Tulo- ja osamäärämuotoiset epäyhtälöt

Usean luvun tulo on positiivinen, kun siinä ei ole nollaa ja negatiivisia tekijöitä on parillinen määrä. Miinus kertaa miinus on plus, joten negatiiviset tekijät kumoutuvat pareittain. Jos niitä jää jäljelle pariton määrä, koko tulo on negatiivinen. Tähän yksinkertaiseen ajatukseen perustuu kaikkien sellaisten epäyhtälöiden ratkaiseminen, joiden toisella puolella on tulo tai osamäärä ja toisella nolla.

Jos olet lukenut artikkelin toisen asteen epäyhtälöistä, osaat jo ratkaista epäyhtälön (x − 1)(x + 3) > 0: etsit juuret 1 ja −3 ja katsot, missä lauseke on positiivinen. Nyt näet, että sama menetelmä toimii kuinka monelle tekijälle tahansa, ei vain kahdelle.

Nollakohtien menetelmä

Aloitetaan tästä epäyhtälöstä:

$$(x+2)(x-1)(x-3)>0.$$

Sulkeita ei kerrota auki, sillä saataisiin kolmannen asteen polynomi, jonka kanssa on paljon hankalampi työskennellä. Tulomuoto on päinvastoin paras mahdollinen tilanne.

Etsitään ensin nollakohdat, eli luvut, joilla jokin tekijä on nolla. Jokainen sulku asetetaan erikseen nollaksi:

$$\begin{array}{rcl}x+2& =& 0\Rightarrow x=-2\\ x-1& =& 0\Rightarrow x=1\\ x-3& =& 0\Rightarrow x=3\end{array}$$

Nollakohdat jakavat lukusuoran neljään väliin: ]−∞, −2[, ]−2, 1[, ]1, 3[ ja ]3, ∞[. Minkään välin sisällä yksikään sulku ei mene nollan kautta, joten sen merkkikään ei muutu. Riittää siis valita jokaiselta väliltä yksi luku ja selvittää, minkä merkkisiä sulut ovat.

• Väliltä ]−∞, −2[ kokeillaan vaikka x = −3. Kaikki kolme sulkua ovat negatiivisia: (−1) · (−4) · (−6). Kolme negatiivista tekijää on pariton määrä, joten tulo on negatiivinen.
• Väliltä ]−2, 1[ sijoitetaan nolla: 2 · (−1) · (−3). Kaksi negatiivista tekijää, tulo on positiivinen.
• Väliltä ]1, 3[ käy kakkonen: 4 · 1 · (−1). Yksi negatiivinen tekijä, tulo on negatiivinen.
• Väliltä ]3, ∞[ kokeillaan kymmentä: kaikki sulut ovat positiivisia, joten myös tulo on.

Selkeästi tämä näkyy merkkikaaviosta. Jokaisella rivillä on yksi sulku, alimmalla koko tulo, ja punaisella on merkitty välit, joilla tulo on positiivinen:

Etsitään, milloin tulo on suurempi kuin nolla. Itse nollakohdat eivät kuulu ratkaisuun, koska niissä tulo on nolla, eikä nolla ole suurempi kuin nolla. Ratkaisu on

$$x\in ]-2,1[\cup ]3,\mathrm{\infty }[.$$

Tarkistus: kun x = 4, saadaan 6 · 3 · 1 = 18, ja se on todella positiivinen luku.

Sama tulos nähdään myös funktion y = (x + 2)(x − 1)(x − 3) kuvaajasta. Kuvaaja leikkaa x-akselin täsmälleen nollakohdissa, ja kahden vierekkäisen nollakohdan välillä se on kokonaan akselin yläpuolella tai kokonaan sen alapuolella. Missä kuvaaja on akselin yläpuolella, tulo on positiivinen, ja nämä osat ovat punaisella:

Merkkien ei tarvitse vaihdella

Edellisessä esimerkissä merkit vaihtelivat säännöllisesti: miinus, plus, miinus, plus. Se houkuttelee selvittämään merkin vain yhdellä välillä ja vaihtamaan sitä sitten automaattisesti muilla. Näin ei kannata tehdä. Katso epäyhtälöä

$$(x-1{)}^2(x+2)\ge 0.$$

Nollakohdat ovat 1 ja −2, ja välejä on kolme. Kokeillaan yhtä lukua kultakin väliltä:

• x = −3: (−4)² · (−1) = 16 · (−1) = −16, negatiivinen,
• x = 0: (−1)² · 2 = 2, positiivinen,
• x = 2: 1² · 4 = 4, positiivinen.

