Egyenlőtlenségek szorzat- és hányadosalakban

Több szám szorzata akkor pozitív, ha egyik tényezője sem nulla, és a negatív tényezők száma páros. Mínusz szor mínusz az plusz, ezért a negatív tényezők páronként kiejtik egymást. Ha páratlan számú marad belőlük, az egész szorzat negatív. Erre az egyszerű gondolatra épül minden olyan egyenlőtlenség megoldása, amelynek az egyik oldalán szorzat vagy hányados áll, a másikon pedig nulla.

Ha olvastad a másodfokú egyenlőtlenségekről szóló cikket, az (x − 1)(x + 3) > 0 egyenlőtlenséget már meg tudod oldani: megkeresed a gyököket (1 és −3), és megnézed, hol pozitív a kifejezés. Most látni fogod, hogy ugyanez az eljárás tetszőleges számú tényezőnél is működik, nem csak kettőnél.

Előjelvizsgálat a zérushelyekkel

Ezzel az egyenlőtlenséggel kezdjük:

$$(x+2)(x-1)(x-3)>0.$$

A zárójeleket nem szorozzuk ki, harmadfokú polinomot kapnánk, azzal pedig sokkal nehezebb dolgozni. A szorzat alak ezzel szemben a legjobb, ami történhetett velünk.

Először megkeressük a zérushelyeket, vagyis azokat a számokat, amelyekben valamelyik tényező nulla. Minden zárójelet külön egyenlővé teszünk nullával:

$$\begin{array}{rcl}x+2& =& 0\Rightarrow x=-2\\ x-1& =& 0\Rightarrow x=1\\ x-3& =& 0\Rightarrow x=3\end{array}$$

A zérushelyek négy intervallumra osztják a számegyenest: ]−∞; −2[, ]−2; 1[, ]1; 3[ és ]3; +∞[. Egyiknek a belsejében sem lép át egyetlen zárójel sem a nullán, ezért az előjele sem változik meg. Elég tehát minden intervallumból kiválasztani egy számot, és megnézni, milyen előjelűek az egyes zárójelek.

• A ]−∞; −2[ intervallumból kipróbáljuk például az x = −3 értéket. Mindhárom zárójel negatív: (−1) · (−4) · (−6). Három negatív tényező páratlan szám, ezért a szorzat negatív.
• A ]−2; 1[ intervallumból behelyettesítjük a nullát: 2 · (−1) · (−3). Két negatív tényező van, a szorzat pozitív.
• Az ]1; 3[ intervallumból jó lesz a kettes: 4 · 1 · (−1). Egy negatív tényező van, a szorzat negatív.
• A ]3; +∞[ intervallumból kipróbáljuk a tízet: minden zárójel pozitív, tehát a szorzat is.

Az előjeleket áttekinthetően mutatja az előjeltáblázat. Minden sorban egy zárójel áll, alul az egész szorzat, pirossal pedig azok az intervallumok, ahol a szorzat pozitív:

Azt keressük, mikor nagyobb a szorzat nullánál. Maguk a zérushelyek nem tartoznak a megoldáshoz, mert ezekben a szorzat nulla, a nulla pedig nem nagyobb nullánál. A megoldás

$$x\in ]-2;1[\cup ]3;+\mathrm{\infty }[.$$

Ellenőrzés: x = 4 esetén 6 · 3 · 1 = 18 adódik, és ez valóban pozitív szám.

Ugyanez az eredmény látszik a y = (x + 2)(x − 1)(x − 3) függvény grafikonján is. A grafikon pontosan a zérushelyekben metszi az x tengelyt, és két szomszédos között vagy végig a tengely fölött, vagy végig alatta halad. Ahol a tengely fölött van, ott a szorzat pozitív, és ezek a részek pirosak:

Az előjelek nem mindig váltakoznak

Az előző példában az előjelek szabályosan váltakoztak: mínusz, plusz, mínusz, plusz. Ez arra csábít, hogy csak egyetlen intervallumban állapítsuk meg az előjelet, a többiben pedig automatikusan felcseréljük. Ezt inkább ne tedd. Nézd meg ezt az egyenlőtlenséget:

$$(x-1{)}^2(x+2)\ge 0.$$

A zérushelyek 1 és −2, három intervallumunk van. Mindegyikből kipróbálunk egy számot:

• x = −3: (−4)² · (−1) = 16 · (−1) = −16, negatív,
• x = 0: (−1)² · 2 = 2, pozitív,
• x = 2: 1² · 4 = 4, pozitív.

