Ongelijkheden in productvorm en quotiëntvorm

Een product van meerdere getallen is positief als er geen nul in staat en het aantal negatieve factoren even is. Min keer min is plus, dus de negatieve factoren vallen twee aan twee tegen elkaar weg. Blijft er een oneven aantal over, dan is het hele product negatief. Op dit eenvoudige idee berust de oplossing van alle ongelijkheden die aan de ene kant een product of quotiënt hebben en aan de andere kant nul.

Als je het artikel over kwadratische ongelijkheden hebt gelezen, kun je de ongelijkheid (x − 1)(x + 3) > 0 al oplossen: je zoekt de oplossingen 1 en −3 en kijkt waar de uitdrukking positief is. Nu zie je dat dezelfde werkwijze ook werkt bij een willekeurig aantal factoren, niet alleen bij twee.

De nulpuntenmethode

We beginnen met deze ongelijkheid:

$$(x+2)(x-1)(x-3)>0.$$

De haakjes werken we niet uit, dan zouden we een derdegraadsveelterm krijgen en daarmee is het veel lastiger werken. De productvorm is juist het beste wat ons kon overkomen.

Eerst zoeken we de nulpunten, dus de getallen waarvoor een van de factoren gelijk is aan nul. Elk haakje apart stellen we gelijk aan nul:

$$\begin{array}{rcl}x+2& =& 0\Rightarrow x=-2\\ x-1& =& 0\Rightarrow x=1\\ x-3& =& 0\Rightarrow x=3\end{array}$$

De nulpunten verdelen de getallenlijn in vier intervallen: ⟨ ← , −2⟩, ⟨ − 2, 1⟩, ⟨1, 3⟩ en ⟨3, → ⟩. Binnen elk daarvan gaat geen enkel haakje door nul en dus verandert ook niets van teken. Het volstaat dus om uit elk interval één getal te kiezen en te kijken welke tekens de afzonderlijke haakjes hebben.

• Uit het interval ⟨ ← , −2⟩ proberen we bijvoorbeeld x = −3. Alle drie de haakjes zijn negatief: (−1) · (−4) · (−6). Drie negatieve factoren is een oneven aantal, dus het product is negatief.
• Uit het interval ⟨ − 2, 1⟩ vullen we nul in: 2 · (−1) · (−3). Twee negatieve factoren, het product is positief.
• Uit het interval ⟨1, 3⟩ komt twee goed uit: 4 · 1 · (−1). Eén negatieve factor, het product is negatief.
• Uit het interval ⟨3, → ⟩ proberen we tien: alle haakjes zijn positief en dus ook het product.

Het tekenschema laat dat overzichtelijk zien. In elke rij staat één haakje, onderaan het hele product en in het rood de intervallen waarop het positief is:

We zoeken wanneer het product groter is dan nul. De nulpunten zelf horen niet bij de oplossing, want daarin is het product gelijk aan nul en nul is niet groter dan nul. De oplossing is

$$x\in ⟨-2,1⟩\cup ⟨3,\to ⟩.$$

Controle: voor x = 4 krijgen we 6 · 3 · 1 = 18, en dat is inderdaad een positief getal.

Hetzelfde resultaat zie je ook op de grafiek van de functie y = (x + 2)(x − 1)(x − 3). De grafiek snijdt de x-as precies in de nulpunten en tussen twee naburige nulpunten ligt hij helemaal boven de as of helemaal eronder. Waar hij boven de as ligt, is het product positief, en die delen zijn rood:

De tekens hoeven niet af te wisselen

In het vorige voorbeeld wisselden de tekens regelmatig af: min, plus, min, plus. Dat verleidt ertoe om het teken maar in één interval te bepalen en het in de rest dan automatisch om te wisselen. Doe dat liever niet. Kijk naar de ongelijkheid

$$(x-1{)}^2(x+2)\ge 0.$$

De nulpunten zijn 1 en −2, we hebben drie intervallen. We proberen telkens één getal:

• x = −3: (−4)² · (−1) = 16 · (−1) = −16, negatief,
• x = 0: (−1)² · 2 = 2, positief,
• x = 2: 1² · 4 = 4, positief.

