Ulikheter på produkt- og brøkform

Et produkt av flere tall er positivt når ingen av faktorene er null og antallet negative faktorer er partall. Minus ganger minus er pluss, så de negative faktorene går ut mot hverandre to og to. Hvis det blir et oddetall igjen, er hele produktet negativt. På denne enkle tanken bygger løsningen av alle ulikheter som har et produkt eller en brøk på den ene siden og null på den andre.

Hvis du har lest artikkelen om andregradsulikheter, kan du allerede løse ulikheten (x − 1)(x + 3) > 0: Du finner nullpunktene 1 og −3 og ser etter hvor uttrykket er positivt. Nå skal du se at den samme framgangsmåten klarer et hvilket som helst antall faktorer, ikke bare to.

Fortegnsskjema

Vi begynner med denne ulikheten:

$$(x+2)(x-1)(x-3)>0.$$

Parentesene skal vi ikke gange ut, for da ville vi fått et tredjegradspolynom, og det er mye verre å arbeide med. Produktform er tvert imot det beste som kunne skje oss.

Først finner vi nullpunktene, altså tallene der en av faktorene er lik null. Vi setter hver parentes for seg lik null:

$$\begin{array}{rcl}x+2& =& 0\Rightarrow x=-2\\ x-1& =& 0\Rightarrow x=1\\ x-3& =& 0\Rightarrow x=3\end{array}$$

Nullpunktene deler tallinjen i fire intervaller: ⟨ ← , −2⟩, ⟨ − 2, 1⟩, ⟨1, 3⟩ og ⟨3, → ⟩. Inne i hvert av dem passerer ingen parentes null, og derfor endrer heller ingen parentes fortegn. Det holder altså å velge ett tall fra hvert intervall og finne ut hvilket fortegn de enkelte parentesene har.

• Fra intervallet ⟨ ← , −2⟩ prøver vi for eksempel x = −3. Alle tre parentesene er negative: (−1) · (−4) · (−6). Tre negative faktorer er et oddetall, så produktet blir negativt.
• Fra intervallet ⟨ − 2, 1⟩ setter vi inn null: 2 · (−1) · (−3). To negative faktorer, produktet er positivt.
• Fra intervallet ⟨1, 3⟩ egner to seg: 4 · 1 · (−1). Én negativ faktor, produktet er negativt.
• Fra intervallet ⟨3, → ⟩ prøver vi ti: alle parentesene er positive, og dermed også produktet.

Oversiktlig viser vi det med fortegnslinjer. På hver linje står én parentes, nederst hele produktet, og med rødt er intervallene der det er positivt:

Vi leter etter når produktet er større enn null. Selve nullpunktene hører ikke med til løsningen, fordi produktet er lik null i dem, og null er ikke større enn null. Løsningen er

$$x\in ⟨-2,1⟩\cup ⟨3,\to ⟩.$$

Prøve: For x = 4 får vi 6 · 3 · 1 = 18, og det er virkelig et positivt tall.

Det samme resultatet ser vi også på grafen til funksjonen y = (x + 2)(x − 1)(x − 3). Grafen skjærer x-aksen nøyaktig i nullpunktene, og mellom to nabopunkter ligger den helt over eller helt under aksen. Der den ligger over aksen, er produktet positivt, og disse delene er markert med rødt:

Fortegnene trenger ikke veksle

I det forrige eksempelet vekslet fortegnene regelmessig: minus, pluss, minus, pluss. Det frister til å finne fortegnet i bare ett intervall og så bytte det automatisk i resten. Det bør du helst ikke gjøre. Se på ulikheten

$$(x-1{)}^2(x+2)\ge 0.$$

Nullpunktene er 1 og −2, og vi har tre intervaller. Vi prøver ett tall i hvert:

• x = −3: (−4)² · (−1) = 16 · (−1) = −16, negativt,
• x = 0: (−1)² · 2 = 2, positivt,
• x = 2: 1² · 4 = 4, positivt.

