Uligheder på produktform og brøkform

Et produkt af flere tal er positivt, når der ikke er nul blandt faktorerne, og antallet af negative faktorer er lige. Minus gange minus er plus, så de negative faktorer går ud med hinanden to og to. Hvis der er et ulige antal tilbage, er hele produktet negativt. På denne enkle tanke hviler løsningen af alle uligheder, der har et produkt eller en brøk på den ene side og nul på den anden.

Hvis du har læst artiklen om andengradsuligheder, kan du allerede løse uligheden (x − 1)(x + 3) > 0: Du finder løsningerne 1 og −3 og ser, hvor udtrykket er positivt. Nu skal du se, at den samme fremgangsmåde virker med et vilkårligt antal faktorer, ikke kun med to.

Nulpunktsmetoden

Vi begynder med denne ulighed:

$$(x+2)(x-1)(x-3)>0.$$

Vi ganger ikke parenteserne ud, for så ville vi få et tredjegradspolynomium, og det er meget sværere at arbejde med. Produktformen er tværtimod det bedste, der kunne ske for os.

Først finder vi nulpunkterne, altså de tal, hvor en af faktorerne er lig med nul. Hver parentes sætter vi for sig lig med nul:

$$\begin{array}{rcl}x+2& =& 0\Rightarrow x=-2\\ x-1& =& 0\Rightarrow x=1\\ x-3& =& 0\Rightarrow x=3\end{array}$$

Nulpunkterne deler tallinjen op i fire intervaller: ]−∞; −2[, ]−2; 1[, ]1; 3[ og ]3; ∞[. Inde i hvert af dem passerer ingen parentes nul, og derfor skifter ingen af dem fortegn. Det er altså nok at vælge ét tal i hvert interval og finde ud af, hvilke fortegn de enkelte parenteser har.

• Fra intervallet ]−∞; −2[ prøver vi for eksempel x = −3. Alle tre parenteser er negative: (−1) · (−4) · (−6). Tre negative faktorer er et ulige antal, så produktet bliver negativt.
• Fra intervallet ]−2; 1[ indsætter vi nul: 2 · (−1) · (−3). To negative faktorer, produktet er positivt.
• Fra intervallet ]1; 3[ er tallet 2 et godt valg: 4 · 1 · (−1). Én negativ faktor, produktet er negativt.
• Fra intervallet ]3; ∞[ prøver vi tallet 10: alle parenteser er positive, og derfor er produktet det også.

Overskueligt kan det ses i en fortegnslinje. I hver række står én parentes, nederst hele produktet, og med rødt de intervaller, hvor det er positivt:

Vi leder efter, hvornår produktet er større end nul. Selve nulpunkterne hører ikke med til løsningen, fordi produktet i dem er lig med nul, og nul er ikke større end nul. Løsningen er

$$x\in ]-2;1[\cup ]3;\mathrm{\infty }[.$$

Prøve: For x = 4 får vi 6 · 3 · 1 = 18, og det er rigtigt nok et positivt tal.

Det samme resultat kan også ses på grafen for funktionen y = (x + 2)(x − 1)(x − 3). Grafen skærer x-aksen netop i nulpunkterne, og mellem to nabopunkter ligger den helt over aksen eller helt under den. Hvor den ligger over aksen, er produktet positivt, og disse dele er røde:

Fortegnene behøver ikke skifte

I det foregående eksempel skiftede fortegnene regelmæssigt: minus, plus, minus, plus. Det frister til kun at finde fortegnet i ét interval og så automatisk bytte om på det i resten. Det skal du helst ikke. Se på uligheden

$$(x-1{)}^2(x+2)\ge 0.$$

Nulpunkterne er 1 og −2, så vi har tre intervaller. Vi prøver ét tal i hvert:

• x = −3: (−4)² · (−1) = 16 · (−1) = −16, negativt,
• x = 0: (−1)² · 2 = 2, positivt,
• x = 2: 1² · 4 = 4, positivt.

