Nierówności iloczynowe i ilorazowe

Iloczyn kilku liczb jest dodatni, gdy nie ma w nim żadnego zera, a czynników ujemnych jest parzysta liczba. Minus razy minus daje plus, więc czynniki ujemne znoszą się parami. Jeśli zostanie ich nieparzysta liczba, cały iloczyn jest ujemny. Na tym prostym pomyśle opiera się rozwiązywanie wszystkich nierówności, które po jednej stronie mają iloczyn lub iloraz, a po drugiej zero.

Jeśli znasz artykuł o nierównościach kwadratowych, nierówność (x − 1)(x + 3) > 0 już umiesz rozwiązać: znajdujesz rozwiązania 1 i −3 i sprawdzasz, gdzie wyrażenie jest dodatnie. Teraz zobaczysz, że ta sama metoda poradzi sobie z dowolną liczbą czynników, nie tylko z dwoma.

Metoda miejsc zerowych

Zaczniemy od takiej nierówności:

$$(x+2)(x-1)(x-3)>0.$$

Nawiasów nie będziemy wymnażać, bo dostalibyśmy wielomian trzeciego stopnia, a z nim pracuje się dużo trudniej. Postać iloczynowa jest dla nas najlepszym, co mogło się przytrafić.

Najpierw znajdziemy miejsca zerowe, czyli liczby, dla których któryś czynnik jest równy zeru. Każdy nawias z osobna przyrównujemy do zera:

$$\begin{array}{rcl}x+2& =& 0\Rightarrow x=-2\\ x-1& =& 0\Rightarrow x=1\\ x-3& =& 0\Rightarrow x=3\end{array}$$

Miejsca zerowe dzielą oś liczbową na cztery przedziały: (−∞, −2), (−2, 1), (1, 3) i (3, ∞). Wewnątrz żadnego z nich żaden nawias nie przechodzi przez zero, a więc też nie zmienia znaku. Wystarczy zatem wybrać z każdego przedziału jedną liczbę i sprawdzić, jaki znak ma każdy z nawiasów.

• Z przedziału (−∞, −2) spróbujemy na przykład x = −3. Wszystkie trzy nawiasy są ujemne: (−1) · (−4) · (−6). Trzy czynniki ujemne to nieparzysta liczba, więc iloczyn wychodzi ujemny.
• Z przedziału (−2, 1) podstawimy zero: 2 · (−1) · (−3). Dwa czynniki ujemne, iloczyn jest dodatni.
• Z przedziału (1, 3) nada się dwójka: 4 · 1 · (−1). Jeden czynnik ujemny, iloczyn jest ujemny.
• Z przedziału (3, ∞) wypróbujemy dziesiątkę: wszystkie nawiasy są dodatnie, a więc i iloczyn.

Przejrzyście pokazuje to tabela znaków. W każdym wierszu jest jeden nawias, na dole cały iloczyn, a na czerwono zaznaczone są przedziały, w których jest dodatni:

Szukamy, kiedy iloczyn jest większy od zera. Same miejsca zerowe do rozwiązania nie należą, bo w nich iloczyn jest równy zeru, a zero nie jest większe od zera. Rozwiązaniem jest

$$x\in (-2,1)\cup (3,\mathrm{\infty }).$$

Sprawdzenie: dla x = 4 wychodzi 6 · 3 · 1 = 18, a to rzeczywiście liczba dodatnia.

Ten sam wynik widać też na wykresie funkcji y = (x + 2)(x − 1)(x − 3). Wykres przecina oś x dokładnie w miejscach zerowych, a między dwoma sąsiednimi leży w całości nad osią albo w całości pod nią. Tam, gdzie jest nad osią, iloczyn jest dodatni, i te części są czerwone:

Znaki nie muszą się zmieniać naprzemiennie

W poprzednim przykładzie znaki zmieniały się regularnie: minus, plus, minus, plus. Kusi, żeby sprawdzić znak tylko w jednym przedziale, a w pozostałych odwracać go automatycznie. Lepiej tego nie robić. Spójrz na nierówność

$$(x-1{)}^2(x+2)\ge 0.$$

Miejsca zerowe to 1 i −2, mamy więc trzy przedziały. Sprawdzimy po jednej liczbie:

• x = −3: (−4)² · (−1) = 16 · (−1) = −16, ujemne,
• x = 0: (−1)² · 2 = 2, dodatnie,
• x = 2: 1² · 4 = 4, dodatnie.

