Driehoek van Pascal

De driehoek van Pascal bestaat uit getallen en er geldt dat een getal dat onder twee andere getallen staat, gelijk is aan hun som. Laten we zo'n driehoek van Pascal construeren en daarna laten zien waar hij allemaal goed voor kan zijn.

Hoe construeer je de driehoek van Pascal

Aan de zijkanten van onze driehoek schrijven we alleen enen, de binnenkant van de driehoek vullen we voorlopig met vraagtekens:

$$\begin{array}{cccccccccccccc}& & & & & & & 1& & & & & & \\ & & & & & & 1& & 1& & & & & \\ & & & & & 1& & ?& & 1& & & & \\ & & & & 1& & ?& & ?& & 1& & & \\ & & & 1& & ?& & ?& & ?& & 1& & \end{array}$$

Nu berekenen we het eerste vraagteken: we tellen de twee getallen erboven op en krijgen 1 + 1 = 2:

$$\begin{array}{cccccccccccccc}& & & & & & & 1& & & & & & \\ & & & & & & \boxed{\text{1}}& & \boxed{\text{1}}& & & & & \\ & & & & & 1& & 2& & 1& & & & \\ & & & & 1& & ?& & ?& & 1& & & \\ & & & 1& & ?& & ?& & ?& & 1& & \end{array}$$

Op dezelfde manier berekenen we de vraagtekens in de volgende rij. Eerst krijgen we 1 + 2 = 3:

$$\begin{array}{cccccccccccccc}& & & & & & & 1& & & & & & \\ & & & & & & 1& & 1& & & & & \\ & & & & & \boxed{\text{1}}& & \boxed{\text{2}}& & 1& & & & \\ & & & & 1& & 3& & ?& & 1& & & \\ & & & 1& & ?& & ?& & ?& & 1& & \end{array}$$

En dan krijgen we 2 + 1 = 3:

$$\begin{array}{cccccccccccccc}& & & & & & & 1& & & & & & \\ & & & & & & 1& & 1& & & & & \\ & & & & & 1& & \boxed{\text{2}}& & \boxed{\text{1}}& & & & \\ & & & & 1& & 3& & 3& & 1& & & \\ & & & 1& & ?& & ?& & ?& & 1& & \end{array}$$

Zo gaan we verder en met elke volgende rij krijgen we een volgend deel van de driehoek van Pascal:

$$\begin{array}{}& & & & & & & 1& & & & & & \\ & & & & & & 1& & 1& & & & & \\ & & & & & 1& & 2& & 1& & & & \\ & & & & 1& & 3& & 3& & 1& & & \\ & & & 1& & 4& & 6& & 4& & 1& & \\ & & 1& & 5& & 10& & 10& & 5& & 1& \\ & 1& & 6& & 15& & 20& & 15& & 6& & 1\end{array}$$

De driehoek van Pascal is natuurlijk oneindig, we kunnen steeds meer rijen maken. Maar altijd geldt dat we aan de randen enen hebben en dat in de driehoek getallen staan die ontstaan zijn als som van de getallen boven dat getal. Het getal 15 in de laatste rij is bijvoorbeeld ontstaan als som van de getallen 5 en 10 erboven.

Basiseigenschappen van de driehoek van Pascal

De eerste basiseigenschap hebben we al genoemd: aan de zijkanten van de driehoek staan altijd enen:

$$\begin{array}{}& & & & & & & \boxed{\text{1}}& & & & & & \\ & & & & & & \boxed{\text{1}}& & \boxed{\text{1}}& & & & & \\ & & & & & \boxed{\text{1}}& & 2& & \boxed{\text{1}}& & & & \\ & & & & \boxed{\text{1}}& & 3& & 3& & \boxed{\text{1}}& & & \\ & & & \boxed{\text{1}}& & 4& & 6& & 4& & \boxed{\text{1}}& & \\ & & \boxed{\text{1}}& & 5& & 10& & 10& & 5& & \boxed{\text{1}}& \\ & \boxed{\text{1}}& & 6& & 15& & 20& & 15& & 6& & \boxed{\text{1}}& \end{array}$$

In de “tweede schuine rij” staan altijd alle natuurlijke getallen:

$$\begin{array}{}& & & & & & & 1& & & & & & \\ & & & & & & 1& & \boxed{\text{1}}& & & & & \\ & & & & & 1& & \boxed{\text{2}}& & 1& & & & \\ & & & & 1& & \boxed{\text{3}}& & 3& & 1& & & \\ & & & 1& & \boxed{\text{4}}& & 6& & 4& & 1& & \\ & & 1& & \boxed{\text{5}}& & 10& & 10& & 5& & 1& \\ & 1& & \boxed{\text{6}}& & 15& & 20& & 15& & 6& & 1\end{array}$$

Is het je trouwens opgevallen dat de driehoek van Pascal symmetrisch is? Elke rij is hetzelfde, of je hem nu van links naar rechts leest of van rechts naar links.

