Các khái niệm cơ bản của thống kê
Thống kê là khoa học thu thập, xử lí và đánh giá dữ liệu.
Tổng thể
Mục đích của thống kê là tiến hành một thí nghiệm để tìm hiểu một điều gì đó về một tổng thể. Tổng thể nói chung là tập hợp bất kì những đối tượng mà ta đang muốn nghiên cứu. Nếu muốn biết tuổi trung bình của người dân Việt Nam thì tổng thể là toàn bộ người dân Việt Nam.
Còn nếu muốn biết mức tiêu thụ xăng trung bình trên 100 km của ô tô con thì tổng thể là tập hợp tất cả các ô tô con (trên một vùng lãnh thổ nhất định).
Mẫu
Thường thì không thể làm việc với mọi phần tử của tổng thể. Giả sử ta muốn biết người dân Việt Nam nghĩ gì về việc môn Toán là môn thi bắt buộc trong kỳ thi tốt nghiệp THPT. Muốn biết thật đầy đủ, ta phải đi từng nhà, từng ngõ và hỏi từng người dân xem họ nghĩ gì về môn thi bắt buộc này. Trong thực tế, điều đó không làm được. Một vài lí do:
- Quá tốn kém. Hỏi tất cả khoảng 100 triệu người dân không phải chuyện rẻ. Chẳng hạn, một cuộc tổng điều tra dân số trên cả nước tốn rất nhiều tiền.
- Mất quá nhiều thời gian. Một cuộc tổng điều tra như vậy chắc chắn phải chuẩn bị trong nhiều tháng. Nếu cần kết quả thống kê trong một tuần thì như thế là quá lâu.
- Không phải ai cũng muốn trả lời. Có người về nguyên tắc sẽ không trả lời câu hỏi của bạn. Nếu tổng thể là các máy móc thì máy có thể bị hỏng. Chẳng hạn khi theo dõi số kilômét mà các ô tô đã chạy, đồng hồ công tơ mét có thể hỏng hoặc có người cố ý tua lại số.
- Thí nghiệm có thể quá nguy hiểm. Hỏi về môn thi bắt buộc thì chắc không ai bị nhồi máu cơ tim, nhưng hãy xét một ví dụ khác: thử nghiệm loại thuốc mới “trị bách bệnh”. Điều gì sẽ xảy ra nếu ta thử thuốc này trên toàn bộ người dân Việt Nam và trong lúc thử mới phát hiện ra rằng 20% số người dùng thuốc lập tức bị tiêu chảy dữ dội? Có lẽ tốt hơn là thử thuốc trước trên một nhóm người nhỏ hơn, đúng không?
Để tránh những bất lợi này, ta chỉ chọn từ tổng thể một mẫu. Nếu tổng thể là P thì mẫu V là một tập con bất kì của P, tức là V ⊆ P. Sau đó ta chỉ tiến hành thí nghiệm trên mẫu V và suy rộng kết quả cho cả tổng thể. Tất nhiên kết quả sẽ không chính xác tuyệt đối. Sai số lớn hay nhỏ phụ thuộc chủ yếu vào cỡ của mẫu V và vào cách ta chọn các phần tử vào V.
Những lỗi thường gặp là:
- Mẫu V có quá ít phần tử. Nếu chỉ hỏi 7 người đầu tiên bạn gặp về môn thi bắt buộc thì không thể có kết quả đáng tin.
- Mẫu không đại diện cho tổng thể. Nếu hỏi 1.000 cựu sinh viên khoa Toán của một trường đại học về việc thi bắt buộc môn Toán, bạn sẽ nhận được câu trả lời khác hẳn so với khi hỏi 1.000 học sinh lớp 11.
Biến
Trong thí nghiệm, ta khảo sát các phần tử của mẫu. Những thông tin mà ta theo dõi gọi là biến, còn các giá trị mà biến nhận được gọi là giá trị của biến. Có các loại biến cơ bản sau:
- Biến định tính: biến này thường không đo được, giá trị của nó là một mô tả bằng lời. Ví dụ điển hình là câu hỏi về dân tộc. Các giá trị của biến này có thể là “dân tộc Kinh”, “dân tộc Tày”, v.v. Đo hay so sánh dân tộc Kinh với dân tộc Tày thì không có nghĩa. Ta có thể so sánh số người Kinh với số người Tày, nhưng không thể so sánh bản thân các dân tộc.
Câu hỏi về môn thi bắt buộc cũng thuộc loại này. Các câu trả lời dự kiến là “có, tôi muốn môn Toán là môn thi bắt buộc” hoặc “không, tôi không muốn môn Toán là môn thi bắt buộc”, đó là các giá trị của biến này. Một lần nữa, ta có thể so sánh số câu trả lời, nhưng so sánh bản thân “có” và “không” thì không có nghĩa.
