Olikheter i produktform och kvotform

En produkt av flera tal är positiv när ingen faktor är noll och antalet negativa faktorer är jämnt. Minus gånger minus blir plus, så de negativa faktorerna tar ut varandra två och två. Blir det en faktor över är hela produkten negativ. På den enkla tanken bygger lösningen av alla olikheter som har en produkt eller en kvot i ena ledet och noll i det andra.

Om du har läst artikeln om andragradsolikheter kan du redan lösa olikheten (x − 1)(x + 3) > 0: du hittar lösningarna 1 och −3 och tittar på var uttrycket är positivt. Nu får du se att samma metod fungerar med hur många faktorer som helst, inte bara två.

Nollställesmetoden

Vi börjar med den här olikheten:

$$(x+2)(x-1)(x-3)>0.$$

Vi tänker inte multiplicera ihop parenteserna, då skulle vi få ett tredjegradspolynom, och det är mycket svårare att arbeta med. Faktorform är tvärtom det bästa som kunde hända oss.

Först hittar vi nollställena, alltså de tal där någon faktor är lika med noll. Vi sätter varje parentes för sig lika med noll:

$$\begin{array}{rcl}x+2& =& 0\Rightarrow x=-2\\ x-1& =& 0\Rightarrow x=1\\ x-3& =& 0\Rightarrow x=3\end{array}$$

Nollställena delar upp tallinjen i fyra intervall: ]−∞, −2[, ]−2, 1[, ]1, 3[ och ]3, +∞[. Inom vart och ett av dem passerar ingen parentes noll, och därför byter ingen heller tecken. Det räcker alltså att välja ett tal i varje intervall och se vilka tecken parenteserna har.

• Från intervallet ]−∞, −2[ prövar vi till exempel x = −3. Alla tre parenteser är negativa: (−1) · (−4) · (−6). Tre negativa faktorer är ett udda antal, så produkten blir negativ.
• Från intervallet ]−2, 1[ sätter vi in noll: 2 · (−1) · (−3). Två negativa faktorer, produkten är positiv.
• Från intervallet ]1, 3[ duger tvåan: 4 · 1 · (−1). En negativ faktor, produkten är negativ.
• Från intervallet ]3, +∞[ prövar vi tio: alla parenteser är positiva, och därmed också produkten.

Tecknen visas överskådligt i en teckentabell. Varje rad är en parentes, längst ner står hela produkten, och de intervall där den är positiv är markerade med rött:

Vi söker när produkten är större än noll. Själva nollställena hör inte till lösningen, eftersom produkten är lika med noll där och noll inte är större än noll. Lösningen är

$$x\in ]-2,1[\cup ]3,+\mathrm{\infty }[.$$

Kontroll: för x = 4 får vi 6 · 3 · 1 = 18, och det är verkligen ett positivt tal.

Samma resultat syns också på grafen till funktionen y = (x + 2)(x − 1)(x − 3). Grafen skär x-axeln precis i nollställena, och mellan två intilliggande ligger den helt ovanför axeln eller helt under den. Där den ligger ovanför axeln är produkten positiv, och de delarna är röda:

Tecknen behöver inte alternera

I det förra exemplet alternerade tecknen regelbundet: minus, plus, minus, plus. Det är frestande att bestämma tecknet i bara ett intervall och sedan automatiskt byta tecken i resten. Gör inte så. Titta på olikheten

$$(x-1{)}^2(x+2)\ge 0.$$

Nollställena är 1 och −2, och vi har tre intervall. Vi prövar ett tal i varje:

• x = −3: (−4)² · (−1) = 16 · (−1) = −16, negativt,
• x = 0: (−1)² · 2 = 2, positivt,
• x = 2: 1² · 4 = 4, positivt.

När vi passerade ettan ändrades tecknet inte. Det beror på exponenten två: (x − 1)² är en kvadrat, och den är alltid positiv eller noll, oavsett vad som står innanför. En faktor med jämn exponent vänder därför aldrig produktens tecken. Om vi bara hade alternerat tecknen skulle vi ha fått minus i det sista intervallet och missat en stor del av lösningen.

Uttrycket är alltså positivt på ]−2, 1[ och på ]1, +∞[. Olikheten säger dock ”större än eller lika med”, så vi tar också med punkterna där uttrycket är lika med noll. Det är båda nollställena, −2 och 1. Ettan hör alltså till lösningen på grund av likheten, och de två intervallen slås ihop till ett:

$$x\in [-2,+\mathrm{\infty }[.$$

Se upp med den strikta olikheten: för (x − 1)²(x + 2) > 0 skulle ettan inte höra till lösningen, och vi skulle få ]−2, 1[ ∪ ]1, +∞[, alltså ett intervall med ett hål.

Kvotform

Med ett bråk går det till precis likadant, eftersom en kvot har samma tecken som en produkt: den är positiv om täljaren och nämnaren har samma tecken. Vi löser olikheten

$$\frac{x+2}{x-4}\le 0.$$

Nollställena hittar vi i både täljaren och nämnaren: x = −2 och x = 4. Vi sätter in ett tal från varje intervall:

• x = −3: $\frac{-1}{-7}$, positivt,
• x = 0: $\frac{2}{-4}$, negativt,
• x = 5: $\frac{7}{1}$, positivt.

Vi söker negativa värden eller noll. Bråket är negativt på intervallet ]−2, 4[. Noll får vi när täljaren är noll, alltså för x = −2, och det hör till lösningen. Fyra hör däremot aldrig till lösningen, vilket olikhetstecken som än står där. För x = 4 skulle det stå noll i nämnaren, och det går inte att dividera med noll. Nämnarens nollställen utesluter vi därför alltid.

På bilden ser du det på ringarna. En fylld ring vid −2 betyder att talet hör till lösningen, en tom ring vid fyra att det inte gör det. Lösningen lyder

$$x\in [-2,4[.$$

Multiplicera inte med nämnaren

Nollställesmetoden fungerar bara när det står noll i ena ledet av olikheten. Ta olikheten

$$\frac{2x-1}{x+1}\ge 1.$$

Det är väldigt frestande att multiplicera den med nämnaren x + 1, få 2x − 1 ≥ x + 1 och därav x ≥ 2. Men vi vet inte om x + 1 är positivt eller negativt, och vid multiplikation med ett negativt tal skulle olikhetstecknet vändas. Därför var det ingen ekvivalent omformning, och en del av lösningen försvann. Mer om det kan du läsa i artikeln om linjära olikheter.

Rätt är att flytta allt till ena sidan:

$$\frac{2x-1}{x+1}-1\ge 0$$

Ettan skriver vi som ett bråk med samma nämnare:

$$\frac{2x-1}{x+1}-\frac{x+1}{x+1}\ge 0$$

Och subtraherar bråken:

$$\frac{x-2}{x+1}\ge 0$$

Nollställena är 2 och −1. För x = −2 får vi $\frac{-4}{-1}=4$, positivt. För x = 0 får vi $\frac{-2}{1}$, negativt. För x = 3 får vi $\frac{1}{4}$, positivt. Tvåan hör till lösningen (bråket är lika med noll där), minus ett gör det inte, eftersom det är ett nollställe till nämnaren. Hela lösningen är alltså

$$x\in ]-\mathrm{\infty },-1[\cup [2,+\mathrm{\infty }[.$$

Att multiplikationen med nämnaren verkligen tog bort något från lösningen kontrollerar vi genom att sätta in x = −2 i den ursprungliga olikheten: $\frac{-5}{-1}=5$, och fem är större än ett. Det stämmer.