Inecuații sub formă de produs și de cât

Produsul mai multor numere este pozitiv când niciunul dintre ele nu este zero și numărul factorilor negativi este par. Minus ori minus dă plus, deci factorii negativi se anulează în perechi. Dacă rămâne un număr impar de factori negativi, tot produsul este negativ. Pe această idee simplă se sprijină rezolvarea tuturor inecuațiilor care au de o parte un produs sau un cât, iar de cealaltă parte zero.

Dacă ai citit articolul despre inecuația de gradul al doilea, știi deja să rezolvi inecuația (x − 1)(x + 3) > 0: găsești soluțiile 1 și −3 și te uiți unde expresia este pozitivă. Acum vei vedea că aceeași metodă se descurcă cu orice număr de factori, nu doar cu doi.

Metoda tabelului de semne

Începem cu această inecuație:

$$(x+2)(x-1)(x-3)>0.$$

Parantezele nu le vom desface, căci am obține un polinom de gradul al treilea, cu care se lucrează mult mai greu. Forma de produs este, dimpotrivă, cel mai bun lucru care ni se putea întâmpla.

Mai întâi aflăm zerourile, adică numerele pentru care un factor este egal cu zero. Egalăm fiecare paranteză cu zero, pe rând:

$$\begin{array}{rcl}x+2& =& 0\Rightarrow x=-2\\ x-1& =& 0\Rightarrow x=1\\ x-3& =& 0\Rightarrow x=3\end{array}$$

Zerourile împart axa numerelor în patru intervale: (−∞, −2), (−2, 1), (1, 3) și (3, +∞). În interiorul fiecăruia, nicio paranteză nu trece prin zero și deci nici nu își schimbă semnul. Ajunge așadar să alegem din fiecare interval câte un număr și să vedem ce semn are fiecare paranteză.

• Din intervalul (−∞, −2) încercăm, de exemplu, x = −3. Toate cele trei paranteze sunt negative: (−1) · (−4) · (−6). Trei factori negativi sunt un număr impar, deci produsul iese negativ.
• Din intervalul (−2, 1) înlocuim cu zero: 2 · (−1) · (−3). Doi factori negativi, produsul este pozitiv.
• Din intervalul (1, 3) ne ajută doi: 4 · 1 · (−1). Un factor negativ, produsul este negativ.
• Din intervalul (3, +∞) încercăm zece: toate parantezele sunt pozitive, deci și produsul.

Tabelul de semne arată totul limpede. Pe fiecare rând este o paranteză, jos este întregul produs, iar cu roșu sunt marcate intervalele pe care produsul este pozitiv:

Căutăm când produsul este mai mare decât zero. Zerourile în sine nu aparțin soluției, pentru că în ele produsul este egal cu zero, iar zero nu este mai mare decât zero. Soluția este

$$x\in (-2,1)\cup (3,+\mathrm{\infty }).$$

Verificare: pentru x = 4 obținem 6 · 3 · 1 = 18, și acesta chiar este un număr pozitiv.

Același rezultat se vede și pe graficul funcției y = (x + 2)(x − 1)(x − 3). Graficul intersectează axa x exact în zerouri, iar între două vecine este fie în întregime deasupra axei, fie în întregime sub ea. Acolo unde este deasupra axei, produsul este pozitiv, iar aceste porțiuni sunt roșii:

Semnele nu alternează întotdeauna

În exemplul precedent semnele alternau regulat: minus, plus, minus, plus. Te tentează să afli semnul doar pe un singur interval, iar pe celelalte să îl schimbi automat. Mai bine nu. Uită-te la inecuația

$$(x-1{)}^2(x+2)\ge 0.$$

Zerourile sunt 1 și −2, deci avem trei intervale. Încercăm câte un număr:

• x = −3: (−4)² · (−1) = 16 · (−1) = −16, negativ,
• x = 0: (−1)² · 2 = 2, pozitiv,
• x = 2: 1² · 4 = 4, pozitiv.

