Inéquations produit et quotient

Un produit de plusieurs nombres est strictement positif lorsqu’il ne contient aucun zéro et qu’il y a un nombre pair de facteurs négatifs. Moins fois moins fait plus, donc les facteurs négatifs s’annulent deux par deux. S’il en reste un nombre impair, le produit entier est négatif. Toutes les inéquations qui ont un produit ou un quotient d’un côté et zéro de l’autre reposent sur cette idée simple.

Si tu as lu l’article sur les inéquations du second degré, tu sais déjà résoudre (x − 1)(x + 3) > 0 : tu trouves les racines 1 et −3 et tu regardes où l’expression est positive. Tu vas voir que la même démarche fonctionne avec un nombre quelconque de facteurs, et pas seulement deux.

Méthode des zéros

Commençons par cette inéquation :

$$(x+2)(x-1)(x-3)>0.$$

On ne va pas développer les parenthèses : on obtiendrait un polynôme de degré trois, bien plus difficile à manier. La forme produit est au contraire ce qui pouvait nous arriver de mieux.

Cherchons d’abord les zéros, c’est-à-dire les nombres pour lesquels l’un des facteurs est nul. On pose chaque parenthèse égale à zéro séparément :

$$\begin{array}{rcl}x+2& =& 0\Rightarrow x=-2\\ x-1& =& 0\Rightarrow x=1\\ x-3& =& 0\Rightarrow x=3\end{array}$$

Ces zéros partagent la droite numérique en quatre intervalles : ]−∞ ; −2[, ]−2 ; 1[, ]1 ; 3[ et ]3 ; +∞[. À l’intérieur de chacun d’eux, aucune parenthèse ne s’annule, donc aucune ne change de signe. Il suffit donc de choisir un seul nombre dans chaque intervalle et de déterminer le signe de chaque facteur.

• Dans l’intervalle ]−∞ ; −2[, essayons x = −3. Les trois facteurs sont négatifs : (−1) · (−4) · (−6). Trois facteurs négatifs, c’est un nombre impair, donc le produit est négatif.
• Dans ]−2 ; 1[, prenons zéro : 2 · (−1) · (−3). Deux facteurs négatifs, le produit est positif.
• Dans ]1 ; 3[, le nombre deux convient : 4 · 1 · (−1). Un seul facteur négatif, le produit est négatif.
• Dans ]3 ; +∞[, essayons dix : tous les facteurs sont positifs, donc le produit aussi.

Le tableau de signes résume bien le tout. Chaque ligne correspond à un facteur, en bas on voit le produit entier, et en rouge les intervalles où il est positif :

On cherche les valeurs pour lesquelles le produit est strictement positif. Les zéros eux-mêmes n’appartiennent pas à la solution, car le produit y vaut zéro, et zéro n’est pas strictement supérieur à zéro. La solution est donc :

$$x\in ]-2;1[\cup ]3;+\mathrm{\infty }[.$$

Vérification : pour x = 4, on obtient 6 · 3 · 1 = 18, ce qui est bien un nombre positif.

Le même résultat apparaît sur la courbe de la fonction y = (x + 2)(x − 1)(x − 3). La courbe coupe l’axe des abscisses exactement aux zéros, et entre deux zéros voisins elle est entièrement au-dessus ou entièrement en dessous de l’axe. Là où elle est au-dessus, le produit est positif ; ces parties sont en rouge :

Les signes n’alternent pas forcément

Dans l’exemple précédent, les signes alternaient régulièrement : moins, plus, moins, plus. Cela pousse à ne déterminer le signe que dans un seul intervalle, puis à inverser les signes automatiquement dans les autres. Il ne faut pas faire cela. Regarde l’inéquation :

$$(x-1{)}^2(x+2)\ge 0.$$

Les zéros sont 1 et −2, on a donc trois intervalles. Testons un nombre dans chacun :

• x = −3 : (−4)² · (−1) = 16 · (−1) = −16, négatif,
• x = 0 : (−1)² · 2 = 2, positif,
• x = 2 : 1² · 4 = 4, positif.

