Çarpım ve Bölüm Biçimindeki Eşitsizlikler

Birkaç sayının çarpımı, içinde sıfır yoksa ve negatif çarpanların sayısı çiftse pozitiftir. Eksi çarpı eksi artıdır; bu yüzden negatif çarpanlar ikişer ikişer birbirini götürür. Geriye bir tane kalırsa, yani negatif çarpanların sayısı tek ise, çarpımın tamamı negatiftir. Bir tarafında çarpım ya da bölüm, öbür tarafında sıfır bulunan bütün eşitsizliklerin çözümü bu basit fikre dayanır.

İkinci dereceden eşitsizlikler yazısını okuduysan (x − 1)(x + 3) > 0 eşitsizliğini zaten çözebilirsin: 1 ve −3 köklerini bulur, ifadenin nerede pozitif olduğuna bakarsın. Şimdi aynı yolun yalnızca iki çarpan için değil, istediğimiz sayıda çarpan için de işe yaradığını göreceksin.

Sıfır Noktaları Yöntemi

Şu eşitsizlikle başlayalım:

$$(x+2)(x-1)(x-3)>0.$$

Parantezleri açmayacağız; çarpsaydık üçüncü dereceden bir polinom elde ederdik ve onunla çalışmak çok daha zordur. Çarpanlarına ayrılmış biçim ise başımıza gelebilecek en iyi şeydir.

Önce sıfır noktalarını buluruz; yani çarpanlardan birinin sıfıra eşit olduğu sayıları. Her parantezi ayrı ayrı sıfıra eşitleriz:

$$\begin{array}{rcl}x+2& =& 0\Rightarrow x=-2\\ x-1& =& 0\Rightarrow x=1\\ x-3& =& 0\Rightarrow x=3\end{array}$$

Sıfır noktaları sayı doğrusunu dört aralığa böler: (−∞, −2), (−2, 1), (1, 3) ve (3, ∞). Bu aralıkların her birinin içinde hiçbir parantez sıfırdan geçmez, dolayısıyla işaret de değiştirmez. O hâlde her aralıktan bir sayı seçip parantezlerin işaretlerine bakmak yeter.

• (−∞, −2) aralığından örneğin x = −3 değerini deneyelim. Üç parantez de negatiftir: (−1) · (−4) · (−6). Üç negatif çarpan tek sayıdır, bu yüzden çarpım negatif çıkar.
• (−2, 1) aralığında sıfırı yerine yazarız: 2 · (−1) · (−3). İki negatif çarpan var, çarpım pozitiftir.
• (1, 3) aralığında 2 işimizi görür: 4 · 1 · (−1). Bir negatif çarpan var, çarpım negatiftir.
• (3, ∞) aralığında 10’u deneriz: bütün parantezler pozitiftir, dolayısıyla çarpım da pozitiftir.

İşaret tablosu bunu bir bakışta gösterir. Her satırda bir parantez, en altta çarpımın tamamı yer alır; çarpımın pozitif olduğu aralıklar kırmızıyla çizilmiştir:

Çarpımın sıfırdan büyük olduğu yerleri arıyoruz. Sıfır noktalarının kendisi çözüme girmez, çünkü orada çarpım sıfıra eşittir ve sıfır sıfırdan büyük değildir. Çözüm şudur:

$$x\in (-2,1)\cup (3,\mathrm{\infty }).$$

Doğrulama: x = 4 için 6 · 3 · 1 = 18 çıkar ve bu gerçekten pozitif bir sayıdır.

Aynı sonuç y = (x + 2)(x − 1)(x − 3) fonksiyonunun grafiğinde de görülür. Grafik x eksenini tam olarak sıfır noktalarında keser ve iki komşu nokta arasında ya tamamen eksenin üstünde ya da tamamen altında kalır. Eksenin üstünde olduğu yerlerde çarpım pozitiftir ve bu kısımlar kırmızıdır:

İşaretler Dönüşümlü Olmak Zorunda Değil

Önceki örnekte işaretler düzenli olarak dönüşümlü gelmişti: eksi, artı, eksi, artı. Bu durum insanı işareti yalnızca bir aralıkta bulup geri kalanlarda otomatik olarak değiştirmeye özendirir. Bunu yapmasan iyi olur. Şu eşitsizliğe bak:

$$(x-1{)}^2(x+2)\ge 0.$$

Sıfır noktaları 1 ve −2’dir, yani üç aralığımız var. Her birinden bir sayı deneyelim:

• x = −3: (−4)² · (−1) = 16 · (−1) = −16, negatif,
• x = 0: (−1)² · 2 = 2, pozitif,
• x = 2: 1² · 4 = 4, pozitif.