Da vi passerte én, endret ikke fortegnet seg. Det kommer av andrepotensen: (x − 1)² er en andre potens, og den er alltid positiv eller null, uansett hva som står inni. En faktor med partallseksponent snur derfor aldri fortegnet til produktet. Hvis vi bare hadde vekslet fortegnene, ville vi fått minus i det siste intervallet og gått glipp av en god del av løsningen.

Uttrykket er altså positivt på ⟨ − 2, 1⟩ og på ⟨1, → ⟩. Men ulikheten sier «større enn eller lik», så vi tar også med punktene der uttrykket er lik null. Det er begge nullpunktene, både −2 og 1. Én hører altså med til løsningen takket være likheten, og to intervaller smelter sammen til ett:

$$x\in [-2,\to ⟩.$$

Vær oppmerksom på streng ulikhet: Ved (x − 1)²(x + 2) > 0 ville ikke én hørt med til løsningen, og vi ville fått ⟨ − 2, 1⟩ ∪ ⟨1, → ⟩, altså et intervall med et hull.

Brøkform

Med en brøk gjør vi akkurat det samme, for en kvotient har samme fortegn som et produkt: Den er positiv hvis telleren og nevneren har samme fortegn. Vi løser ulikheten

$$\frac{x+2}{x-4}\le 0.$$

Nullpunktene finner vi både i telleren og i nevneren: x = −2 og x = 4. Vi setter inn ett tall fra hvert intervall:

• x = −3: $\frac{-1}{-7}$, positivt,
• x = 0: $\frac{2}{-4}$, negativt,
• x = 5: $\frac{7}{1}$, positivt.

Vi leter etter negative verdier eller null. Brøken er negativ på intervallet ⟨ − 2, 4⟩. Null får vi når telleren er null, altså for x = −2, og det hører med til løsningen. Men fire hører aldri med, uansett hvilket tegn som står i ulikheten. For x = 4 ville det stått null i nevneren, og man kan ikke dele på null. Nullpunktene til nevneren tar vi derfor alltid ut.

På bildet ser du det på sirklene. En fylt sirkel ved −2 betyr at tallet hører med til løsningen, en åpen ved fire at det ikke gjør det. Resultatet lyder

$$x\in [-2,4⟩.$$

Ikke gang med nevneren

Fortegnsskjemaet fungerer bare når det står null på den ene siden av ulikheten. Ta ulikheten

$$\frac{2x-1}{x+1}\ge 1.$$

Det er veldig fristende å gange den med nevneren x + 1, få 2x − 1 ≥ x + 1 og av det x ≥ 2. Men vi vet ikke om x + 1 er positiv eller negativ, og ved multiplikasjon med et negativt tall ville ulikhetstegnet snudd seg. Derfor var det ikke en ekvivalent omforming, og en del av løsningen forsvant. Du kan lese mer om det i artikkelen om lineære ulikheter.

Riktig er å flytte alt over på én side:

$$\frac{2x-1}{x+1}-1\ge 0$$

Én skriver vi som en brøk med samme nevner:

$$\frac{2x-1}{x+1}-\frac{x+1}{x+1}\ge 0$$

Og brøkene trekker vi fra hverandre:

$$\frac{x-2}{x+1}\ge 0$$

Nullpunktene er 2 og −1. For x = −2 får vi $\frac{-4}{-1}=4$, positivt. For x = 0 får vi $\frac{-2}{1}$, negativt. For x = 3 får vi $\frac{1}{4}$, positivt. To hører med til løsningen (brøken er der lik null), minus én gjør det ikke, fordi det er et nullpunkt i nevneren. Hele løsningen er altså

$$x\in ⟨\leftarrow ,-1⟩\cup [2,\to ⟩.$$

At multiplikasjon med nevneren virkelig tok noe fra oss, kontrollerer vi ved å sette inn x = −2 i den opprinnelige ulikheten: $\frac{-5}{-1}=5$, og fem er større enn én. Det stemmer.