Az egyesen áthaladva az előjel nem változott meg. Ennek oka a négyzet: (x − 1)² négyzet, az pedig mindig pozitív vagy nulla, bármi áll is a zárójelben. A páros kitevős tényező ezért soha nem fordítja meg a szorzat előjelét. Ha csak váltogatnánk az előjeleket, az utolsó intervallumban mínuszt kapnánk, és a megoldás jókora részét elveszítenénk.

A kifejezés tehát pozitív a ]−2; 1[ és az ]1; +∞[ intervallumon. Az egyenlőtlenség viszont „nagyobb vagy egyenlő”-t mond, ezért hozzávesszük azokat a pontokat is, ahol a kifejezés nulla. Ez mindkét zérushely, a −2 és az 1 is. Az egyes tehát az egyenlőség miatt tartozik a megoldáshoz, és a két intervallum eggyé olvad:

$$x\in [-2;+\mathrm{\infty }[.$$

Vigyázz a szigorú egyenlőtlenségre: az (x − 1)²(x + 2) > 0 esetén az egyes nem tartozna a megoldáshoz, és a ]−2; 1[ ∪ ]1; +∞[ halmaz adódna, vagyis egy lyukas intervallum.

Hányadosalak

A törttel pontosan ugyanúgy bánunk, mert a hányadosnak ugyanaz az előjele, mint a szorzatnak: pozitív, ha a számláló és a nevező előjele megegyezik. Megoldjuk a következő egyenlőtlenséget:

$$\frac{x+2}{x-4}\le 0.$$

A zérushelyeket a számlálóban és a nevezőben is megkeressük: x = −2 és x = 4. Minden intervallumból behelyettesítünk egy számot:

• x = −3: $\frac{-1}{-7}$, pozitív,
• x = 0: $\frac{2}{-4}$, negatív,
• x = 5: $\frac{7}{1}$, pozitív.

Negatív értékeket vagy nullát keresünk. A tört a ]−2; 4[ intervallumon negatív. Nulla akkor adódik, ha a számláló nulla, vagyis x = −2 esetén, és ez a megoldáshoz tartozik. A négyes viszont soha nem tartozik hozzá, bármilyen relációs jel áll is az egyenlőtlenségben. x = 4 esetén a nevezőben nulla állna, és nullával nem lehet osztani. A nevező zérushelyeit ezért mindig kizárjuk.

Az ábrán ezt a karikákról ismered fel. A kitöltött karika a −2-nél azt jelenti, hogy a szám a megoldáshoz tartozik, az üres karika a négyesnél pedig azt, hogy nem. Az eredmény

$$x\in [-2;4[.$$

Ne szorozz a nevezővel

A zérushelyekkel való előjelvizsgálat csak akkor működik, ha az egyenlőtlenség egyik oldalán nulla áll. Nézzük ezt az egyenlőtlenséget:

$$\frac{2x-1}{x+1}\ge 1.$$

Nagyon csábító megszorozni a nevezővel, az x + 1 kifejezéssel: így 2x − 1 ≥ x + 1 adódik, ebből pedig x ≥ 2. Csakhogy nem tudjuk, hogy x + 1 pozitív-e vagy negatív, és negatív számmal szorozva megfordulna a relációs jel. Ezért ez nem volt ekvivalens átalakítás, és a megoldás egy része eltűnt. Erről többet olvashatsz az elsőfokú egyenlőtlenségekről szóló cikkben.

Helyesen mindent az egyik oldalra viszünk:

$$\frac{2x-1}{x+1}-1\ge 0$$

Az egyest felírjuk azonos nevezőjű törtként:

$$\frac{2x-1}{x+1}-\frac{x+1}{x+1}\ge 0$$

A törteket pedig kivonjuk:

$$\frac{x-2}{x+1}\ge 0$$

A zérushelyek 2 és −1. x = −2 esetén $\frac{-4}{-1}=4$ adódik, pozitív. x = 0 esetén $\frac{-2}{1}$, negatív. x = 3 esetén $\frac{1}{4}$, pozitív. A kettes a megoldáshoz tartozik (a tört ott nulla), a mínusz egy nem, mert a nevező zérushelye. A teljes megoldás tehát

$$x\in ]-\mathrm{\infty };-1[\cup [2;+\mathrm{\infty }[.$$

Azt, hogy a nevezővel való szorzás valóban elvett valamit a megoldásból, úgy ellenőrizzük, hogy az eredeti egyenlőtlenségbe behelyettesítjük az x = −2 értéket: $\frac{-5}{-1}=5$, az öt pedig nagyobb egynél. Stimmel.