jika kita ingin mengetahui min umur penduduk Malaysia, populasi kita ialah semua penduduk Malaysia.
Jika kita ingin mengetahui min penggunaan petrol bagi setiap seratus kilometer untuk kereta penumpang, populasi kita ialah set semua kereta penumpang (di kawasan tertentu).
Sampel
Selalunya kita tidak dapat mengkaji semua unsur populasi. Bayangkan kita ingin mengetahui pendapat rakyat Malaysia tentang cadangan untuk mewajibkan lulus Matematik dalam SPM. Untuk benar-benar mengetahui pendapat mereka, kita perlu pergi dari rumah ke rumah dan bertanya kepada setiap warganegara. Hal ini tidak mungkin dilakukan dalam amalan. Antara sebabnya:
- Kosnya terlalu tinggi. Bertanya kepada kira-kira 34 juta penduduk memerlukan belanja yang besar. Sebagai perbandingan, satu pilihan raya umum di Malaysia menelan belanja ratusan juta ringgit.
- Masanya terlalu lama. Pilihan raya disediakan selama beberapa bulan. Jika anda memerlukan keputusan statistik dalam masa seminggu, tempoh itu terlalu panjang.
- Tidak semua orang mahu menjawab. Ada orang yang memang tidak mahu menjawab soalan anda. Jika populasi kita terdiri daripada mesin, mesin pula boleh rosak. Jika anda merekodkan jarak yang dilalui oleh kereta, mungkin meter jaraknya rosak atau seseorang sengaja memutarnya ke belakang.
- Eksperimen mungkin terlalu berbahaya. Soalan tentang peperiksaan wajib tidak akan menyebabkan sesiapa diserang sakit jantung, tetapi ambil contoh lain: ujian ubat baharu “penawar segala penyakit”. Apakah yang akan berlaku jika kita menguji ubat ini pada seluruh penduduk Malaysia, lalu didapati bahawa 20% daripada orang yang diuji serta-merta mengalami cirit-birit yang teruk? Tentu lebih baik jika ubat itu diuji dahulu pada sekumpulan kecil orang, bukan?
Untuk mengelakkan kelemahan ini, kita hanya memilih suatu sampel daripada populasi. Jika populasi ialah P, maka sampel V ialah sebarang subset bagi P, iaitu V ⊆ P. Kemudian kita menjalankan eksperimen hanya pada sampel V ini dan mengitlakkan keputusannya kepada seluruh populasi. Sudah tentu keputusan ini tidak tepat sepenuhnya. Sejauh mana ketidaktepatannya bergantung terutamanya pada saiz sampel V dan kaedah yang kita gunakan untuk memilih unsur ke dalam V.
Antara kesilapan yang biasa berlaku:
- Bilangan unsur dalam V terlalu kecil. Jika anda bertanya tentang peperiksaan wajib kepada tujuh orang pertama yang anda temui, anda tidak akan mendapat keputusan yang bermakna.
- Sampel tidak mewakili populasi. Jika anda bertanya tentang wajib lulus Matematik kepada seribu orang graduan fakulti matematik, anda akan mendapat jawapan yang berbeza daripada jawapan seribu orang pelajar Tingkatan 5.
Pemboleh ubah
Semasa eksperimen, kita mengkaji unsur-unsur dalam sampel. Maklumat yang kita perhatikan dipanggil pemboleh ubah, dan nilai yang diambil oleh pemboleh ubah dipanggil nilai data. Terdapat beberapa jenis asas pemboleh ubah:
- Pemboleh ubah kategori: pemboleh ubah ini biasanya tidak bermakna untuk diukur kerana nilainya berupa perihalan dengan perkataan. Contoh yang biasa ialah soalan tentang kewarganegaraan. Nilai data pemboleh ubah ini ialah, misalnya, “warganegara Malaysia”, “warganegara Indonesia” dan sebagainya. Mengukur atau membandingkan kewarganegaraan Malaysia dengan kewarganegaraan Indonesia tidak bermakna. Kita boleh membandingkan bilangan warganegara Malaysia dengan bilangan warganegara Indonesia, tetapi kita tidak boleh membandingkan kewarganegaraan itu sendiri.
Soalan tentang peperiksaan wajib juga termasuk dalam kategori ini. Jawapan yang dijangka ialah “ya, saya mahu Matematik wajib lulus dalam SPM” atau “tidak, saya tidak mahu Matematik wajib lulus dalam SPM”, dan kedua-duanya ialah nilai data pemboleh ubah ini. Sekali lagi, kita boleh membandingkan bilangan jawapan, tetapi membandingkan “ya” dengan “tidak” itu sendiri tidak bermakna.
- Pemboleh ubah numerik: pemboleh ubah ini boleh diukur. Contohnya panjang, jisim, masa, bilangan dan sebagainya. Pemboleh ubah numerik terbahagi pula kepada pemboleh ubah diskret dan pemboleh ubah selanjar:
Pemboleh ubah diskret
Pemboleh ubah diskret mempunyai bilangan nilai yang terhingga atau bilangan nilai yang terbilangkan (lihat di bawah). Nilainya agak kerap berupa integer. Contohnya, bilangan pelajar dalam sebuah kelas: kelas biasa mempunyai antara lima belas hingga empat puluh orang pelajar.