Przy przejściu przez jedynkę znak się nie zmienił. Dzieje się tak z powodu kwadratu: (x − 1)² to kwadrat liczby, a ten jest zawsze dodatni lub równy zeru, cokolwiek jest w środku. Czynnik z parzystą potęgą nigdy więc nie odwraca znaku iloczynu. Gdybyśmy znaki tylko zmieniali naprzemiennie, w ostatnim przedziale wyszedłby minus i straciłbyśmy sporą część rozwiązania.

Wyrażenie jest zatem dodatnie na (−2, 1) i na (1, ∞). Nierówność mówi jednak „większe lub równe”, więc dołączamy też punkty, w których wyrażenie jest równe zeru. Są to oba miejsca zerowe, −2 i 1. Jedynka należy więc do rozwiązania dzięki równości, a dwa przedziały zlewają się w jeden:

$$x\in ⟨-2,\mathrm{\infty }).$$

Uwaga na nierówność ostrą: dla (x − 1)²(x + 2) > 0 jedynka do rozwiązania by nie należała i wyszłoby (−2, 1) ∪ (1, ∞), czyli przedział z dziurą.

Postać ilorazowa

Z ułamkiem postępujemy dokładnie tak samo, bo iloraz ma taki sam znak jak iloczyn: jest dodatni, jeśli licznik i mianownik mają ten sam znak. Rozwiążemy nierówność

$$\frac{x+2}{x-4}\le 0.$$

Miejsca zerowe znajdujemy w liczniku i w mianowniku: x = −2 i x = 4. Podstawiamy po jednej liczbie z każdego przedziału:

• x = −3: $\frac{-1}{-7}$, dodatnie,
• x = 0: $\frac{2}{-4}$, ujemne,
• x = 5: $\frac{7}{1}$, dodatnie.

Szukamy wartości ujemnych lub zera. Ułamek jest ujemny w przedziale (−2, 4). Zero wychodzi, gdy zerowy jest licznik, czyli dla x = −2, i to do rozwiązania należy. Czwórka natomiast nie należy nigdy, jakikolwiek znak stoi w nierówności. Dla x = 4 w mianowniku byłoby zero, a przez zero dzielić nie wolno. Miejsca zerowe mianownika zawsze więc wykluczamy.

Na rysunku poznasz to po kółkach. Pełne kółko przy −2 oznacza, że liczba należy do rozwiązania, puste przy czwórce, że nie należy. Wynik brzmi

$$x\in ⟨-2,4).$$

Nie mnóż przez mianownik

Metoda miejsc zerowych działa tylko wtedy, gdy po jednej stronie nierówności jest zero. Weźmy nierówność

$$\frac{2x-1}{x+1}\ge 1.$$

Bardzo kusi, żeby pomnożyć ją przez mianownik x + 1, dostać 2x − 1 ≥ x + 1 i z tego x ≥ 2. Tyle że nie wiemy, czy x + 1 jest dodatnie, czy ujemne, a przy mnożeniu przez liczbę ujemną znak nierówności by się odwracał. Dlatego nie było to przekształcenie równoważne i część rozwiązania nam zniknęła. Więcej o tym przeczytasz w artykule o nierównościach liniowych.

Poprawnie przenosimy wszystko na jedną stronę:

$$\frac{2x-1}{x+1}-1\ge 0$$

Jedynkę zapisujemy jako ułamek o takim samym mianowniku:

$$\frac{2x-1}{x+1}-\frac{x+1}{x+1}\ge 0$$

I odejmujemy ułamki:

$$\frac{x-2}{x+1}\ge 0$$

Miejsca zerowe to 2 i −1. Dla x = −2 wychodzi $\frac{-4}{-1}=4$, dodatnie. Dla x = 0 wychodzi $\frac{-2}{1}$, ujemne. Dla x = 3 wychodzi $\frac{1}{4}$, dodatnie. Dwójka należy do rozwiązania (ułamek jest tam równy zeru), minus jeden nie, bo jest miejscem zerowym mianownika. Całe rozwiązanie to więc

$$x\in (-\mathrm{\infty },-1)\cup ⟨2,\mathrm{\infty }).$$

Że mnożenie przez mianownik naprawdę coś nam zabrało, sprawdzimy, podstawiając x = −2 do wyjściowej nierówności: $\frac{-5}{-1}=5$, a pięć jest większe od jedynki. Zgadza się.