Inequações na forma de produto e de quociente

O produto de vários números é positivo quando nele não há nenhum zero e o número de fatores negativos é par. Menos vezes menos dá mais, então os fatores negativos se cancelam em pares. Se sobrar um número ímpar deles, o produto inteiro é negativo. Nessa ideia simples se apoia a solução de todas as inequações que têm em um dos membros um produto ou um quociente e, no outro, zero.

Se você leu o artigo sobre inequações do 2º grau, já sabe resolver a inequação (x − 1)(x + 3) > 0: encontra as raízes 1 e −3 e vê onde a expressão é positiva. Agora você vai ver que o mesmo procedimento serve para qualquer número de fatores, não só dois.

Estudo dos zeros

Começamos com esta inequação:

$$(x+2)(x-1)(x-3)>0.$$

Não vamos desenvolver os parênteses, porque obteríamos um polinômio cúbico, com o qual é bem mais difícil trabalhar. A forma de produto é, ao contrário, a melhor coisa que poderia nos acontecer.

Primeiro encontramos os zeros, isto é, os números em que algum fator é igual a zero. Igualamos cada parêntese a zero separadamente:

$$\begin{array}{rcl}x+2& =& 0\Rightarrow x=-2\\ x-1& =& 0\Rightarrow x=1\\ x-3& =& 0\Rightarrow x=3\end{array}$$

Os zeros dividem a reta numérica em quatro intervalos: ]−∞, −2[, ]−2, 1[, ]1, 3[ e ]3, +∞[. Dentro de cada um deles nenhum parêntese passa por zero e, por isso, também não muda de sinal. Basta, portanto, escolher um número de cada intervalo e descobrir quais são os sinais de cada parêntese.

• Do intervalo ]−∞, −2[ tentamos, por exemplo, x = −3. Os três parênteses são negativos: (−1) · (−4) · (−6). Três fatores negativos são um número ímpar, então o produto resulta negativo.
• Do intervalo ]−2, 1[ substituímos zero: 2 · (−1) · (−3). Dois fatores negativos, o produto é positivo.
• Do intervalo ]1, 3[ serve o dois: 4 · 1 · (−1). Um fator negativo, o produto é negativo.
• Do intervalo ]3, +∞[ testamos o dez: todos os parênteses são positivos e, portanto, o produto também.

Isso aparece de forma clara em um quadro de sinais. Em cada linha há um parêntese; embaixo, o produto inteiro, e em vermelho os intervalos em que ele é positivo:

Procuramos quando o produto é maior que zero. Os próprios zeros não fazem parte da solução, porque neles o produto é igual a zero e zero não é maior que zero. A solução é

$$x\in ]-2,1[\cup ]3,+\mathrm{\infty }[.$$

Verificação: para x = 4 resulta 6 · 3 · 1 = 18, e esse é de fato um número positivo.

O mesmo resultado se vê também no gráfico da função y = (x + 2)(x − 1)(x − 3). O gráfico cruza o eixo x exatamente nos zeros e, entre dois zeros vizinhos, fica todo acima do eixo ou todo abaixo dele. Onde está acima do eixo, o produto é positivo, e essas partes estão em vermelho:

Os sinais nem sempre se alternam

No exemplo anterior os sinais se alternavam regularmente: menos, mais, menos, mais. Fica tentador descobrir o sinal em apenas um intervalo e, nos demais, ir trocando-o automaticamente. Melhor não fazer assim. Observe a inequação

$$(x-1{)}^2(x+2)\ge 0.$$

Os zeros são 1 e −2, temos três intervalos. Testamos um número em cada:

• x = −3: (−4)² · (−1) = 16 · (−1) = −16, negativo,
• x = 0: (−1)² · 2 = 2, positivo,
• x = 2: 1² · 4 = 4, positivo.

Ao passar pelo um, o sinal não mudou. Isso se deve ao quadrado: (x − 1)² é um quadrado e ele é sempre positivo ou nulo, seja o que for que esteja dentro. Um fator com potência par, portanto, nunca inverte o sinal do produto. Se apenas alternássemos os sinais, no último intervalo obteríamos menos e perderíamos um pedaço considerável da solução.

A expressão é, portanto, positiva em ]−2, 1[ e em ]1, +∞[. Só que a inequação diz “maior ou igual a”, então incluímos também os pontos em que a expressão é igual a zero. São os dois zeros, −2 e 1. O um faz parte da solução, portanto, graças à igualdade, e os dois intervalos se fundem em um:

$$x\in [-2,+\mathrm{\infty }[.$$

Atenção à desigualdade estrita: em (x − 1)²(x + 2) > 0 o um não faria parte da solução e obteríamos ]−2, 1[ ∪ ]1, +∞[, isto é, um intervalo com um buraco.

Forma de quociente

Com uma fração se procede exatamente da mesma maneira, porque o quociente tem o mesmo sinal que o produto: é positivo se o numerador e o denominador têm o mesmo sinal. Vamos resolver a inequação

$$\frac{x+2}{x-4}\le 0.$$

Encontramos os zeros no numerador e no denominador: x = −2 e x = 4. Substituímos um número de cada intervalo:

• x = −3: $\frac{-1}{-7}$, positivo,
• x = 0: $\frac{2}{-4}$, negativo,
• x = 5: $\frac{7}{1}$, positivo.

Procuramos valores negativos ou zero. A fração é negativa no intervalo ]−2, 4[. Zero resulta quando o numerador é nulo, isto é, para x = −2, e esse valor faz parte da solução. Já o quatro nunca faz parte, seja qual for o sinal que estiver na inequação. Para x = 4 haveria zero no denominador e não se pode dividir por zero. Os zeros do denominador, portanto, sempre ficam de fora.

Na figura você percebe isso pelas bolinhas. A bolinha cheia em −2 significa que o número faz parte da solução; a vazia no quatro, que não faz. O resultado é

$$x\in [-2,4[.$$

Não multiplique pelo denominador

O estudo dos zeros só funciona quando há zero em um dos membros da inequação. Tomemos a inequação

$$\frac{2x-1}{x+1}\ge 1.$$

Dá uma vontade enorme de multiplicá-la pelo denominador x + 1, obter 2x − 1 ≥ x + 1 e, daí, x ≥ 2. Só que não sabemos se x + 1 é positivo ou negativo e, ao multiplicar por um número negativo, o sinal de desigualdade se inverteria. Por isso, essa não foi uma transformação equivalente e parte da solução desapareceu. Você pode ler mais sobre isso no artigo sobre inequações do 1º grau.

O correto é passar tudo para um dos membros:

$$\frac{2x-1}{x+1}-1\ge 0$$

Escrevemos o um como uma fração com o mesmo denominador:

$$\frac{2x-1}{x+1}-\frac{x+1}{x+1}\ge 0$$

E subtraímos as frações:

$$\frac{x-2}{x+1}\ge 0$$

Os zeros são 2 e −1. Para x = −2 resulta $\frac{-4}{-1}=4$, positivo. Para x = 0 resulta $\frac{-2}{1}$, negativo. Para x = 3 resulta $\frac{1}{4}$, positivo. O dois faz parte da solução (a fração é ali igual a zero); o menos um não, porque é zero do denominador. A solução inteira é, portanto,

$$x\in ]-\mathrm{\infty },-1[\cup [2,+\mathrm{\infty }[.$$

Verificamos que a multiplicação pelo denominador realmente nos tirou algo substituindo x = −2 na inequação original: $\frac{-5}{-1}=5$ e cinco é maior que um. Confere.