Bij het passeren van de één is het teken niet veranderd. Dat komt door het kwadraat: (x − 1)² is een kwadraat, en dat is altijd positief of nul, wat er ook binnen staat. Een factor met een even macht draait het teken van het product dus nooit om. Als we de tekens alleen maar zouden afwisselen, zouden we in het laatste interval min krijgen en zouden we een flink stuk van de oplossing missen.

De uitdrukking is dus positief op ⟨ − 2, 1⟩ en op ⟨1, → ⟩. Maar de ongelijkheid zegt “groter dan of gelijk aan”, dus nemen we ook de punten erbij waar de uitdrukking gelijk is aan nul. Dat zijn beide nulpunten, −2 en 1. De één hoort dus bij de oplossing dankzij de gelijkheid en twee intervallen smelten samen tot één:

$$x\in [-2,\to ⟩.$$

Let op bij een strikte ongelijkheid: bij (x − 1)²(x + 2) > 0 zou de één niet bij de oplossing horen en zou er ⟨ − 2, 1⟩ ∪ ⟨1, → ⟩ uitkomen, dus een interval met een gat.

Quotiëntvorm

Met een breuk ga je precies hetzelfde te werk, want een quotiënt heeft hetzelfde teken als een product: het is positief als de teller en de noemer hetzelfde teken hebben. We lossen de ongelijkheid op

$$\frac{x+2}{x-4}\le 0.$$

De nulpunten vinden we in de teller en in de noemer: x = −2 en x = 4. We vullen uit elk interval één getal in:

• x = −3: $\frac{-1}{-7}$, positief,
• x = 0: $\frac{2}{-4}$, negatief,
• x = 5: $\frac{7}{1}$, positief.

We zoeken negatieve waarden of nul. Negatief is de breuk op het interval ⟨ − 2, 4⟩. Nul krijgen we als de teller nul is, dus voor x = −2, en dat hoort bij de oplossing. De vier hoort daar echter nooit bij, welk teken er ook in de ongelijkheid staat. Voor x = 4 zou er in de noemer nul staan en door nul delen kan niet. De nulpunten van de noemer sluiten we daarom altijd uit.

Op de figuur zie je dat aan de bolletjes. Een gevuld bolletje bij −2 betekent dat het getal bij de oplossing hoort, een open bolletje bij vier dat het er niet bij hoort. De oplossing luidt

$$x\in [-2,4⟩.$$

Vermenigvuldig niet met de noemer

De nulpuntenmethode werkt alleen als aan een kant van de ongelijkheid nul staat. Neem de ongelijkheid

$$\frac{2x-1}{x+1}\ge 1.$$

Het is enorm verleidelijk om haar met de noemer x + 1 te vermenigvuldigen, 2x − 1 ≥ x + 1 te krijgen en daaruit x ≥ 2. Maar we weten niet of x + 1 positief of negatief is, en bij vermenigvuldigen met een negatief getal zou het ongelijkheidsteken omdraaien. Dat was dus geen equivalente bewerking en een deel van de oplossing is verdwenen. Meer hierover lees je in het artikel over lineaire ongelijkheden.

Goed is om alles naar één kant te brengen:

$$\frac{2x-1}{x+1}-1\ge 0$$

De één schrijven we op als een breuk met dezelfde noemer:

$$\frac{2x-1}{x+1}-\frac{x+1}{x+1}\ge 0$$

En we trekken de breuken af:

$$\frac{x-2}{x+1}\ge 0$$

De nulpunten zijn 2 en −1. Voor x = −2 krijgen we $\frac{-4}{-1}=4$, positief. Voor x = 0 krijgen we $\frac{-2}{1}$, negatief. Voor x = 3 krijgen we $\frac{1}{4}$, positief. De twee hoort bij de oplossing (de breuk is daar gelijk aan nul), min één niet, omdat dat een nulpunt van de noemer is. De hele oplossing is dus

$$x\in ⟨\leftarrow ,-1⟩\cup [2,\to ⟩.$$

Dat vermenigvuldigen met de noemer ons echt iets heeft afgenomen, controleren we door x = −2 in de oorspronkelijke ongelijkheid in te vullen: $\frac{-5}{-1}=5$ en vijf is groter dan één. Het klopt.