Driehoeksgetallen

In de derde schuine rij staan dan de getallen 1, 3, 6, 10, 15…

$$\begin{array}{}& & & & & & & 1& & & & & & \\ & & & & & & 1& & 1& & & & & \\ & & & & & 1& & 2& & \boxed{\text{1}}& & & & \\ & & & & 1& & 3& & \boxed{\text{3}}& & 1& & & \\ & & & 1& & 4& & \boxed{\text{6}}& & 4& & 1& & \\ & & 1& & 5& & \boxed{\text{10}}& & 10& & 5& & 1& \\ & 1& & 6& & \boxed{\text{15}}& & 20& & 15& & 6& & 1\end{array}$$

Wat is er interessant aan deze getallen? Deze getallen noemen we driehoeksgetallen. Stel je voor dat je een aantal rondjes hebt en die in de vorm van een driehoek wilt leggen. Hoeveel rondjes heb je dan nodig? Kijk eens naar de volgende afbeelding:

We zien dat we voor een driehoek met zijde 1 precies één rondje nodig hebben. Voor zijde twee hebben we drie rondjes nodig, voor zijde drie hebben we zes rondjes nodig en voor zijde vier hebben we tien rondjes nodig. Het aantal rondjes dat we nodig hebben, is altijd een driehoeksgetal, dat we in de driehoek van Pascal vinden.

Som van een rij

Wat als we elke rij in de driehoek van Pascal zouden optellen?

$$\begin{array}{}& & & & & & & 1& & & & & & & =1\\ & & & & & & 1& & 1& & & & & & =2\\ & & & & & 1& & 2& & 1& & & & & =4\\ & & & & 1& & 3& & 3& & 1& & & & =8\\ & & & 1& & 4& & 6& & 4& & 1& & & =16\\ & & 1& & 5& & 10& & 10& & 5& & 1& & =32\\ & 1& & 6& & 15& & 20& & 15& & 6& & 1& =64\end{array}$$

We zien dat de som van elke rij twee keer zo groot is als de som van de vorige rij. Alle sommen zijn dus gelijk aan een macht van twee. Als we de bovenste rij rij nul noemen, kunnen we schrijven dat de som van de n-de rij van de driehoek van Pascal gelijk is aan 2ⁿ.

Priemgetallen

We noemen de bovenste rij van de driehoek rij nul. Dan geldt: kiezen we de n-de rij, waarbij n een priemgetal is, dan zijn alle getallen van deze rij deelbaar door het getal n (behalve de enen aan de rand).

Neem bijvoorbeeld n = 5. Het getal vijf is een priemgetal. De vijfde rij ziet er zo uit:

$$\begin{array}{}& & & & & & & 1& & & & & & \\ & & & & & & 1& & 1& & & & & \\ & & & & & 1& & 2& & 1& & & & \\ & & & & 1& & 3& & 3& & 1& & & \\ & & & 1& & 4& & 6& & 4& & 1& & \\ & & 1& & \boxed{\text{5}}& & \boxed{\text{10}}& & \boxed{\text{10}}& & \boxed{\text{5}}& & 1& \\ & 1& & 6& & 15& & 20& & 15& & 6& & 1\end{array}$$

Elk van deze gemarkeerde getallen is deelbaar door het getal vijf.

Binomium van Newton

Je kent vast de formules om (a + b)² of (a + b)³ uit te rekenen:

$$\begin{array}{rcl}(a+b{)}^2& =& a^2+2ab+b^2\\ (a+b{)}^3& =& a^3+3a^{2}b+3a{b}^2+b^3\end{array}$$

We kunnen opmerken dat de coëfficiënten van de afzonderlijke termen overeenkomen met de getallen in de driehoek van Pascal. Kijk bijvoorbeeld naar de uitdrukking

$$a^3+3a^{2}b+3a{b}^2+b^3$$

Eerst schrijven we bij de termen a³ en b³ een vermenigvuldiging met één erbij, zodat het duidelijker is:

$$1a^3+3a^{2}b+3a{b}^2+1b^3$$

Nu zien we dat de coëfficiënten waarmee we de termen vermenigvuldigen, gelijk zijn aan de derde rij van de driehoek van Pascal (als we de bovenste rij als nulde rekenen):

$$\boxed{\text{1}}{a}^3+\boxed{\text{3}}{a}^{2}b+\boxed{\text{3}}a{b}^2+\boxed{\text{1}}{b}^3$$

Aan dit verschijnsel is een apart artikel gewijd: het binomium van Newton.