Ανισώσεις σε μορφή γινομένου και πηλίκου

Το γινόμενο πολλών αριθμών είναι θετικό όταν δεν περιέχει κανένα μηδέν και το πλήθος των αρνητικών παραγόντων είναι άρτιο. Μείον επί μείον κάνει συν, οπότε οι αρνητικοί παράγοντες αλληλοεξουδετερώνονται ανά δύο. Αν μείνει περιττό πλήθος, ολόκληρο το γινόμενο είναι αρνητικό. Σε αυτή την απλή ιδέα στηρίζεται η λύση όλων των ανισώσεων που έχουν στο ένα μέλος γινόμενο ή πηλίκο και στο άλλο μηδέν.

Αν έχεις διαβάσει το άρθρο για τις ανισώσεις δευτέρου βαθμού, την ανίσωση (x − 1)(x + 3) > 0 ξέρεις ήδη να τη λύνεις: βρίσκεις τις ρίζες 1 και −3 και κοιτάς πού η παράσταση είναι θετική. Τώρα θα δεις ότι η ίδια διαδικασία λειτουργεί για οποιονδήποτε αριθμό παραγόντων, όχι μόνο για δύο.

Η μέθοδος των ριζών

Θα ξεκινήσουμε με αυτή την ανίσωση:

$$(x+2)(x-1)(x-3)>0.$$

Δεν θα κάνουμε τις πράξεις στις παρενθέσεις, γιατί θα έβγαινε πολυώνυμο τρίτου βαθμού και με αυτό η δουλειά είναι πολύ πιο δύσκολη. Η μορφή γινομένου είναι, αντίθετα, το καλύτερο που μπορούσε να μας τύχει.

Πρώτα βρίσκουμε τις ρίζες, δηλαδή τους αριθμούς στους οποίους κάποιος παράγοντας γίνεται μηδέν. Εξισώνουμε κάθε παρένθεση χωριστά με το μηδέν:

$$\begin{array}{rcl}x+2& =& 0\Rightarrow x=-2\\ x-1& =& 0\Rightarrow x=1\\ x-3& =& 0\Rightarrow x=3\end{array}$$

Οι ρίζες χωρίζουν τον άξονα των πραγματικών αριθμών σε τέσσερα διαστήματα: (−∞, −2), (−2, 1), (1, 3) και (3, +∞). Μέσα σε κάθε ένα από αυτά καμία παρένθεση δεν περνά από το μηδέν και γι' αυτό δεν αλλάζει ούτε πρόσημο. Αρκεί λοιπόν να διαλέξουμε από κάθε διάστημα έναν αριθμό και να δούμε τι πρόσημο έχει κάθε παρένθεση.

• Από το διάστημα (−∞, −2) δοκιμάζουμε για παράδειγμα το x = −3. Και οι τρεις παρενθέσεις είναι αρνητικές: (−1) · (−4) · (−6). Τρεις αρνητικοί παράγοντες είναι περιττό πλήθος, άρα το γινόμενο βγαίνει αρνητικό.
• Από το διάστημα (−2, 1) αντικαθιστούμε το μηδέν: 2 · (−1) · (−3). Δύο αρνητικοί παράγοντες, το γινόμενο είναι θετικό.
• Από το διάστημα (1, 3) μας κάνει το δύο: 4 · 1 · (−1). Ένας αρνητικός παράγοντας, το γινόμενο είναι αρνητικό.
• Από το διάστημα (3, +∞) δοκιμάζουμε το δέκα: όλες οι παρενθέσεις είναι θετικές, άρα και το γινόμενο.

Τα πρόσημα φαίνονται παραστατικά στον πίνακα προσήμων. Σε κάθε γραμμή υπάρχει μία παρένθεση, κάτω ολόκληρο το γινόμενο και με κόκκινο τα διαστήματα όπου είναι θετικό:

Ζητάμε πότε το γινόμενο είναι μεγαλύτερο από το μηδέν. Οι ίδιες οι ρίζες δεν ανήκουν στη λύση, γιατί σε αυτές το γινόμενο ισούται με μηδέν και το μηδέν δεν είναι μεγαλύτερο από το μηδέν. Η λύση είναι

$$x\in (-2,1)\cup (3,+\mathrm{\infty }).$$

Επαλήθευση: για x = 4 βγαίνει 6 · 3 · 1 = 18 και αυτός είναι πράγματι θετικός αριθμός.

Το ίδιο αποτέλεσμα φαίνεται και στη γραφική παράσταση της συνάρτησης y = (x + 2)(x − 1)(x − 3). Η γραφική παράσταση τέμνει τον άξονα x ακριβώς στις ρίζες, και ανάμεσα σε δύο διαδοχικές βρίσκεται ολόκληρη πάνω ή ολόκληρη κάτω από τον άξονα. Όπου είναι πάνω από τον άξονα, το γινόμενο είναι θετικό, και αυτά τα κομμάτια είναι κόκκινα:

Τα πρόσημα δεν εναλλάσσονται πάντα

Στο προηγούμενο παράδειγμα τα πρόσημα εναλλάσσονταν κανονικά: μείον, συν, μείον, συν. Αυτό μας δελεάζει να βρούμε το πρόσημο μόνο σε ένα διάστημα και στα υπόλοιπα να το αλλάζουμε αυτόματα. Καλύτερα όχι έτσι. Κοίτα την ανίσωση

$$(x-1{)}^2(x+2)\ge 0.$$

Οι ρίζες είναι 1 και −2, άρα έχουμε τρία διαστήματα. Δοκιμάζουμε από έναν αριθμό:

• x = −3: (−4)² · (−1) = 16 · (−1) = −16, αρνητικό,
• x = 0: (−1)² · 2 = 2, θετικό,
• x = 2: 1² · 4 = 4, θετικό.