Ciri pemboleh ubah diskret ialah kita sentiasa dapat menyatakan nilai sebelum dan nilai selepas sesuatu nilai. Jika kelas 3B mempunyai 28 orang pelajar, nilai sebelumnya ialah 27 orang pelajar dan nilai selepasnya ialah 29 orang pelajar. Bagi pemboleh ubah kategori, kita biasanya tidak dapat berbuat demikian. Apakah nilai selepas “warganegara Malaysia”?
Pemboleh ubah diskret boleh juga mempunyai nilai yang tidak terhingga banyaknya, tetapi nilai-nilai itu mesti terbilangkan. Maksudnya, kita masih mesti dapat menentukan nilai sebelum dan nilai selepas sesuatu nilai. Contohnya, kita boleh memperkenalkan pemboleh ubah “jarak antara dua objek, tepat kepada satu kilometer”. Jika jarak yang diukur antara dua objek, misalnya sebuah kereta dan sebuah bangsal, ialah 12 kilometer, maka nilai selepas dan nilai sebelumnya ialah 13 kilometer dan 11 kilometer. Jarak pula mungkin tidak mempunyai had atas. Jika terdapat dua objek yang berjarak 1 500 000 kilometer, pasti terdapat juga objek yang berjarak 1 500 001 kilometer.
Pemboleh ubah ini kekal diskret walaupun kita menukar kejituan kepada persepuluhan kilometer (iaitu ratusan meter). Kita mungkin mengukur jarak 15.7 km, dan nilai selepas serta nilai sebelumnya ialah 15.8 dan 15.6.
Jika nilai sebelum atau nilai selepas tidak wujud, hal ini tidak bercanggah dengan sifat diskret pemboleh ubah. Contohnya, bagi jarak sifar kilometer, tiada nilai sebelumnya kerana jarak negatif satu kilometer tidak ditakrifkan. Walaupun begitu, jarak yang tepat kepada satu kilometer tetap merupakan pemboleh ubah diskret.
Pemboleh ubah selanjar
Pemboleh ubah selanjar sentiasa mempunyai nilai yang tidak terhingga banyaknya. Nilainya biasanya nombor nyata, contohnya jarak (tanpa syarat kejituan). Bagi pemboleh ubah selanjar, kita tidak dapat menentukan nilai sebelum atau nilai selepas sesuatu nilai. Jika jarak sesuatu diukur sebagai 3.58745 meter, kita tidak dapat mencari nombor yang betul-betul berada selepas nombor ini.
Set nombor nyata juga mengandungi nombor bukan nisbah yang perwakilan perpuluhannya tidak terhingga. Sudah tentu kita tidak mempunyai alat yang dapat mengukur jarak setepat itu. Oleh itu, dalam realiti, setiap pemboleh ubah sedemikian sebenarnya diskret kerana setiap alat mempunyai kejituan tertentu. Jika anda mengukur sesuatu dengan pembaris, kejituannya ialah satu milimeter. Anda boleh mendapati bahawa lebar sebuah buku ialah 167 mm atau 168 mm, tetapi bukan nilai di antaranya, kecuali jika anda menganggarkannya.
Alat yang lebih saintifik mungkin mempunyai kejituan satu mikrometer. Namun, kejituan itu mungkin masih tidak cukup untuk mengukur sesuatu objek dengan tepat sepenuhnya.
Walaupun begitu, kita biasanya menganggap jarak atau jisim sebagai pemboleh ubah selanjar. Dalam amalan, penyederhanaan seperti ini perlu dan biasanya tidak menimbulkan masalah.
Pemboleh ubah rawak
Pemboleh ubah rawak ialah pemboleh ubah diskret atau selanjar yang nilai akhirnya tidak dapat kita tentukan sebelum eksperimen dijalankan. Contohnya, keputusan lambungan dadu enam muka ialah pemboleh ubah rawak. Selagi dadu itu belum dilambung, kita tidak dapat mengetahui nombor yang akan muncul.
Kita mungkin dapat meramalkan bahawa sesetengah nilai lebih berkemungkinan muncul berbanding nilai lain. Hal ini tidak menjadi masalah, asalkan kita tidak pasti sepenuhnya bahawa kita akan mendapat suatu nilai tertentu. Contohnya, jika kita memilih seorang penduduk Malaysia secara rawak dan bertanya di bandar mana dia tinggal, lebih berkemungkinan dia tinggal di Kuala Lumpur berbanding di pekan kecil seperti Gerik. Penduduk Kuala Lumpur memang lebih ramai.
Jika kita mempunyai dadu yang mempunyai enam titik pada lima mukanya dan dua titik pada muka keenam, kemungkinan untuk mendapat enam titik apabila dadu dilambung jauh lebih tinggi. Namun, keputusannya tetap pemboleh ubah rawak kerana tidak pasti bahawa enam titik akan muncul.
Jika dadu ini diubah supaya keenam-enam mukanya mempunyai enam titik, lambungan dadu itu bukan lagi pemboleh ubah rawak kerana enam titik akan sentiasa muncul.