Taburan kebarangkalian

Taburan kebarangkalian bagi suatu pemboleh ubah rawak menunjukkan kebarangkalian pemboleh ubah rawak itu mengambil sesuatu nilai.

Taburan pemboleh ubah diskret

Katakan kita mempunyai suatu pemboleh ubah rawak diskret. Contohnya, kita boleh merekodkan bilangan gelas teh tarik yang diminum oleh Pak Mat, pelanggan setia kedai mamak di kampung kita, setiap hari. Selepas memerhatikan Pak Mat selama sebulan, kita membina jadual berikut:

Kita lihat bahawa Pak Mat masih agak berjimat pada awal bulan, tetapi kemudian dia minum segelas demi segelas. Minggu yang bermula pada hari ke-11 pasti sangat sibuk baginya. Kita tandakan pemboleh ubah rawak diskret ini dengan X. Sekarang kita ingin mengetahui kebarangkalian bahawa Pak Mat minum x gelas teh tarik pada suatu hari dalam bulan itu.

Sebelum mengira kebarangkalian itu sendiri, kita bina graf kekerapan biasa. Kita cari semua bilangan gelas teh tarik yang diminum oleh Pak Mat pada setiap hari dan catatkannya dalam graf kekerapan. Contohnya, Pak Mat minum sepuluh gelas sebanyak sembilan kali kesemuanya, jadi bagi nilai sepuluh gelas, kita mempunyai palang dengan nilai sembilan:

Graf ini dibaca begini: Pak Mat minum enam gelas pada tiga hari dalam bulan itu.

Berapakah kebarangkalian Pak Mat minum sepuluh gelas dalam sehari? Secara formal, kita tandakan fungsi kebarangkalian dengan P, dan soalan tentang sepuluh gelas ditulis sebagai P(X = 10). Dengan tatatanda ini, kita bertanya: berapakah kebarangkalian pemboleh ubah rawak X mengambil nilai sepuluh?

Kebarangkalian ini sama dengan kekerapan relatif bagi nilai itu. Jadi, kita bina pula graf kekerapan relatif:

Sekarang kita boleh mengatakan bahawa P(X = 10) sama dengan 0.3, iaitu 30%.

Kebarangkalian eksperimen dan kebarangkalian teori

Sebagai contoh, ambil sebiji dadu biasa. Kita lambung dadu itu sebanyak 600 kali. Dari sudut kebarangkalian teori klasik, peluang untuk mendapat nombor satu, dua, …, enam sama besar. Kebarangkalian bagi setiap muka dadu ialah $\frac{1}{6}$. Secara teori, setiap muka sepatutnya muncul tepat seratus kali apabila dadu dilambung sebanyak enam ratus kali.

Sudah tentu, hal ini kemungkinan besar tidak berlaku. Dalam eksperimen kita, kita mungkin memperoleh keputusan berikut:

Kita lihat bahawa kekerapan relatif, dan oleh itu kebarangkalian, untuk mendapat satu titik pada dadu ialah 0.175, iaitu 17.5%. Nilai ini dekat dengan kebarangkalian $\frac{1}{6}$, iaitu 0.16666…, tetapi tidak tepat sama.

Hal ini tidak bermakna salah satu kebarangkalian itu salah. Membina dadu yang seimbang dengan sempurna bukanlah tugas yang mudah. Menjalankan ujian itu sendiri, iaitu melambung dadu sebanyak 600 kali, juga boleh jadi sukar.

Jadi, kebarangkalian teori berlaku dalam keadaan unggul, iaitu jika kita melambung dadu tanpa henti. Semakin lama kita melambung dadu yang seimbang dengan sempurna, semakin hampir kekerapan relatif bagi setiap nombor kepada kebarangkalian teori.

Oleh itu, kita membezakan dua jenis kebarangkalian: kebarangkalian teori, yang berasaskan keadaan unggul, dan kebarangkalian eksperimen (juga dipanggil kebarangkalian empirik), yang kita kira daripada kekerapan relatif dalam data kita.

Untuk mengira kebarangkalian eksperimen, kita perlu mempunyai set data yang cukup besar. Contohnya, kita memerhatikan Pak Mat hanya selama sebulan. Lebih baik jika kita memerhatikannya sekurang-kurangnya setahun.