Περνώντας από το ένα, το πρόσημο δεν άλλαξε. Αυτό οφείλεται στο τετράγωνο: το (x − 1)² είναι τετράγωνο και αυτό είναι πάντα θετικό ή μηδέν, ό,τι κι αν βρίσκεται μέσα. Ένας παράγοντας με άρτια δύναμη δεν αντιστρέφει λοιπόν ποτέ το πρόσημο του γινομένου. Αν απλώς εναλλάσσαμε τα πρόσημα, στο τελευταίο διάστημα θα βγάζαμε μείον και θα χάναμε ένα μεγάλο κομμάτι της λύσης.

Η παράσταση είναι λοιπόν θετική στο (−2, 1) και στο (1, +∞). Όμως η ανίσωση λέει «μεγαλύτερο ή ίσο», οπότε προσθέτουμε και τα σημεία όπου η παράσταση ισούται με μηδέν. Αυτά είναι και οι δύο ρίζες, το −2 και το 1. Το ένα ανήκει λοιπόν στη λύση χάρη στην ισότητα και τα δύο διαστήματα συγχωνεύονται σε ένα:

$$x\in [-2,+\mathrm{\infty }).$$

Προσοχή στη γνήσια ανισότητα: στην (x − 1)²(x + 2) > 0 το ένα δεν θα ανήκε στη λύση και θα έβγαινε (−2, 1) ∪ (1, +∞), δηλαδή διάστημα με τρύπα.

Μορφή πηλίκου

Το κλάσμα το χειριζόμαστε ακριβώς με τον ίδιο τρόπο, γιατί το πηλίκο έχει το ίδιο πρόσημο με το γινόμενο: είναι θετικό αν ο αριθμητής και ο παρονομαστής έχουν το ίδιο πρόσημο. Θα λύσουμε την ανίσωση:

$$\frac{x+2}{x-4}\le 0.$$

Τις ρίζες τις βρίσκουμε και στον αριθμητή και στον παρονομαστή: x = −2 και x = 4. Αντικαθιστούμε από έναν αριθμό σε κάθε διάστημα:

• x = −3: $\frac{-1}{-7}$, θετικό,
• x = 0: $\frac{2}{-4}$, αρνητικό,
• x = 5: $\frac{7}{1}$, θετικό.

Ζητάμε αρνητικές τιμές ή μηδέν. Το κλάσμα είναι αρνητικό στο διάστημα (−2, 4). Μηδέν βγαίνει όταν ο αριθμητής είναι μηδέν, δηλαδή για x = −2, και αυτό ανήκει στη λύση. Το τέσσερα όμως δεν ανήκει ποτέ, όποιο σύμβολο ανισότητας κι αν υπάρχει στην ανίσωση. Για x = 4 ο παρονομαστής θα ήταν μηδέν και δεν διαιρούμε με το μηδέν. Γι' αυτό τις ρίζες του παρονομαστή τις αποκλείουμε πάντα.

Στο σχήμα το καταλαβαίνεις από τα κυκλάκια. Το γεμάτο κυκλάκι στο −2 σημαίνει ότι ο αριθμός ανήκει στη λύση, το κενό στο τέσσερα ότι δεν ανήκει. Το αποτέλεσμα είναι

$$x\in [-2,4).$$

Μην πολλαπλασιάζεις με τον παρονομαστή

Η μέθοδος των ριζών λειτουργεί μόνο όταν στο ένα μέλος της ανίσωσης υπάρχει μηδέν. Ας πάρουμε την ανίσωση:

$$\frac{2x-1}{x+1}\ge 1.$$

Είναι πολύ δελεαστικό να την πολλαπλασιάσουμε με τον παρονομαστή x + 1, να βγάλουμε 2x − 1 ≥ x + 1 και από αυτό x ≥ 2. Όμως δεν ξέρουμε αν το x + 1 είναι θετικό ή αρνητικό, και με πολλαπλασιασμό επί αρνητικό αριθμό θα άλλαζε η φορά της ανίσωσης. Γι' αυτό δεν ήταν ισοδύναμη μετατροπή και ένα κομμάτι της λύσης χάθηκε. Περισσότερα θα διαβάσεις στο άρθρο για τις πρωτοβάθμιες ανισώσεις.

Σωστά περνάμε τα πάντα στο ένα μέλος:

$$\frac{2x-1}{x+1}-1\ge 0$$

Το ένα το γράφουμε ως κλάσμα με τον ίδιο παρονομαστή:

$$\frac{2x-1}{x+1}-\frac{x+1}{x+1}\ge 0$$

Και αφαιρούμε τα κλάσματα:

$$\frac{x-2}{x+1}\ge 0$$

Οι ρίζες είναι 2 και −1. Για x = −2 βγαίνει $\frac{-4}{-1}=4$, θετικό. Για x = 0 βγαίνει $\frac{-2}{1}$, αρνητικό. Για x = 3 βγαίνει $\frac{1}{4}$, θετικό. Το δύο ανήκει στη λύση (εκεί το κλάσμα ισούται με μηδέν), το μείον ένα όχι, γιατί είναι ρίζα του παρονομαστή. Ολόκληρη η λύση είναι λοιπόν

$$x\in (-\mathrm{\infty },-1)\cup [2,+\mathrm{\infty }).$$

Ότι ο πολλαπλασιασμός με τον παρονομαστή μάς στέρησε πράγματι κάτι, το επαληθεύουμε αντικαθιστώντας x = −2 στην αρχική ανίσωση: $\frac{-5}{-1}=5$ και το πέντε είναι μεγαλύτερο από το ένα. Ταιριάζει.