Нерівності у вигляді добутку та частки

Добуток кількох чисел додатний, коли серед них немає жодного нуля, а від'ємних множників парна кількість. Мінус на мінус дає плюс, тож від'ємні множники попарно компенсують один одного. Якщо їх залишається непарна кількість, увесь добуток від'ємний. На цій простій думці тримається розв'язування всіх нерівностей, у яких з одного боку стоїть добуток або частка, а з другого нуль.

Якщо тобі вже знайома стаття про квадратні нерівності, то нерівність (x − 1)(x + 3) > 0 ти розв'язати вмієш: знаходиш корені 1 і −3 та дивишся, де вираз додатний. Тепер побачиш, що той самий підхід упорається з довільною кількістю множників, а не лише з двома.

Метод інтервалів

Почнімо з такої нерівності:

$$(x+2)(x-1)(x-3)>0.$$

Дужки розкривати не будемо: вийшов би многочлен третього степеня, а з ним працювати значно важче. Розклад на множники для нас найкраще, що могло трапитися.

Спершу знайдемо нулі, тобто числа, у яких якийсь множник дорівнює нулю. Кожну дужку окремо прирівняємо до нуля:

$$\begin{array}{rcl}x+2& =& 0\Rightarrow x=-2\\ x-1& =& 0\Rightarrow x=1\\ x-3& =& 0\Rightarrow x=3\end{array}$$

Нулі розбивають числову вісь на чотири проміжки: (−∞; −2), (−2; 1), (1; 3) і (3; +∞). Усередині кожного з них жодна дужка не переходить через нуль, а отже, і не змінює знака. Тому досить узяти з кожного проміжку одне число й подивитися, який знак має кожна дужка.

• З проміжку (−∞; −2) спробуймо, наприклад, x = −3. Усі три дужки від'ємні: (−1) · (−4) · (−6). Три від'ємні множники — непарна кількість, тож добуток виходить від'ємним.
• З проміжку (−2; 1) підставимо нуль: 2 · (−1) · (−3). Два від'ємні множники, добуток додатний.
• З проміжку (1; 3) підійде двійка: 4 · 1 · (−1). Один від'ємний множник, добуток від'ємний.
• З проміжку (3; +∞) випробуймо десятку: усі дужки додатні, а отже, й добуток.

Наочно це показує таблиця знаків. У кожному рядку одна дужка, внизу весь добуток, а червоним виділено проміжки, де він додатний:

Шукаємо, коли добуток більший за нуль. Самі нулі до розв'язку не належать, бо в них добуток дорівнює нулю, а нуль не більший за нуль. Розв'язок такий:

$$x\in (-2;1)\cup (3;+\mathrm{\infty }).$$

Перевірка: для x = 4 маємо 6 · 3 · 1 = 18, а це справді додатне число.

Той самий результат видно й на графіку функції y = (x + 2)(x − 1)(x − 3). Графік перетинає вісь x саме в нулях, а між двома сусідніми лежить цілком над віссю або цілком під нею. Там, де він над віссю, добуток додатний, і ці частини червоні:

Знаки не обов'язково чергуються

У попередньому прикладі знаки чергувалися регулярно: мінус, плюс, мінус, плюс. Тому виникає спокуса визначити знак лише в одному проміжку, а в решті автоматично міняти його на протилежний. Так краще не робити. Подивися на нерівність

$$(x-1{)}^2(x+2)\ge 0.$$

Нулі — це 1 і −2, тож маємо три проміжки. Перевіримо по одному числу:

• x = −3: (−4)² · (−1) = 16 · (−1) = −16, від'ємне,
• x = 0: (−1)² · 2 = 2, додатне,
• x = 2: 1² · 4 = 4, додатне.

Під час переходу через одиницю знак не змінився. Річ у квадраті: (x − 1)² — це квадрат числа, а він завжди додатний або дорівнює нулю, що б не стояло всередині. Тому множник із парним степенем ніколи не змінює знака добутку. Якби ми просто чергували знаки, в останньому проміжку вийшов би мінус, і ми втратили б чималу частину розв'язку.

Отже, вираз додатний на (−2; 1) і на (1; +∞). Проте нерівність каже «більше або дорівнює», тож додаємо й точки, де вираз дорівнює нулю. Це обидва нулі, −2 і 1. Одиниця належить розв'язку завдяки рівності, а два проміжки зливаються в один:

$$x\in [-2;+\mathrm{\infty }).$$

Зверни увагу на строгу нерівність: для (x − 1)²(x + 2) > 0 одиниця до розв'язку не належала б, і вийшло б (−2; 1) ∪ (1; +∞), тобто проміжок із «діркою».

Частка

З дробом діємо так само, адже частка має той самий знак, що й добуток: вона додатна, якщо чисельник і знаменник мають однакові знаки. Розв'яжімо нерівність

$$\frac{x+2}{x-4}\le 0.$$

Нулі знаходимо і в чисельнику, і в знаменнику: x = −2 та x = 4. Підставляємо по одному числу з кожного проміжку:

• x = −3: $\frac{-1}{-7}$, додатне,
• x = 0: $\frac{2}{-4}$, від'ємне,
• x = 5: $\frac{7}{1}$, додатне.

Шукаємо від'ємні значення або нуль. Дріб від'ємний на проміжку (−2; 4). Нуль виходить, коли дорівнює нулю чисельник, тобто для x = −2, і це значення до розв'язку належить. А четвірка не належить ніколи, який би знак не стояв у нерівності. Для x = 4 у знаменнику був би нуль, а на нуль ділити не можна. Тому нулі знаменника завжди виключаємо.

На рисунку це видно за кружечками. Зафарбований кружечок біля −2 означає, що число до розв'язку належить, порожній біля четвірки — що ні. Відповідь:

$$x\in [-2;4).$$

Не множ на знаменник

Метод інтервалів працює, лише коли з одного боку нерівності стоїть нуль. Візьмімо нерівність

$$\frac{2x-1}{x+1}\ge 1.$$

Дуже кортить помножити її на знаменник x + 1, отримати 2x − 1 ≥ x + 1 і звідси x ≥ 2. Проте ми не знаємо, чи x + 1 додатне, чи від'ємне, а під час множення на від'ємне число знак нерівності змінювався б на протилежний. Тому це не було рівносильне перетворення, і частина розв'язку зникла. Докладніше про це читай у статті про лінійні нерівності.

Правильно буде перенести все в один бік:

$$\frac{2x-1}{x+1}-1\ge 0$$

Одиницю запишемо як дріб із таким самим знаменником:

$$\frac{2x-1}{x+1}-\frac{x+1}{x+1}\ge 0$$

І віднімемо дроби:

$$\frac{x-2}{x+1}\ge 0$$

Нулі — це 2 і −1. Для x = −2 маємо $\frac{-4}{-1}=4$, додатне. Для x = 0 маємо $\frac{-2}{1}$, від'ємне. Для x = 3 маємо $\frac{1}{4}$, додатне. Двійка до розв'язку належить (дріб там дорівнює нулю), мінус одиниця ні, бо це нуль знаменника. Увесь розв'язок такий:

$$x\in (-\mathrm{\infty };-1)\cup [2;+\mathrm{\infty }).$$

Що множення на знаменник справді щось у нас забрало, перевіримо підстановкою x = −2 в початкову нерівність: $\frac{-5}{-1}=5$, а п'ять більше за одиницю. Усе збігається.