Taburan pemboleh ubah selanjar

Bagi pemboleh ubah selanjar, kita tidak menentukan kebarangkalian pada suatu titik, tetapi sentiasa pada suatu selang. Kebarangkalian sama dengan luas rantau di bawah lengkung, jadi kita memerlukan kamiran untuk mengiranya. Kita mungkin mempunyai graf pemboleh ubah selanjar seperti berikut, contohnya bagi pengukuran suatu sisihan dalam cm:

Paksi-x menunjukkan nilai dalam cm dan paksi-y menunjukkan kekerapan relatif. Katakan kita hanya mengukur nilai dalam selang [−4, 4]. Jadi, kebarangkalian empirik bahawa kita mengukur sisihan dalam selang ini ialah 1, iaitu 100%.

Apakah kaitannya dengan luas? Kita katakan bahawa luas ${\int }_{-4}^{4}p(x)$, dengan p ialah fungsi kebarangkalian, mewakili 100% itu. Jika kita bertanya berapakah kebarangkalian empirik bahawa nilai itu berada dalam selang [0, 4], kita memperoleh rajah berikut:

Bahagian berlorek dalam rajah sebelumnya mewakili 100%, manakala bahagian ini mewakili 50% kerana luasnya jelas separuh daripada luas tadi. Secara tepat, kebarangkalian eksperimen dinyatakan sebagai nisbah

$$\frac{{\int }_0^{4}p(x)}{{\int }_{-4}^{4}p(x)}.$$

Hukum nombor besar

Bahagian sebelumnya berkait dengan hukum nombor besar yang terkenal. Secara tidak formal, hukum ini menyatakan bahawa apabila bilangan percubaan tak bersandar sangat besar, kekerapan relatif (kebarangkalian eksperimen) akan menghampiri kebarangkalian teori.

Kita boleh membayangkannya sekali lagi dengan lambungan syiling. Syiling boleh menunjukkan gambar atau angka, dan kebarangkalian setiap muka ialah $\frac{1}{2}$, iaitu 50%. Jika kita melambung syiling sebanyak empat kali, kita mungkin mendapat gambar tiga kali dan angka sekali. Jadi, kekerapan relatifnya ialah $\frac{3}{4}$ dan $\frac{1}{4}$. Nilai ini agak jauh daripada $\frac{1}{2}$.

Jika kita melambung syiling sebanyak sepuluh kali kesemuanya, kita mungkin mendapat gambar tujuh kali dan angka tiga kali. Kekerapannya ialah $\frac{7}{10}$ dan $\frac{3}{10}$. Nilai ini masih jauh daripada $\frac{1}{2}$, tetapi lebih hampir kepada setengah berbanding kekerapan sebelumnya.

Kita boleh meneruskan cara ini. Jika kita melambung syiling sebanyak seribu kali, kita mungkin mendapat gambar 520 kali dan angka 480 kali. Kekerapannya ialah $\frac{13}{25}$ dan $\frac{12}{25}$, yang sudah sangat hampir kepada setengah (sebagai gambaran, $\frac{13}{25}=0.52$).

Perhatikan bahawa walaupun kekerapan relatif jauh lebih hampir kepada setengah, kekerapan mutlak pula semakin jauh daripada kekerapan “unggul”. Apabila kita melambung syiling sebanyak sepuluh kali, kekerapan mutlak yang unggul bagi setiap muka ialah 5, iaitu gambar lima kali dan angka lima kali. Oleh sebab gambar muncul tujuh kali, perbezaannya ialah dua lambungan: 7 − 5 = 2. Keputusan kita berbeza “sebanyak dua lambungan” daripada keadaan unggul.

Namun, apabila kita melambung syiling sebanyak seribu kali, gambar muncul 520 kali. Perbezaannya ialah 20 lambungan daripada keadaan unggul kerana dalam kes unggul setiap muka sepatutnya muncul 500 kali. Jadi, nampaknya semakin banyak kali kita melambung, semakin jauh keputusan kita daripada keadaan unggul.

Hal ini sama sekali tidak menjadi masalah. Hukum nombor besar tidak menyatakan bahawa kekerapan mutlak akan menghampiri keadaan unggul, tetapi kekerapan relatif. Kekerapan relatif memang semakin hampir. Jadi, kekerapan mutlak mungkin semakin menjauh, tetapi kekerapan relatif semakin menghampiri keadaan unggul.