Inecuaciones en forma de producto y de cociente

Un producto de varios números es positivo cuando no contiene ningún cero y el número de factores negativos es par. Menos por menos es más, así que los factores negativos se anulan de dos en dos. Si sobra uno, es decir, si hay un número impar de ellos, todo el producto es negativo. En esta idea tan sencilla se apoya la resolución de todas las inecuaciones que tienen en un miembro un producto o un cociente y en el otro un cero.

Si has leído el artículo sobre las inecuaciones de segundo grado, ya sabes resolver la inecuación (x − 1)(x + 3) > 0: calculas las raíces 1 y −3 y miras dónde es positiva la expresión. Ahora verás que el mismo procedimiento sirve para cualquier número de factores, no solo para dos.

Método de los ceros

Empecemos por esta inecuación:

$$(x+2)(x-1)(x-3)>0.$$

No vamos a multiplicar los paréntesis: obtendríamos un polinomio de tercer grado, con el que se trabaja mucho peor. La forma factorizada es, al contrario, lo mejor que nos podía pasar.

Primero buscamos los ceros, es decir, los números en los que algún factor vale cero. Igualamos a cero cada paréntesis por separado:

$$\begin{array}{rcl}x+2& =& 0\Rightarrow x=-2\\ x-1& =& 0\Rightarrow x=1\\ x-3& =& 0\Rightarrow x=3\end{array}$$

Los ceros dividen la recta real en cuatro intervalos: (−∞, −2), (−2, 1), (1, 3) y (3, +∞). Dentro de cada uno de ellos ningún paréntesis pasa por el cero y, por tanto, tampoco cambia de signo. Basta, pues, elegir un número de cada intervalo y ver qué signo tiene cada paréntesis.

• En el intervalo (−∞, −2) probamos, por ejemplo, x = −3. Los tres paréntesis son negativos: (−1) · (−4) · (−6). Tres factores negativos son un número impar, así que el producto sale negativo.
• En el intervalo (−2, 1) sustituimos el cero: 2 · (−1) · (−3). Dos factores negativos, el producto es positivo.
• En el intervalo (1, 3) nos sirve el dos: 4 · 1 · (−1). Un factor negativo, el producto es negativo.
• En el intervalo (3, +∞) probamos el diez: todos los paréntesis son positivos y, por tanto, también el producto.

La tabla de signos lo muestra de un vistazo. Cada fila corresponde a un paréntesis, abajo está el producto completo y en rojo los intervalos donde es positivo:

Buscamos cuándo el producto es mayor que cero. Los propios ceros no forman parte de la solución, porque en ellos el producto vale cero y cero no es mayor que cero. La solución es

$$x\in (-2,1)\cup (3,+\mathrm{\infty }).$$

Comprobación: para x = 4 sale 6 · 3 · 1 = 18, que efectivamente es un número positivo.

El mismo resultado se ve también en la gráfica de la función y = (x + 2)(x − 1)(x − 3). La gráfica corta el eje x justo en los ceros, y entre dos vecinos queda entera por encima o entera por debajo del eje. Donde está por encima del eje, el producto es positivo, y esas partes están en rojo:

Los signos no tienen por qué alternarse

En el ejemplo anterior los signos se alternaban con regularidad: menos, más, menos, más. Esto invita a averiguar el signo en un solo intervalo y en los demás ir cambiándolo automáticamente. Mejor no lo hagas así. Fíjate en la inecuación

$$(x-1{)}^2(x+2)\ge 0.$$

Los ceros son 1 y −2, así que tenemos tres intervalos. Probamos un número de cada uno:

• x = −3: (−4)² · (−1) = 16 · (−1) = −16, negativo,
• x = 0: (−1)² · 2 = 2, positivo,
• x = 2: 1² · 4 = 4, positivo.

Al pasar por el uno el signo no ha cambiado. Se debe al cuadrado: (x − 1)² es un cuadrado, y un cuadrado siempre es positivo o nulo, sea lo que sea lo que haya dentro. Por eso un factor con exponente par nunca invierte el signo del producto. Si nos limitáramos a alternar los signos, en el último intervalo nos saldría un menos y perderíamos buena parte de la solución.

La expresión es, pues, positiva en (−2, 1) y en (1, +∞). Pero la inecuación dice «mayor o igual», así que añadimos también los puntos donde la expresión vale cero. Son los dos ceros, −2 y 1. El uno pertenece a la solución gracias a la igualdad y los dos intervalos se unen en uno:

$$x\in [-2,+\mathrm{\infty }).$$

Cuidado con la desigualdad estricta: en (x − 1)²(x + 2) > 0 el uno no pertenecería a la solución y saldría (−2, 1) ∪ (1, +∞), es decir, un intervalo con un agujero.

Forma de cociente

Con una fracción se procede exactamente igual, porque un cociente tiene el mismo signo que un producto: es positivo si el numerador y el denominador tienen el mismo signo. Resolvamos la inecuación

$$\frac{x+2}{x-4}\le 0.$$

Los ceros se buscan tanto en el numerador como en el denominador: x = −2 y x = 4. Sustituimos un número de cada intervalo:

• x = −3: $\frac{-1}{-7}$, positivo,
• x = 0: $\frac{2}{-4}$, negativo,
• x = 5: $\frac{7}{1}$, positivo.

Buscamos los valores negativos o el cero. La fracción es negativa en el intervalo (−2, 4). Vale cero cuando se anula el numerador, es decir, para x = −2, y ese valor sí pertenece a la solución. Pero el cuatro nunca pertenece a ella, sea cual sea el signo de la inecuación. Para x = 4 el denominador sería cero y no se puede dividir entre cero. Por eso los ceros del denominador siempre se excluyen.

En la figura lo reconocerás por los círculos. El círculo relleno en −2 significa que el número pertenece a la solución; el vacío en el cuatro, que no. El resultado es

$$x\in [-2,4).$$

No multipliques por el denominador

El método de los ceros solo funciona cuando en uno de los miembros de la inecuación hay un cero. Tomemos la inecuación

$$\frac{2x-1}{x+1}\ge 1.$$

Es muy tentador multiplicarla por el denominador x + 1, obtener 2x − 1 ≥ x + 1 y de ahí x ≥ 2. Pero no sabemos si x + 1 es positivo o negativo, y al multiplicar por un número negativo cambiaría el sentido de la desigualdad. Por eso no era una transformación equivalente y una parte de la solución ha desaparecido. Puedes leer más sobre esto en el artículo sobre las inecuaciones de primer grado.

Lo correcto es pasar todo a un miembro:

$$\frac{2x-1}{x+1}-1\ge 0$$

Escribimos el uno como una fracción con el mismo denominador:

$$\frac{2x-1}{x+1}-\frac{x+1}{x+1}\ge 0$$

Y restamos las fracciones:

$$\frac{x-2}{x+1}\ge 0$$

Los ceros son 2 y −1. Para x = −2 sale $\frac{-4}{-1}=4$, positivo. Para x = 0 sale $\frac{-2}{1}$, negativo. Para x = 3 sale $\frac{1}{4}$, positivo. El dos pertenece a la solución (ahí la fracción vale cero); el menos uno no, porque es un cero del denominador. La solución completa es, por tanto,

$$x\in (-\mathrm{\infty },-1)\cup [2,+\mathrm{\infty }).$$

Comprobemos que la multiplicación por el denominador nos ha quitado realmente algo sustituyendo x = −2 en la inecuación original: $\frac{-5}{-1}=5$ y cinco es mayor que uno. Cuadra.