Ykkösen kohdalla merkki ei muuttunut. Syynä on toinen potenssi: (x − 1)² on neliö, ja se on aina positiivinen tai nolla, olipa sisällä mitä tahansa. Parillisen potenssin tekijä ei siis koskaan käännä tulon merkkiä. Jos merkkejä vain vuoroteltaisiin, viimeiselle välille tulisi miinus, ja ratkaisusta menetettäisiin iso osa.

Lauseke on siis positiivinen väleillä ]−2, 1[ ja ]1, ∞[. Epäyhtälö kuitenkin sanoo ”suurempi tai yhtä suuri”, joten mukaan otetaan myös pisteet, joissa lauseke on nolla. Ne ovat molemmat nollakohdat, sekä −2 että 1. Ykkönen kuuluu siis ratkaisuun yhtäsuuruuden ansiosta, ja kaksi väliä sulautuu yhdeksi:

$$x\in [-2,\mathrm{\infty }[.$$

Varo aitoa epäyhtälöä: epäyhtälössä (x − 1)²(x + 2) > 0 ykkönen ei kuuluisi ratkaisuun, ja tulos olisi ]−2, 1[ ∪ ]1, ∞[, eli väli, jossa on reikä.

Osamäärämuoto

Murtolukua käsitellään täsmälleen samoin, koska osamäärällä on sama merkki kuin tulolla: se on positiivinen, jos osoittajalla ja nimittäjällä on sama merkki. Ratkaistaan epäyhtälö

$$\frac{x+2}{x-4}\le 0.$$

Nollakohdat etsitään sekä osoittajasta että nimittäjästä: x = −2 ja x = 4. Sijoitetaan yksi luku kultakin väliltä:

• x = −3: $\frac{-1}{-7}$, positiivinen,
• x = 0: $\frac{2}{-4}$, negatiivinen,
• x = 5: $\frac{7}{1}$, positiivinen.

Etsitään negatiivisia arvoja tai nollaa. Murtoluku on negatiivinen välillä ]−2, 4[. Nolla saadaan, kun osoittaja on nolla, eli kun x = −2, ja se kuuluu ratkaisuun. Nelonen ei kuitenkaan kuulu koskaan, olipa epäyhtälössä mikä merkki tahansa. Kun x = 4, nimittäjä olisi nolla, eikä nollalla voi jakaa. Nimittäjän nollakohdat jätetään siis aina pois.

Kuvasta sen tunnistaa renkaista. Täytetty rengas kohdassa −2 tarkoittaa, että luku kuuluu ratkaisuun, tyhjä rengas nelosen kohdalla tarkoittaa, että ei kuulu. Tulos on

$$x\in [-2,4[.$$

Älä kerro nimittäjällä

Nollakohtien menetelmä toimii vain, kun epäyhtälön toisella puolella on nolla. Otetaan epäyhtälö

$$\frac{2x-1}{x+1}\ge 1.$$

On kovin houkuttelevaa kertoa se nimittäjällä x + 1, jolloin saadaan 2x − 1 ≥ x + 1 ja siitä x ≥ 2. Mutta ei tiedetä, onko x + 1 positiivinen vai negatiivinen, ja negatiivisella luvulla kerrottaessa epäyhtälömerkki kääntyisi. Siksi tämä ei ollut yhtäpitävä muunnos, ja osa ratkaisusta katosi. Lisää tästä voit lukea artikkelista lineaarisista epäyhtälöistä.

Oikein toimitaan siirtämällä kaikki yhdelle puolelle:

$$\frac{2x-1}{x+1}-1\ge 0$$

Ykkönen kirjoitetaan murtolukuna, jolla on sama nimittäjä:

$$\frac{2x-1}{x+1}-\frac{x+1}{x+1}\ge 0$$

Ja murtoluvut vähennetään:

$$\frac{x-2}{x+1}\ge 0$$

Nollakohdat ovat 2 ja −1. Kun x = −2, saadaan $\frac{-4}{-1}=4$, positiivinen. Kun x = 0, saadaan $\frac{-2}{1}$, negatiivinen. Kun x = 3, saadaan $\frac{1}{4}$, positiivinen. Kakkonen kuuluu ratkaisuun (murtoluku on siinä nolla), miinus yksi ei, koska se on nimittäjän nollakohta. Koko ratkaisu on siis

$$x\in ]-\mathrm{\infty },-1[\cup [2,\mathrm{\infty }[.$$

Sijoittamalla x = −2 alkuperäiseen epäyhtälöön tarkistetaan, että nimittäjällä kertominen todella hävitti osan ratkaisusta: $\frac{-5}{-1}=5$, ja viisi on suurempi kuin yksi. Täsmää.