Основни понятия в статистиката
Статистиката е наука, която изследва, обработва и оценява данни.
Генерална съвкупност
Целта на статистиката е да се проведе експеримент, с който да научим нещо интересно за дадена генерална съвкупност. Под генерална съвкупност най-общо разбираме всяко множество от елементи, които в момента искаме да изследваме. Ако искаме да разберем каква е средната възраст на жителите на България, генералната ни съвкупност са всички жители на България.
Ако пък искаме да разберем средния разход на бензин на леките автомобили на сто километра, генералната ни съвкупност е множеството на всички леки автомобили (на дадената територия).
Извадка
Често не е възможно да работим с всички елементи на генералната съвкупност. Представи си, че искаме да разберем какво мислят хората в България за задължителния ДЗИ по математика. За да разберем наистина какво мислят, би трябвало да обикаляме от врата на врата и да питаме всеки гражданин какво мисли за задължителния ДЗИ по математика. Нещо такова на практика не е възможно. Някои причини:
- Прекалено скъпо е. Да попиташ всичките около шест и половина милиона жители не е евтино. Например организирането на национални избори струва десетки милиони евро.
- Отнема прекалено много време. Изборите със сигурност се подготвят няколко месеца — ако ти трябва резултат от статистиката за една седмица, това е прекалено дълго.
- Не всички ще искат да отговорят. Някои хора по принцип няма да искат да отговарят на въпросите ти. Ако генералната ни съвкупност са машини, те пък могат да се развалят. Ако при автомобилите следиш колко километра са изминали, може да се случи километражът да се счупи или някой да го върне умишлено.
- Експериментът може да е прекалено опасен. От въпроса за задължителния ДЗИ едва ли някой ще получи инфаркт, но можем да вземем друг пример — изпитването на ново лекарство „всичколек“. Какво би станало, ако изпитаме всичколека върху цялото население на България и по време на изпитването се окаже, че 20% от изпитваните хора веднага получават ужасна диария? Е, вероятно е по-добре първо да изпитаме лекарството върху по-малка група хора, нали?
За да избегнем тези недостатъци, избираме от дадената генерална съвкупност само някаква извадка. Ако имаме генерална съвкупност P, то извадка V е всяко подмножество на P, т.е. V ⊆ P. След това провеждаме експеримента само върху тази извадка V, а резултатите обобщаваме за цялата генерална съвкупност. Тези резултати, разбира се, ще бъдат неточни — колко неточни ще бъдат, зависи преди всичко от това колко голяма е извадката V и какъв метод сме избрали за подбор на елементите във V.
Типични грешки могат да бъдат:
- Прекалено малък брой елементи във V. Ако попиташ за задължителния ДЗИ по математика първите седем души, които видиш, не можеш да получиш смислени резултати.
- Нерепрезентативен подбор на елементи от генералната съвкупност. Ако попиташ за задължителния ДЗИ по математика хиляда випускници на Факултета по математика и информатика на Софийския университет, ще получиш други отговори, отколкото ако попиташ хиляда ученици от 11. клас.
Променливи
По време на експеримента изследваме елементите на извадката. Данните, които наблюдаваме, наричаме променливи, а стойностите на променливите наричаме варианти. Има основни типове променливи:
- Качествена променлива: за такава променлива обикновено няма смисъл да измерваме, тя е някакво словесно описание. Типичен пример е въпросът за националността. Варианти на такава променлива са например стойностите „българска националност“, „турска националност“ и т.н. Няма смисъл да измерваме или сравняваме българската и турската националност. Можем да сравняваме броя на българите и турците, но самата националност не можем да сравняваме.
В тази категория попада и въпросът за задължителния ДЗИ, където се очакват отговори „да, искам задължителен ДЗИ по математика“ или „не, не искам задължителен ДЗИ по математика“, които са варианти на тази променлива. Отново можем да сравняваме броя на отговорите, но няма смисъл да сравняваме самите „да“ и „не“.
