Ungleichungen in Produkt- und Quotientenform

Ein Produkt aus mehreren Zahlen ist positiv, wenn es keine Null enthält und die Anzahl der negativen Faktoren gerade ist. Minus mal Minus ist Plus, also heben sich die negativen Faktoren paarweise auf. Bleibt eine ungerade Anzahl übrig, ist das ganze Produkt negativ. Auf dieser einfachen Idee beruht die Lösung aller Ungleichungen, die auf der einen Seite ein Produkt oder einen Quotienten und auf der anderen null haben.

Wenn du den Artikel über quadratische Ungleichungen gelesen hast, kannst du die Ungleichung (x − 1)(x + 3) > 0 schon lösen: Du bestimmst die Nullstellen 1 und −3 und schaust, wo der Term positiv ist. Jetzt wirst du sehen, dass dasselbe Vorgehen auch bei beliebig vielen Faktoren hilft, nicht nur bei zwei.

Vorzeichen an den Nullstellen prüfen

Wir beginnen mit dieser Ungleichung:

$$(x+2)(x-1)(x-3)>0.$$

Die Klammern multiplizieren wir nicht aus, wir bekämen ein kubisches Polynom, mit dem man viel schlechter arbeiten kann. Die Produktform ist dagegen das Beste, was uns passieren konnte.

Zuerst bestimmen wir die Nullstellen, also die Zahlen, bei denen einer der Faktoren null wird. Jede Klammer setzen wir einzeln gleich null:

$$\begin{array}{rcl}x+2& =& 0\Rightarrow x=-2\\ x-1& =& 0\Rightarrow x=1\\ x-3& =& 0\Rightarrow x=3\end{array}$$

Die Nullstellen teilen die Zahlengerade in vier Intervalle: ]−∞; −2[, ]−2; 1[, ]1; 3[ und ]3; +∞[. Innerhalb jedes dieser Intervalle geht keine Klammer durch null und wechselt deshalb auch nicht das Vorzeichen. Es genügt also, aus jedem Intervall eine Zahl zu wählen und zu prüfen, welches Vorzeichen die einzelnen Klammern haben.

• Aus dem Intervall ]−∞; −2[ probieren wir zum Beispiel x = −3. Alle drei Klammern sind negativ: (−1) · (−4) · (−6). Drei negative Faktoren sind eine ungerade Anzahl, also ist das Produkt negativ.
• Aus dem Intervall ]−2; 1[ setzen wir null ein: 2 · (−1) · (−3). Zwei negative Faktoren, das Produkt ist positiv.
• Aus dem Intervall ]1; 3[ eignet sich die Zwei: 4 · 1 · (−1). Ein negativer Faktor, das Produkt ist negativ.
• Aus dem Intervall ]3; +∞[ probieren wir die Zehn: Alle Klammern sind positiv, also auch das Produkt.

Übersichtlich zeigt das die Vorzeichentabelle. In jeder Zeile steht eine Klammer, unten das ganze Produkt und rot die Intervalle, in denen es positiv ist:

Wir suchen, wann das Produkt größer als null ist. Die Nullstellen selbst gehören nicht zur Lösung, denn dort ist das Produkt gleich null, und null ist nicht größer als null. Die Lösung ist

$$x\in ]-2;1[\cup ]3;+\mathrm{\infty }[.$$

Probe: Für x = 4 ergibt sich 6 · 3 · 1 = 18, und das ist tatsächlich eine positive Zahl.

Dasselbe Ergebnis sieht man auch am Graphen der Funktion y = (x + 2)(x − 1)(x − 3). Der Graph schneidet die x-Achse genau in den Nullstellen, und zwischen zwei benachbarten liegt er ganz über oder ganz unter der Achse. Wo er über der Achse liegt, ist das Produkt positiv, und diese Teile sind rot:

Die Vorzeichen wechseln nicht immer

Im vorigen Beispiel wechselten die Vorzeichen regelmäßig: Minus, Plus, Minus, Plus. Das verleitet dazu, das Vorzeichen nur in einem Intervall zu bestimmen und in den übrigen dann automatisch zu wechseln. Das lieber nicht. Sieh dir die Ungleichung an:

$$(x-1{)}^2(x+2)\ge 0.$$

Die Nullstellen sind 1 und −2, wir haben drei Intervalle. Wir probieren jeweils eine Zahl:

• x = −3: (−4)² · (−1) = 16 · (−1) = −16, negativ,
• x = 0: (−1)² · 2 = 2, positiv,
• x = 2: 1² · 4 = 4, positiv.