En passant par 1, le signe n’a pas changé. C’est à cause du carré : (x − 1)² est toujours positif ou nul, quelle que soit la valeur à l’intérieur. Un facteur à puissance paire ne change donc jamais le signe du produit. Si l’on se contentait d’alterner les signes, on obtiendrait un signe moins sur le dernier intervalle, et l’on perdrait une grande partie de la solution.

L’expression est donc strictement positive sur ]−2 ; 1[ et sur ]1 ; +∞[. Mais l’inéquation dit « supérieur ou égal », donc on ajoute aussi les points où l’expression s’annule : les deux zéros, −2 et 1. Le nombre 1 fait partie de la solution grâce à l’égalité, et les deux intervalles se réunissent en un seul :

$$x\in [-2;+\mathrm{\infty }[.$$

Attention à l’inégalité stricte : pour (x − 1)²(x + 2) > 0, le nombre 1 ne ferait pas partie de la solution, et l’on obtiendrait ]−2 ; 1[ ∪ ]1 ; +∞[, c’est-à-dire un intervalle avec un trou.

Forme quotient

Avec une fraction, on procède exactement de la même façon, car un quotient a le même signe qu’un produit : il est strictement positif si le numérateur et le dénominateur sont non nuls et de même signe. Résolvons :

$$\frac{x+2}{x-4}\le 0.$$

Les zéros se trouvent au numérateur et au dénominateur : x = −2 et x = 4. Testons un nombre dans chaque intervalle :

• x = −3 : $\frac{-1}{-7}$, positif,
• x = 0 : $\frac{2}{-4}$, négatif,
• x = 5 : $\frac{7}{1}$, positif.

On cherche les valeurs négatives ou nulles. Le quotient est négatif sur ]−2 ; 4[. Il est nul lorsque le numérateur s’annule, c’est-à-dire pour x = −2, et ce point appartient à la solution. Le nombre 4, en revanche, n’appartient jamais à la solution, quel que soit le signe demandé par l’inéquation. Pour x = 4, le dénominateur serait nul, et on ne peut pas diviser par zéro. Les zéros du dénominateur sont donc toujours exclus.

Sur le dessin, cela se voit grâce aux ronds : un rond plein en −2 signifie que le nombre appartient à la solution, un rond vide en 4 qu’il n’y appartient pas. Le résultat est :

$$x\in [-2;4[.$$

Ne multiplie pas par le dénominateur

La méthode des zéros ne fonctionne que si l’un des côtés de l’inéquation est nul. Prenons :

$$\frac{2x-1}{x+1}\ge 1.$$

Il est tentant de multiplier par le dénominateur x + 1, d’obtenir 2x − 1 ≥ x + 1, puis x ≥ 2. Mais on ne sait pas si x + 1 est positif ou négatif, et multiplier par un nombre négatif renverse le sens de l’inégalité. Ce n’était donc pas une transformation équivalente, et une partie de la solution a disparu. Tu trouveras davantage d’explications dans l’article sur les inéquations du premier degré.

Il faut donc tout ramener d’un côté :

$$\frac{2x-1}{x+1}-1\ge 0$$

On écrit 1 sous forme de fraction de même dénominateur :

$$\frac{2x-1}{x+1}-\frac{x+1}{x+1}\ge 0$$

Puis on soustrait les fractions :

$$\frac{x-2}{x+1}\ge 0$$

Les zéros sont 2 et −1. Pour x = −2 on obtient $\frac{-4}{-1}=4$, positif. Pour x = 0, $\frac{-2}{1}$, négatif. Pour x = 3, $\frac{1}{4}$, positif. Le nombre 2 appartient à la solution, car le quotient y est nul ; −1 n’y appartient pas, car c’est un zéro du dénominateur. La solution complète est donc :

$$x\in ]-\mathrm{\infty };-1[\cup [2;+\mathrm{\infty }[.$$

Vérifions que la multiplication par le dénominateur nous a bien fait perdre une partie de la solution : on remplace x par −2 dans l’inéquation de départ : $\frac{-5}{-1}=5$, et 5 est bien supérieur à 1. Ça marche.