- Количествена променлива: такава променлива измерваме. Това са дължини, маси, времена, бройки и т.н. Количествените променливи делим допълнително на дискретни и непрекъснати променливи:
Дискретна променлива
Дискретната променлива има краен брой варианти или изброимо безкраен брой варианти (вж. по-нататък). Доста често това са цели числа. Например броят на учениците в един клас — в обикновен клас ще бъде някъде между петнадесет и четиридесет деца.
Дискретната променлива се отличава с това, че винаги можем да кажем кои са следващият и предишният вариант. Ако в 8 „б“ клас има 28 деца, предишният вариант е 27 деца, а следващият — 29 деца. При качествената променлива обикновено не можем да го направим — кой е вариантът след българската националност?
Дискретната променлива може да бъде и безкрайна, но трябва да е изброима — това означава, че все още трябва да можем да определим предишния и следващия вариант. Например бихме могли да въведем променливата „разстояние между два обекта с точност до един километър“. Ако измерим, че разстоянието между два обекта, например между кола и плевня, е 12 километра, следващият и предишният вариант отново са съответно 13 и 11 километра. При това разстоянието вероятно не е ограничено по никакъв начин. Ако имаме два обекта на разстояние 1 500 000 километра един от друг, със сигурност ще намерим и обекти на разстояние 1 500 001 километра един от друг.
Променливата би останала дискретна, дори ако променим точността на десети от километъра (т.е. на стотици метри). Тогава бихме могли да измерим разстояние 15,7 km, а следващата и предишната стойност биха били 15,8 и 15,6.
Ако предишният или следващият вариант не съществува, това не противоречи на факта, че променливата е дискретна. Например за разстояние нула километра не съществува предишен вариант — разстояние минус един километър не дефинираме. Въпреки това разстоянието с точност до един километър е дискретна променлива.
Непрекъсната променлива
Непрекъснатата променлива винаги има безкраен брой варианти. Стойностите ѝ обикновено са реални числа, така че това е например разстояние (без уточнение за точността). При непрекъснатите променливи не можем да определим нито предишния, нито следващия вариант. Ако измерим, че разстоянието до нещо е 3,58745 метра, не можем да намерим числото, което е точно след това число.
В множеството на реалните числа има и ирационални числа с безкраен десетичен запис. Ние, разбира се, нямаме уреди, които да измерват разстояние с такава точност, така че в действителност всяка такава променлива също е дискретна — именно защото всеки уред има някаква точност. Ако мериш нещо с линия, точността е един милиметър. Така можеш да измериш, че една книга е широка 167 mm или 168 mm, но нищо между тях; разбира се, освен ако не го оцениш на око и т.н.
Ако имаш по-научен уред, може да имаш точност до един микрометър. Но за съвсем точно измерване на обект и това едва ли ще стигне.
Въпреки всичко обикновено говорим за разстоянието или масата като за непрекъснати променливи. На практика такова опростяване е необходимо и обикновено не пречи на нищо.
Случайна величина
Случайната величина е дискретна или непрекъсната променлива, за която преди провеждането на експеримента не можем да определим крайната ѝ стойност. Случайна величина може да бъде например резултатът от хвърлянето на шестстенен зар. Докато не хвърлим зара, не можем да знаем какво число ще се падне.
Може да успеем да предвидим, че някои стойности са по-вероятни от други, и това не ни пречи — просто не бива да сме напълно сигурни, че ще получим някаква конкретна стойност. Например ако на случаен принцип изтеглим един жител на България и го попитаме в кой град живее, по-вероятно е да живее в София, отколкото в някое малко селце. В София просто живеят повече хора.
Ако имаме зар, който на пет стени има шест точки, а на останалата шеста стена има две точки, е много по-вероятно при хвърляне да се паднат шест точки. Все пак това си остава случайна величина, защото не е сигурно, че ще се паднат шест точки.
Ако променим този зар така, че на всичките шест стени да има шест точки, хвърлянето на зара няма да е случайна величина, защото винаги ще се падат шест точки.