Uniforme en normale verdeling

Er bestaan twee typische frequentieverdelingen die we ook in de praktijk regelmatig tegenkomen. Het gaat om de uniforme frequentieverdeling en de normale frequentieverdeling.

Uniforme frequentieverdeling

Een uniforme verdeling betekent dat alle waarden in onze gegevensverzameling even vaak voorkomen. We kunnen bijvoorbeeld tellen hoeveel maanden de jaren 2000, 2001, …, 2009 hadden:

Als we met een klassieke, geïdealiseerde dobbelsteen gooien, is de kans dat er een 1 valt $\frac{1}{6}$, de kans dat er een 2 valt $\frac{1}{6}$ enzovoort. We spreken dan van een uniforme kansverdeling, omdat elke uitkomst dezelfde kans heeft.

Een niet-uniforme verdeling hebben we als we een valse dobbelsteen hebben, waarop met kans $\frac{1}{3}$ altijd een zes valt. De andere kanten kunnen dan niet ook kans $\frac{1}{3}$ hebben. Zo kunnen we ook het aantal dagen in de afzonderlijke maanden tellen — niet alle maanden hebben evenveel dagen, dus het zou geen uniforme frequentieverdeling zijn.

Normale kansverdeling

De normale verdeling wordt soms ook gaussverdeling genoemd. Ze wordt alleen gebruikt bij continue toevalsvariabelen. De standaardnormale verdeling heeft deze vorm:

Deze kromme wordt beschreven door de zogeheten gaussfunctie, die de volgende vorm heeft:

$$f(x)=\frac{1}{\sigma \sqrt{2\pi }}{\mathrm{e}}^{-\frac{{(x-\mu )}^2}{2{\sigma }^2}}$$

De functie is vrij ingewikkeld, je hoeft haar niet te onthouden. We zien echter dat we de normale verdeling kunnen parametriseren met het gemiddelde en de standaardafwijking/variantie. Voor verschillende waarden van het gemiddelde en de afwijking kunnen we dan verschillende grafieken krijgen:

De normale verdeling is belangrijk omdat ze verschillende verdelingen die we in werkelijkheid kunnen tegenkomen vrij getrouw nabootst. We zien dat de kromme altijd één globaal maximum heeft, en wel precies in het punt van de gemiddelde waarde. De rode kromme heeft bijvoorbeeld het maximum in het punt X = 0, de gemiddelde waarde van deze grootheid is dus nul. De kromme is symmetrisch, ze is lijnsymmetrisch ten opzichte van de lijn die loodrecht op de X-as staat en door het gemiddelde gaat, dus door het punt X = 0. Met andere woorden — de kromme ziet er links van nul hetzelfde uit als rechts van nul. De groene kromme heeft dezelfde eigenschappen, alleen niet met nul, maar met het punt X = −2.

De normale verdeling kan de verdeling van intelligentie of IQ onder mensen getrouw beschrijven. De gemiddelde waarde van het IQ is — per definitie — 100. Daarbij geldt dat er ongeveer evenveel mensen zijn met een IQ hoger dan 100 als met een IQ lager dan 100. Er zijn ongeveer evenveel licht ondergemiddeld als licht bovengemiddeld intelligente mensen, en evenveel domkoppen als genieën. Al lijkt dat soms anders :-). Een grafiek met de globale verdeling van het IQ:

Bij de normale verdeling speelt de standaardafwijking een grote rol. Als we een verdeling hebben die normaal is en standaardafwijking σ heeft, dan geldt dat ongeveer 68% van de waarden in het interval [μ − σ, μ + σ] ligt. Ongeveer 68% van de waarden wijkt dus hooguit één standaardafwijking af van het gemiddelde. Ongeveer 95% van de waarden ligt dan in het interval [μ − 2σ, μ + 2σ] en 99,7% van de waarden in het interval [μ − 3σ, μ + 3σ]. Dat laat de volgende afbeelding overzichtelijk zien:

Bronnen

• Sommige afbeeldingen komen van Wikipedia, uit de artikelen Normale verdeling en Intelligence.