- Biến định lượng: biến này đo được. Đó là độ dài, khối lượng, thời gian, số lượng, v.v. Biến định lượng lại chia thành biến rời rạc và biến liên tục:
Biến rời rạc
Biến rời rạc có hữu hạn hoặc đếm được giá trị (xem phần sau). Khá thường gặp là các giá trị nguyên. Ví dụ như số học sinh trong một lớp: một lớp bình thường có khoảng từ 15 đến 40 học sinh.
Đặc điểm của biến rời rạc là ta luôn chỉ ra được giá trị liền sau và giá trị liền trước. Nếu lớp 3B có 28 học sinh thì giá trị liền trước là 27 học sinh, giá trị liền sau là 29 học sinh. Với biến định tính, ta thường không làm được như vậy: sau dân tộc Kinh là giá trị nào?
Biến rời rạc cũng có thể có vô hạn giá trị, nhưng phải đếm được, nghĩa là ta vẫn luôn xác định được giá trị liền trước và liền sau. Chẳng hạn có thể đưa ra biến “khoảng cách giữa hai vật, làm tròn đến 1 km”. Nếu đo được khoảng cách giữa hai vật, chẳng hạn một chiếc ô tô và một nhà kho, là 12 km thì giá trị liền sau và liền trước lần lượt là 13 km và 11 km. Trong khi đó, khoảng cách có lẽ không bị giới hạn. Nếu có hai vật cách nhau 1.500.000 km thì chắc chắn cũng tìm được hai vật cách nhau 1.500.001 km.
Biến vẫn là rời rạc nếu ta đổi độ chính xác thành phần mười kilômét (tức là hàng trăm mét). Khi đó ta có thể đo được khoảng cách 15,7 km, giá trị liền sau và liền trước là 15,8 và 15,6.
Việc không có giá trị liền trước hoặc liền sau không mâu thuẫn với tính rời rạc của biến. Chẳng hạn khoảng cách 0 km không có giá trị liền trước, vì khoảng cách âm 1 km không được định nghĩa. Dù vậy, khoảng cách làm tròn đến 1 km vẫn là biến rời rạc.
Biến liên tục
Biến liên tục luôn có vô hạn giá trị. Các giá trị thường là số thực, chẳng hạn khoảng cách (không nói gì về độ chính xác). Với biến liên tục, ta không xác định được giá trị liền trước hay liền sau. Nếu đo được khoảng cách của một vật là 3,58745 m thì không tìm được số nào đứng ngay sau số này.
Tập số thực còn chứa các số vô tỉ có biểu diễn thập phân vô hạn. Tất nhiên ta không có dụng cụ nào đo được khoảng cách với độ chính xác như vậy, nên trong thực tế mọi biến như thế đều là rời rạc, chính vì dụng cụ nào cũng có một độ chính xác nhất định. Đo bằng thước kẻ thì độ chính xác là 1 mm. Bạn có thể đo được quyển sách rộng 167 mm hoặc 168 mm, nhưng không đo được giá trị nào ở giữa, trừ khi ước lượng bằng mắt.
Với một dụng cụ khoa học hơn, độ chính xác có thể đạt tới 1 micrômét. Nhưng để đo một vật thật chính xác tuyệt đối thì có lẽ như thế vẫn chưa đủ.
Dù vậy, ta vẫn thường coi khoảng cách hay khối lượng là biến liên tục. Trong thực tế, cách đơn giản hoá này là cần thiết và thường không gây hại gì.
Biến ngẫu nhiên
Biến ngẫu nhiên là biến rời rạc hoặc liên tục mà ta không xác định được giá trị của nó trước khi tiến hành thí nghiệm. Ví dụ, kết quả gieo một con xúc xắc 6 mặt là một biến ngẫu nhiên. Chừng nào chưa gieo xúc xắc, ta chưa thể biết mặt nào sẽ xuất hiện.
Ta có thể dự đoán rằng một số giá trị có khả năng xảy ra cao hơn các giá trị khác, điều đó không sao, miễn là ta không thể chắc chắn hoàn toàn sẽ nhận được một giá trị cụ thể nào. Chẳng hạn nếu chọn ngẫu nhiên một người dân Việt Nam và hỏi người đó sống ở thành phố nào, thì khả năng người đó sống ở TP. Hồ Chí Minh cao hơn so với ở một thị trấn nhỏ. Đơn giản là TP. Hồ Chí Minh đông dân hơn.
Nếu có một con xúc xắc có 5 mặt 6 chấm và mặt thứ sáu còn lại có 2 chấm thì khi gieo, khả năng ra mặt 6 chấm cao hơn rất nhiều. Nhưng đó vẫn là biến ngẫu nhiên, vì không chắc chắn rằng sẽ ra mặt 6 chấm.
Nếu sửa con xúc xắc này để cả 6 mặt đều có 6 chấm thì kết quả gieo xúc xắc không còn là biến ngẫu nhiên nữa, vì lần nào cũng ra mặt 6 chấm.