1’den geçerken işaret değişmedi. Bunun nedeni karedir: (x − 1)² bir ikinci kuvvettir ve ikinci kuvvet, içinde ne olursa olsun, her zaman pozitiftir ya da sıfırdır. Bu yüzden çift kuvvetli bir çarpan çarpımın işaretini asla tersine çevirmez. İşaretleri yalnızca dönüşümlü yazsaydık son aralıkta eksi bulurduk ve çözümün hatırı sayılır bir kısmını kaçırırdık.

İfade demek ki (−2, 1) ve (1, ∞) aralıklarında pozitiftir. Ancak eşitsizlik “büyük eşit” diyor, bu yüzden ifadenin sıfır olduğu noktaları da ekleriz. Bunlar −2 ve 1 olmak üzere iki sıfır noktasıdır. Böylece 1 de eşitlik sayesinde çözüme girer ve iki aralık tek bir aralık olarak birleşir:

$$x\in [-2,\mathrm{\infty }).$$

Kesin eşitsizliğe dikkat et: (x − 1)²(x + 2) > 0 için 1 çözüme girmezdi ve (−2, 1) ∪ (1, ∞) çıkardı; yani delikli bir aralık.

Bölüm Biçimi

Kesirle de tamamen aynı şekilde davranılır, çünkü bir bölümün işareti çarpımın işaretiyle aynıdır: pay ile payda aynı işaretliyse bölüm pozitiftir. Şu eşitsizliği çözelim:

$$\frac{x+2}{x-4}\le 0.$$

Sıfır noktalarını hem pay hem de paydada ararız: x = −2 ve x = 4. Her aralıktan bir sayı yerine yazarız:

• x = −3: $\frac{-1}{-7}$, pozitif,
• x = 0: $\frac{2}{-4}$, negatif,
• x = 5: $\frac{7}{1}$, pozitif.

Negatif değerleri ya da sıfırı arıyoruz. Kesir (−2, 4) aralığında negatiftir. Pay sıfır olduğunda, yani x = −2 için kesir sıfır çıkar ve bu değer çözüme girer. Ama 4, eşitsizlikte hangi işaret olursa olsun asla çözüme girmez. x = 4 için paydada sıfır olurdu ve sıfıra bölme yapılamaz. Bu yüzden paydanın sıfır noktalarını her zaman çözümden çıkarırız.

Şekilde bunu halkalardan anlarsın. −2’deki içi dolu halka sayının çözüme girdiği anlamına gelir, 4’teki içi boş halka ise girmediği anlamına. Sonuç şöyledir:

$$x\in [-2,4).$$

Paydayla Sakın Çarpma

Sıfır noktaları yöntemi ancak eşitsizliğin bir tarafında sıfır varsa işe yarar. Şu eşitsizliği ele alalım:

$$\frac{2x-1}{x+1}\ge 1.$$

Bunu x + 1 paydasıyla çarpıp 2x − 1 ≥ x + 1 elde etmek ve buradan x ≥ 2 bulmak çok caziptir. Ama x + 1’in pozitif mi negatif mi olduğunu bilmiyoruz ve negatif bir sayıyla çarparken eşitsizliğin yönü değişirdi. Bu yüzden bu bir denk işlem değildi ve çözümün bir kısmı kayboldu. Bu konuyu birinci dereceden eşitsizlikler yazısında daha ayrıntılı okuyabilirsin.

Doğrusu her şeyi bir tarafa toplamaktır:

$$\frac{2x-1}{x+1}-1\ge 0$$

1’i aynı paydalı bir kesir olarak yazarız:

$$\frac{2x-1}{x+1}-\frac{x+1}{x+1}\ge 0$$

Ve kesirleri çıkarırız:

$$\frac{x-2}{x+1}\ge 0$$

Sıfır noktaları 2 ve −1’dir. x = −2 için $\frac{-4}{-1}=4$ çıkar, pozitif. x = 0 için $\frac{-2}{1}$ çıkar, negatif. x = 3 için $\frac{1}{4}$ çıkar, pozitif. 2 çözüme girer (kesir orada sıfıra eşittir), eksi bir ise girmez, çünkü paydanın sıfır noktasıdır. Çözümün tamamı demek ki şudur:

$$x\in (-\mathrm{\infty },-1)\cup [2,\mathrm{\infty }).$$

Paydayla çarpmanın bize gerçekten bir şey kaybettirdiğini, x = −2 değerini ilk eşitsizlikte yerine yazarak doğrulayalım: $\frac{-5}{-1}=5$ ve 5, 1’den büyüktür. Uyuyor.