Da vi passerede tallet 1, skiftede fortegnet ikke. Det skyldes anden potens: (x − 1)² er en anden potens, og den er altid positiv eller nul, uanset hvad der står indeni. En faktor med lige potens vender derfor aldrig produktets fortegn. Hvis vi bare skiftede fortegn, ville vi i det sidste interval få minus og gå glip af en ordentlig bid af løsningen.

Udtrykket er altså positivt på ]−2; 1[ og på ]1; ∞[. Men uligheden siger »større end eller lig med«, så vi tager også de punkter med, hvor udtrykket er lig med nul. Det er begge nulpunkter, både −2 og 1. Tallet 1 hører så med til løsningen på grund af lighedstegnet, og to intervaller smelter sammen til ét:

$$x\in [-2;\mathrm{\infty }[.$$

Pas på ved en streng ulighed: ved (x − 1)²(x + 2) > 0 ville tallet 1 ikke høre med til løsningen, og vi ville få ]−2; 1[ ∪ ]1; ∞[, altså et interval med et hul.

Brøkform

En brøk behandler vi helt på samme måde, fordi en kvotient har samme fortegn som et produkt: Den er positiv, hvis tæller og nævner har samme fortegn. Vi løser uligheden

$$\frac{x+2}{x-4}\le 0.$$

Nulpunkterne finder vi både i tælleren og i nævneren: x = −2 og x = 4. Vi indsætter ét tal fra hvert interval:

• x = −3: $\frac{-1}{-7}$, positivt,
• x = 0: $\frac{2}{-4}$, negativt,
• x = 5: $\frac{7}{1}$, positivt.

Vi leder efter negative værdier eller nul. Brøken er negativ på intervallet ]−2; 4[. Nul får vi, når tælleren er nul, altså for x = −2, og det hører med til løsningen. Tallet 4 hører derimod aldrig med, uanset hvilket tegn der står i uligheden. For x = 4 ville der stå nul i nævneren, og man kan ikke dividere med nul. Nævnerens nulpunkter udelukker vi derfor altid.

På figuren kan du se det på cirklerne. En udfyldt cirkel ved −2 betyder, at tallet hører med til løsningen, en åben ved fire, at det ikke gør. Resultatet lyder

$$x\in [-2;4[.$$

Gang ikke med nævneren

Nulpunktsmetoden virker kun, når der står nul på den ene side af uligheden. Lad os tage uligheden

$$\frac{2x-1}{x+1}\ge 1.$$

Det er meget fristende at gange den med nævneren x + 1, få 2x − 1 ≥ x + 1 og heraf x ≥ 2. Men vi ved ikke, om x + 1 er positivt eller negativt, og ved multiplikation med et negativt tal skulle ulighedstegnet vendes. Derfor var det ikke en ækvivalent omformning, og en del af løsningen forsvandt. Mere om det kan du læse i artiklen om lineære uligheder.

Det rigtige er at flytte alt over på den ene side:

$$\frac{2x-1}{x+1}-1\ge 0$$

Tallet 1 skriver vi som en brøk med samme nævner:

$$\frac{2x-1}{x+1}-\frac{x+1}{x+1}\ge 0$$

Og brøkerne trækker vi fra hinanden:

$$\frac{x-2}{x+1}\ge 0$$

Nulpunkterne er 2 og −1. For x = −2 får vi $\frac{-4}{-1}=4$, positivt. For x = 0 får vi $\frac{-2}{1}$, negativt. For x = 3 får vi $\frac{1}{4}$, positivt. Tallet 2 hører med til løsningen (brøken er der lig med nul), minus en gør ikke, fordi det er et nulpunkt for nævneren. Hele løsningen er altså

$$x\in ]-\mathrm{\infty };-1[\cup [2;\mathrm{\infty }[.$$

At multiplikationen med nævneren virkelig tog noget fra os, kan vi kontrollere ved at indsætte x = −2 i den oprindelige ulighed: $\frac{-5}{-1}=5$, og fem er større end en. Det passer.