Disequazioni prodotto e disequazioni fratte

Il prodotto di più numeri è positivo quando non contiene zeri e il numero dei fattori negativi è pari. Meno per meno fa più, quindi i fattori negativi si eliminano a coppie. Se ne resta un numero dispari, l’intero prodotto è negativo. Su questa semplice idea si basa la soluzione di tutte le disequazioni che hanno da una parte un prodotto o un quoziente e dall’altra zero.

Se hai letto l’articolo sulle disequazioni di secondo grado, sai già risolvere la disequazione (x − 1)(x + 3) > 0: trovi le radici 1 e −3 e guardi dove l’espressione è positiva. Ora vedrai che lo stesso procedimento funziona con un numero qualsiasi di fattori, non solo con due.

Lo studio del segno

Cominciamo con questa disequazione:

$$(x+2)(x-1)(x-3)>0.$$

Non svilupperemo le parentesi: otterremmo un polinomio di terzo grado, con cui si lavora molto peggio. La forma fattorizzata è invece la cosa migliore che potesse capitarci.

Per prima cosa troviamo gli zeri, cioè i numeri in cui uno dei fattori è uguale a zero. Poniamo ogni parentesi separatamente uguale a zero:

$$\begin{array}{rcl}x+2& =& 0\Rightarrow x=-2\\ x-1& =& 0\Rightarrow x=1\\ x-3& =& 0\Rightarrow x=3\end{array}$$

Gli zeri dividono la retta dei numeri in quattro intervalli: (−∞; −2), (−2; 1), (1; 3) e (3; +∞). All’interno di ciascuno di essi nessuna parentesi passa per lo zero e quindi nessuna cambia segno. Basta dunque scegliere un numero da ogni intervallo e vedere che segno ha ciascuna parentesi.

• Dall’intervallo (−∞; −2) proviamo per esempio x = −3. Tutte e tre le parentesi sono negative: (−1) · (−4) · (−6). Tre fattori negativi sono un numero dispari, quindi il prodotto risulta negativo.
• Dall’intervallo (−2; 1) sostituiamo zero: 2 · (−1) · (−3). Due fattori negativi, il prodotto è positivo.
• Dall’intervallo (1; 3) va bene il due: 4 · 1 · (−1). Un fattore negativo, il prodotto è negativo.
• Dall’intervallo (3; +∞) proviamo il dieci: tutte le parentesi sono positive, e quindi anche il prodotto.

La tabella dei segni lo mostra in modo chiaro. In ogni riga c’è una parentesi, in basso l’intero prodotto, e in rosso gli intervalli in cui è positivo:

Cerchiamo quando il prodotto è maggiore di zero. Gli zeri stessi non fanno parte della soluzione, perché in essi il prodotto è uguale a zero e zero non è maggiore di zero. La soluzione è

$$x\in (-2;1)\cup (3;+\mathrm{\infty }).$$

Verifica: per x = 4 otteniamo 6 · 3 · 1 = 18, che è davvero un numero positivo.

Lo stesso risultato si vede anche sul grafico della funzione y = (x + 2)(x − 1)(x − 3). Il grafico interseca l’asse x proprio negli zeri e tra due zeri vicini sta tutto sopra l’asse oppure tutto sotto. Dove sta sopra l’asse, il prodotto è positivo, e queste parti sono in rosso:

I segni non devono per forza alternarsi

Nell’esempio precedente i segni si alternavano regolarmente: meno, più, meno, più. Questo invita a determinare il segno in un solo intervallo e poi a scambiarlo automaticamente negli altri. Meglio di no. Osserva la disequazione

$$(x-1{)}^2(x+2)\ge 0.$$

Gli zeri sono 1 e −2 e abbiamo tre intervalli. Proviamo un numero per ciascuno:

• x = −3: (−4)² · (−1) = 16 · (−1) = −16, negativo,
• x = 0: (−1)² · 2 = 2, positivo,
• x = 2: 1² · 4 = 4, positivo.