Beim Durchgang durch die Eins hat sich das Vorzeichen nicht geändert. Das liegt am Quadrat: (x − 1)² ist ein Quadrat, und das ist immer positiv oder null, egal was darin steht. Ein Faktor mit geradem Exponenten kehrt das Vorzeichen des Produkts deshalb nie um. Würden wir die Vorzeichen nur abwechseln, bekämen wir im letzten Intervall Minus und uns ginge ein ordentliches Stück der Lösung verloren.

Der Term ist also positiv auf ]−2; 1[ und auf ]1; +∞[. Die Ungleichung sagt aber „größer oder gleich“, also nehmen wir auch die Punkte dazu, an denen der Term gleich null ist. Das sind beide Nullstellen, −2 und 1. Die Eins gehört also wegen der Gleichheit zur Lösung, und die beiden Intervalle verschmelzen zu einem:

$$x\in [-2;+\mathrm{\infty }[.$$

Vorsicht bei der strengen Ungleichung: Bei (x − 1)²(x + 2) > 0 würde die Eins nicht zur Lösung gehören, und es käme ]−2; 1[ ∪ ]1; +∞[ heraus, also ein Intervall mit einem Loch.

Quotientenform

Mit einem Bruch geht man genauso um, denn ein Quotient hat dasselbe Vorzeichen wie ein Produkt: Er ist positiv, wenn Zähler und Nenner dasselbe Vorzeichen haben. Wir lösen die Ungleichung:

$$\frac{x+2}{x-4}\le 0.$$

Die Nullstellen bestimmen wir im Zähler und im Nenner: x = −2 und x = 4. Aus jedem Intervall setzen wir eine Zahl ein:

• x = −3: $\frac{-1}{-7}$, positiv,
• x = 0: $\frac{2}{-4}$, negativ,
• x = 5: $\frac{7}{1}$, positiv.

Wir suchen negative Werte oder null. Negativ ist der Bruch auf dem Intervall ]−2; 4[. Null ergibt sich, wenn der Zähler null ist, also für x = −2, und das gehört zur Lösung. Die Vier gehört aber nie dazu, egal welches Ungleichheitszeichen in der Ungleichung steht. Für x = 4 stünde im Nenner null, und durch null kann man nicht teilen. Die Nullstellen des Nenners schließen wir deshalb immer aus.

Im Bild erkennst du es an den Kreisen. Ein ausgefüllter Kreis bei −2 bedeutet, dass die Zahl zur Lösung gehört, ein leerer bei der Vier, dass sie nicht dazugehört. Das Ergebnis lautet

$$x\in [-2;4[.$$

Nicht mit dem Nenner multiplizieren

Diese Methode funktioniert nur, wenn auf einer Seite der Ungleichung null steht. Nehmen wir diese Ungleichung:

$$\frac{2x-1}{x+1}\ge 1.$$

Es ist sehr verlockend, sie mit dem Nenner x + 1 zu multiplizieren, 2x − 1 ≥ x + 1 zu erhalten und daraus x ≥ 2. Wir wissen aber nicht, ob x + 1 positiv oder negativ ist, und bei der Multiplikation mit einer negativen Zahl würde sich das Ungleichheitszeichen umdrehen. Deshalb war das keine Äquivalenzumformung, und ein Teil der Lösung ist uns verloren gegangen. Mehr dazu liest du im Artikel über lineare Ungleichungen.

Richtig bringen wir alles auf eine Seite:

$$\frac{2x-1}{x+1}-1\ge 0$$

Die Eins schreiben wir als Bruch mit demselben Nenner:

$$\frac{2x-1}{x+1}-\frac{x+1}{x+1}\ge 0$$

Und subtrahieren die Brüche:

$$\frac{x-2}{x+1}\ge 0$$

Die Nullstellen sind 2 und −1. Für x = −2 ergibt sich $\frac{-4}{-1}=4$, positiv. Für x = 0 ergibt sich $\frac{-2}{1}$, negativ. Für x = 3 ergibt sich $\frac{1}{4}$, positiv. Die Zwei gehört zur Lösung (der Bruch ist dort gleich null), die minus Eins nicht, weil sie eine Nullstelle des Nenners ist. Die gesamte Lösung lautet also

$$x\in ]-\mathrm{\infty };-1[\cup [2;+\mathrm{\infty }[.$$

Dass uns die Multiplikation mit dem Nenner tatsächlich etwas weggenommen hat, prüfen wir, indem wir x = −2 in die ursprüngliche Ungleichung einsetzen: $\frac{-5}{-1}=5$, und fünf ist größer als eins. Passt.