✖

Varians

Varians menunjukkan sejauh mana nilai-nilai dalam set data kita terserak.

Apakah varians

Perhatikan jadual berikut. Jadual ini menunjukkan markah akhir dalam kad laporan bagi sepuluh orang pelajar kelas 2B. Kita akan melihat dua mata pelajaran, iaitu Matematik dan Sejarah.

Nama Matematik Sejarah
Ahmad 80 40
Hafiz 100 100
Wei Jie 80 100
Muthu 80 100
Siti 80 60
Mei Ling 100 40
Raju 80 20
Faizal 80 100
Aisyah 80 80
Kamal 60 40

Kita lihat bahawa kebanyakan pelajar mendapat markah 80 dalam Matematik, dan sesekali ada yang mendapat 100 atau 60. Sebaliknya, lajur Sejarah agak bercelaru: markahnya terserak dari 20 hingga 100, dan tiada markah yang jelas mendominasi. Jadi, markah Sejarah lebih terserak daripada markah Matematik.

Jika kita mengira min markah Matematik, kita memperoleh 82. Kita lihat bahawa kebanyakan nilai berada agak dekat dengan nilai ini. Sebaliknya, min markah Sejarah ialah 68, dan kebanyakan markah tidak berada dekat dengan nilai ini.

Bagaimanakah kita menyatakan serakan ini dengan nombor?

Cara mengira varians

Kita pindahkan data daripada jadual tadi ke dalam graf dan paparkan markah Sejarah sahaja.

Markah akhir Sejarah

Paksi-x menunjukkan pelajar (kali ini tanpa nama, jadi anggap 1 = Ahmad, 2 = Hafiz, dan seterusnya). Paksi-y menunjukkan markah akhir. Garis y = 68 mewakili min.

Varians dikira sebagai min bagi kuasa dua jarak setiap nilai dari min. Kedengarannya misteri, tetapi sebenarnya mudah. Kuasa dua bagi x boleh dibayangkan sebagai luas segi empat sama dengan panjang sisi x. Jadi, dalam graf kita, kita lukis segi empat sama dengan panjang sisi sama dengan jarak nilai itu dari min:

Graf dengan segi empat sama bagi jarak

Graf ini menunjukkan empat segi empat sama sahaja kerana semuanya tidak muat. Kita lihat bahawa Siti agak dekat dengan min, jadi segi empat samanya kecil. Raju pula jauh dari min, jadi segi empat samanya besar. Jika kita melukis semua segi empat sama dan mengira min luasnya, kita memperoleh varians.

Jika kita mempunyai set nilai X = [x1, …, xN] dengan min x―, varians, yang kita tandakan dengan Var, dikira seperti berikut:

Var(X)=1N((x1−x―)2+(x2−x―)2+…+(xN−x―)2)

Atau dengan tatatanda sigma:

Var(X)=1N∑i=1N(xi−x―)2

Mengapa (x1−x―)2? Ungkapan x1−x― sahaja memberikan jarak titik x1 dari min. Lebih tepat lagi, kita patut menulis |x1−x―| (nilai mutlak) sekiranya nilai x1 lebih kecil daripada min. Oleh sebab kita ingin mengetahui luas segi empat sama, kita kuasaduakan nilai ini.

Jadi, varians bagi set data kita ialah:

Var(Sejarah)=110((40−68)2+(100−68)2+(100−68)2+(100−68)2+(60−68)2+(40−68)2+(20−68)2+(100−68)2+(80−68)2+(40−68)2)=110⋅8960=896

Varians ialah 896. Varians bagi markah Matematik pula ialah:

Var(Matematik)=110((80−82)2+(100−82)2+(80−82)2+(80−82)2+(80−82)2+(100−82)2+(80−82)2+(80−82)2+(80−82)2+(60−82)2)=110⋅1160=116

Varians ialah 116. Seperti yang dijangka, varians bagi set data ini jauh lebih kecil.

Cara mengira varians dalam Excel

Dalam Excel, kita gunakan fungsi VAR atau salah satu variannya. Contohnya, bagi fungsi VAR.P, kita masukkan julat sel sebagai argumennya.