Passando per l’uno il segno non è cambiato. Dipende dal quadrato: (x − 1)² è il quadrato di un’espressione, e il quadrato è sempre positivo o nullo, qualunque cosa ci sia dentro. Un fattore con esponente pari non inverte quindi mai il segno del prodotto. Se alternassimo semplicemente i segni, nell’ultimo intervallo otterremmo il segno meno e perderemmo una bella parte della soluzione.

L’espressione è quindi positiva in (−2; 1) e in (1; +∞). Ma la disequazione dice «maggiore o uguale», quindi aggiungiamo anche i punti in cui l’espressione è uguale a zero. Sono entrambi gli zeri, −2 e 1. L’uno fa dunque parte della soluzione grazie all’uguaglianza e i due intervalli si fondono in uno solo:

$$x\in [-2;+\mathrm{\infty }).$$

Attenzione alla disuguaglianza stretta: per (x − 1)²(x + 2) > 0 l’uno non farebbe parte della soluzione e otterremmo (−2; 1) ∪ (1; +∞), cioè un intervallo con un buco.

Disequazioni fratte

Con una frazione ci si comporta esattamente allo stesso modo, perché il quoziente ha lo stesso segno del prodotto: è positivo se numeratore e denominatore hanno lo stesso segno. Risolviamo la disequazione

$$\frac{x+2}{x-4}\le 0.$$

Gli zeri li troviamo sia nel numeratore sia nel denominatore: x = −2 e x = 4. Sostituiamo un numero per ogni intervallo:

• x = −3: $\frac{-1}{-7}$, positivo,
• x = 0: $\frac{2}{-4}$, negativo,
• x = 5: $\frac{7}{1}$, positivo.

Cerchiamo i valori negativi o nulli. La frazione è negativa nell’intervallo (−2; 4). Vale zero quando il numeratore è nullo, cioè per x = −2, e questo valore fa parte della soluzione. Il quattro invece non ne fa parte mai, qualunque sia il simbolo nella disequazione. Per x = 4 il denominatore sarebbe zero e per zero non si può dividere. Gli zeri del denominatore quindi si escludono sempre.

Nell’immagine lo riconosci dai pallini. Il pallino pieno in −2 significa che il numero fa parte della soluzione, quello vuoto in quattro che non ne fa parte. Il risultato è

$$x\in [-2;4).$$

Non moltiplicare per il denominatore

Lo studio del segno funziona solo quando da una parte della disequazione c’è zero. Prendiamo la disequazione

$$\frac{2x-1}{x+1}\ge 1.$$

Viene una gran voglia di moltiplicarla per il denominatore x + 1, ottenere 2x − 1 ≥ x + 1 e da lì x ≥ 2. Ma non sappiamo se x + 1 sia positivo o negativo e, moltiplicando per un numero negativo, il verso della disuguaglianza si invertirebbe. Per questo non era un passaggio equivalente e una parte della soluzione è sparita. Ne puoi leggere di più nell’articolo sulle disequazioni lineari.

Il modo corretto è portare tutto da una parte:

$$\frac{2x-1}{x+1}-1\ge 0$$

Scriviamo l’uno come frazione con lo stesso denominatore:

$$\frac{2x-1}{x+1}-\frac{x+1}{x+1}\ge 0$$

E sottraiamo le frazioni:

$$\frac{x-2}{x+1}\ge 0$$

Gli zeri sono 2 e −1. Per x = −2 otteniamo $\frac{-4}{-1}=4$, positivo. Per x = 0 otteniamo $\frac{-2}{1}$, negativo. Per x = 3 otteniamo $\frac{1}{4}$, positivo. Il due fa parte della soluzione (lì la frazione è uguale a zero), meno uno no, perché è uno zero del denominatore. L’intera soluzione è quindi

$$x\in (-\mathrm{\infty };-1)\cup [2;+\mathrm{\infty }).$$

Che la moltiplicazione per il denominatore ci abbia davvero fatto perdere qualcosa lo verifichiamo sostituendo x = −2 nella disequazione originale: $\frac{-5}{-1}=5$ e cinque è maggiore di uno. Torna.