La trecerea prin unu, semnul nu s-a schimbat. Motivul este pătratul: (x − 1)² este pătratul unui număr, iar acesta este întotdeauna pozitiv sau zero, indiferent ce se află înăuntru. Un factor cu putere pară nu inversează deci niciodată semnul produsului. Dacă am fi alternat pur și simplu semnele, pe ultimul interval ne-ar fi ieșit minus și am fi pierdut o bucată însemnată din soluție.

Expresia este așadar pozitivă pe (−2, 1) și pe (1, +∞). Inecuația spune însă „mai mare sau egal”, deci adăugăm și punctele în care expresia este egală cu zero. Acestea sunt ambele zerouri, −2 și 1. Unu aparține astfel soluției datorită egalității, iar cele două intervale se contopesc într-unul singur:

$$x\in [-2,+\mathrm{\infty }).$$

Atenție la inegalitatea strictă: pentru (x − 1)²(x + 2) > 0, unu nu ar aparține soluției și am obține (−2, 1) ∪ (1, +∞), adică un interval cu o „gaură”.

Forma de cât

Cu o fracție ne purtăm exact la fel, deoarece câtul are același semn ca produsul: este pozitiv dacă numărătorul și numitorul au același semn. Rezolvăm inecuația

$$\frac{x+2}{x-4}\le 0.$$

Zerourile le aflăm atât la numărător, cât și la numitor: x = −2 și x = 4. Înlocuim cu câte un număr din fiecare interval:

• x = −3: $\frac{-1}{-7}$, pozitiv,
• x = 0: $\frac{2}{-4}$, negativ,
• x = 5: $\frac{7}{1}$, pozitiv.

Căutăm valorile negative sau zero. Fracția este negativă pe intervalul (−2, 4). Zero obținem când numărătorul este zero, adică pentru x = −2, iar această valoare aparține soluției. Patru însă nu aparține niciodată, oricare ar fi semnul din inecuație. Pentru x = 4 numitorul ar fi zero, iar la zero nu se poate împărți. Zerourile numitorului le excludem așadar întotdeauna.

În figură se vede după cerculețe. Cercul plin de la −2 înseamnă că numărul aparține soluției, cel gol de la patru, că nu aparține. Rezultatul este

$$x\in [-2,4).$$

Nu înmulți cu numitorul

Metoda tabelului de semne funcționează doar când de o parte a inecuației se află zero. Să luăm inecuația

$$\frac{2x-1}{x+1}\ge 1.$$

Este foarte tentant să o înmulțim cu numitorul x + 1, să obținem 2x − 1 ≥ x + 1 și de aici x ≥ 2. Numai că nu știm dacă x + 1 este pozitiv sau negativ, iar la înmulțirea cu un număr negativ sensul inegalității s-ar inversa. De aceea nu a fost o transformare echivalentă și o parte din soluție ne-a dispărut. Mai multe despre asta găsești în articolul despre inecuația de gradul întâi.

Corect este să mutăm totul într-o parte:

$$\frac{2x-1}{x+1}-1\ge 0$$

Scriem pe unu ca o fracție cu același numitor:

$$\frac{2x-1}{x+1}-\frac{x+1}{x+1}\ge 0$$

Și scădem fracțiile:

$$\frac{x-2}{x+1}\ge 0$$

Zerourile sunt 2 și −1. Pentru x = −2 obținem $\frac{-4}{-1}=4$, pozitiv. Pentru x = 0 obținem $\frac{-2}{1}$, negativ. Pentru x = 3 obținem $\frac{1}{4}$, pozitiv. Doi aparține soluției (fracția este acolo egală cu zero), minus unu nu, pentru că este zeroul numitorului. Întreaga soluție este deci

$$x\in (-\mathrm{\infty },-1)\cup [2,+\mathrm{\infty }).$$

Că înmulțirea cu numitorul ne-a luat într-adevăr ceva, verificăm înlocuind x = −2 în inecuația inițială: $\frac{-5}{-1}=5$, iar cinci este mai mare decât unu. Se potrivește.