Нютонов бином

Нютоновият бином е обобщение на класическите формули от вида (a + b)² с помощта на комбинаторни техники.

Мотивация

Със сигурност знаеш формулите за пресмятане на (a + b)² или (a + b)³:

$$\begin{array}{rcl}(a+b{)}^2& =& a^2+2ab+b^2\\ (a+b{)}^3& =& a^3+3a^{2}b+3a{b}^2+b^3\end{array}$$

И естественият въпрос е дали тези формули не могат да се обобщят за произволно естествено число n, т.е. може ли да се пресметне (a + b)ⁿ?

Извеждане

Разбира се, че може и точно за това служи биномът на Нютон. Ще опитаме да видим как би продължило това развитие за n = 4 и n = 5.

$$\begin{array}{rcl}(a+b{)}^4& =& a^4+4a^{3}b+6a^2{b}^2+4a{b}^3+b^4\\ (a+b{)}^5& =& a^5+5a^{4}b+10a^3{b}^2+10a^2{b}^3+5a{b}^4+b^5\end{array}$$

Вече би трябвало да се вижда определена закономерност. Ако имаме израза (a + b)ⁿ, то от дясната страна винаги започваме с члена aⁿ. Вторият член също съдържа променливата a, но с показател с единица по-малък. Например при развитието на (a + b)⁴ имаме от дясната страна в първия член a⁴, а във втория a³. Всеки следващ член съдържа променливата a с показател с единица по-малък от предишния член. Променливата b пък расте. В началото нямаме променливата b, или по-точно имаме, но с показател нула: b⁰ = 1. Във втория член b има показател едно, после две и т.н.

При всичко това е в сила простото правило, че сборът на показателите винаги трябва да е равен на n. Ако вземем предвид последното развитие (a + b)⁵, то например третият член е 10a³ · b² и сборът на показателите при променливите a и b е точно 5.

Последното е какви ще са коефициентите (числата пред променливите) при всеки член. Със сигурност забелязваш, че тези коефициенти са симетрични: при (a + b)⁴ имаме коефициентите 1, 4, 6, 4, 1, при (a + b)⁵ имаме: 1, 5, 10, 10, 5, 1. Напомням, че a⁴ = 1 · a⁴, затова пиша там единицата, макар да не я записвам изрично във формулите. Следващата зависимост ще покажем в триъгълника на Паскал.

Триъгълник на Паскал

Триъгълникът на Паскал е удобно помагало при пресмятането на развитие по формулата на Нютон. Триъгълникът на Паскал е съставен от числа и е в сила, че числото, което се намира под някои други две числа, е равно на техния сбор. Звучи заплетено, но от самия триъгълник ще стане ясно:

Погледни например числото четири. Над това число са числата 1 и 3. А сборът 1+3 дава точно 4. Подобно е и за останалите числа.

И как ще използваме триъгълника на Паскал? Ако погледнеш числата на отделните редове, ще откриеш, че много ти напомнят коефициентите в получаващото се биномно развитие. Например при (a + b)² имаме коефициентите 1, 2, 1, което е точно вторият ред. За (a + b)⁴ имаме коефициентите 1, 4, 6, 4, 1, което е точно четвъртият ред. Ако трябва да пресметнем (a + b)ⁿ, достатъчно е да погледнем n-тия ред на триъгълника на Паскал.

Формулировка на Нютоновия бином

Формално формулата на Нютон гласи така:

$$(a+b{)}^n=\sum _{k=0}^n(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k})a^{n-k}{b}^{k}a,b\in \mathbb{R};n\in \mathbb{N}$$

Сумата пресмятаме от нула до n, включително. Т.е. крайният брой събираеми е n + 1. Онова нещо в скобите е биномният коефициент, който е нещо от комбинаториката и представлява броя на различните комбинации, от които можем да получим дадения член на биномното развитие. Останалото са само променливи със съответните показатели. Забележи, че сборът на показателите наистина е равен на n: n − k + k = n.

Примери

Прост пример: пресметни с помощта на формулата на Нютон (a + 2b)⁴. Първо поглеждаме в триъгълника на Паскал четвъртия ред. Той ни казва, че коефициентите ще имат вида: 1, 4, 6, 4, 1. Сега остава само последователно да допълваме показателите. В първия член ще има само a⁴:

$$(a+2b{)}^4=a^4+\dots$$

Във втория член имаме показателите разпределени в двойката 3, 1, т.е. получаваме a³(2b)¹. Повдигането на първа степен не променя израза, така че можем да запишем a³2b. Коефициентът при втория член е 4:

$$(a+2b{)}^4=a^4+4a^{3}2b+\dots$$

Третият член ще има показатели 2, 2. Тук малко внимание, повдигаме на степен целия израз 2b, т.е. така: (2b)², което е равно на: (2b)² = 4b². Дописваме в развитието с коефициент 6:

$$(a+2b{)}^4=a^4+4a^{3}2b+6a^{2}4b^2+\dots$$

Четвъртият член ще има вида a(2b)³. След повдигането на степен получаваме a8b³. Дописваме с коефициент 4:

$$(a+2b{)}^4=a^4+4a^{3}2b+6a^{2}4b^2+4a8b^3+\dots$$

А последният член ще е вече само (2b)⁴ = 16b⁴:

$$(a+2b{)}^4=a^4+4a^{3}2b+6a^{2}4b^2+4a8b^3+16b^4.$$

Сега остава само малко да подредим. В члена 4a³2b можем да преместим числото 2 в началото на члена и да умножим 2 · 4 = 8. Така ни се получава 8a³b. Ако го направим и с останалите, получаваме резултата:

$$(a+2b{)}^4=a^4+8a^{3}b+24a^2{b}^2+32a{b}^3+16b^4.$$

Забележи, моля, че в този момент вече коефициентите не съвпадат с числата в триъгълника на Паскал.