✖

Kropper

For å forstå forklaringen nedenfor trenger du ingen spesielle matematiske ferdigheter eller forkunnskaper. Det holder å kunne helt grunnleggende matematikk fra skolen og å ha lyst til å lære noe nytt.

Skrekkbildet algebraisk kropp

Hvis selve navnet algebraisk kropp får deg til å grøsse, kan du slappe av: det er virkelig ingenting å være redd for. En slik kropp er i virkeligheten en veldig enkel ting, så lenge vi ser på den fra riktig vinkel.

Algebraisk kropp er en hvilken som helst mengde pluss to binære operasjoner som oppfyller visse betingelser. Det er alt. Ikke mer og ikke mindre. Som du ser, er det ikke noe farlig eller skremmende her. Og når vi vet dette, kan vi uten frykt se litt nærmere på det.

Mengden av elementer i kroppen

Vi kaller den vilkårlige mengden vår T, og elementene i den kaller vi elementer i kroppen. Tro meg, mengden av elementer i en kropp kan være helt vilkårlig. Det kan være mengden av alle partall, mengden av alle sokker som du ikke har noen make til, eller kanskje samlingen din av plysjelefanter. Den eneste betingelsen er vel at mengden T ikke kan være tom. Da ville vi nemlig ikke hatt særlig moro.

Binær operasjon

Hvis det ikke med en gang er klart for deg hva en binær operasjon egentlig er, kan du tenke på den som en liten kjøttkvern. Du legger to elementer fra en mengde oppi (derfor «binær» i navnet), vrir litt på sveiven, og ut kommer et nytt element fra den samme mengden. Divisjon er for eksempel en slik fin binær operasjon. Lurer du på hva 10 / 5 er? Ta den binære operasjonen divisjon (kjøttkvernen), der mengden din er mengden av de reelle tallene. Putt først inn tieren og så femmeren, vri på sveiven, og se der, ut kommer tallet to.

Vi gir de to operasjonene våre navnene addisjon og multiplikasjon, og skriver dem ⊕ og ⊗. Ikke la navnene lure deg. Disse operasjonene trenger ikke ha mye til felles med addisjonen og multiplikasjonen vi vanligvis bruker. Det er nettopp fordi elementene i en kropp kan være hvilke som helst objekter. På plysjelefanter og sokker kan «vår» addisjon og multiplikasjon ikke brukes.

Operasjoner på en kropp

Operasjonene ⊕ og ⊗ må oppfylle visse betingelser. Vi kan ikke innføre dem helt fritt. Poenget med å innføre dem er nemlig å generalisere den vanlige addisjonen og multiplikasjonen som vi bruker på tall. Vi vil at operasjonene skal kunne brukes på elementene i kroppen, som vi allerede vet kan være helt vilkårlige objekter, altså ikke bare tall. Likevel vil vi at ⊕ og ⊗ skal beholde en slags grunnleggende mening som addisjon og multiplikasjon. Det sørger vi for ved å innføre ti betingelser som operasjonene må oppfylle for at strukturen vår skal være en kropp. Disse betingelsene kaller vi kroppsaksiomene. Her er de:

  1. Kommutativitet for addisjon — For to vilkårlige elementer a, b i kroppen T må det gjelde at a ⊕ b = b ⊕ a.
  • Assosiativitet for addisjon — For tre vilkårlige elementer a, b, c i kroppen T må det gjelde at (a ⊕ b) ⊕ c = a ⊕ (b ⊕ c).
  • Eksistens av nullelement — Det må finnes et element i kroppen T, som vi kaller 0 (obs, ikke forveksle med tallet 0), og som har den egenskapen at a ⊕ 0 = a for et vilkårlig element a i kroppen T.
  • Eksistens av motsatt element — Til hvert element a i kroppen T må det finnes et element i kroppen T, som vi kaller -a, og som har den egenskapen at a ⊕ −a = 0.
  • Kommutativitet for multiplikasjon — For to vilkårlige elementer a, b i kroppen T må det gjelde at a ⊗ b = b ⊗ a.
  • Assosiativitet for multiplikasjon — For tre vilkårlige elementer a, b, c i kroppen T må det gjelde at (a ⊗ b) ⊗ c = a ⊗ (b ⊗ c).
  • Eksistens av enhetselement — Det må finnes et element i kroppen T, som vi kaller 1 (obs, ikke forveksle med tallet 1), og som har den egenskapen at a ⊗ 1 = a for et vilkårlig element a i kroppen T.
  • Eksistens av invers element — Til hvert element a i kroppen T som er forskjellig fra 0, må det finnes et element i kroppen T, som vi kaller a−1, og som har den egenskapen at a ⊗ a−1 = 1.
  • Distributivitet - For tre vilkårlige elementer a, b, c i kroppen T må det gjelde at a ⊗ ( b ⊕ c ) = ( a ⊗ b) ⊕ (a ⊗ c).
  • Ikke-trivialitet — Nullelementet og enhetselementet kan ikke være det samme elementet. Altså 0 ≠ 1

For deg som vil øve litt på matematisk formalisme, har jeg skrevet kroppsaksiomene slik de skrives på matematikernes eget språk.

  1. ∀a,b ∈ T   a ⊕ b = b ⊕ a
  • ∀a,b,c ∈ T   (a ⊕ b) ⊕ c = a ⊕ (b ⊕ c)
  • ∃0 ∈ T   ∀a ∈ T   a ⊕ 0 = a
  • ∀a ∈ T   ∃−a ∈ T   a ⊕ −a = 0
  • ∀a,b ∈ T   a ⊗ b = b ⊗ a
  • ∀a,b,c ∈ T   (a ⊗ b) ⊗ c = a ⊗ (b ⊗ c)
  • ∃1 ∈ T   ∀a ∈ T   a ⊗ 1 = a
  • ∀a ∈ T   ∃a−1 ∈ T, a ≠ 0   a ⊗ a−1 = 1
  • ∀a,b,c ∈ T   a ⊗ ( b ⊕ c ) = ( a ⊗ b) ⊕ (a ⊗ c)
  • 0 ≠ 1

Nå tenker du kanskje at det er skrekkelig mange aksiomer. Men alle er lette å forstå når vi tenker over hva de betyr. De fire første beskriver de vanlige egenskapene til addisjon, og de fire neste de vanlige egenskapene til multiplikasjon, som dessuten ligner veldig på de fire første. Det niende aksiomet sier hvordan addisjon og multiplikasjon henger sammen. Bare det tiende er av mer teknisk art, og sørger for at kroppen ikke kan få noen rare egenskaper.

Legg merke til hvor fint vi har unngått å innføre subtraksjon og divisjon. Disse operasjonene er definert ved hjelp av å addere det motsatte elementet og å multiplisere med det inverse elementet. For eksempel er 4 − 2 bare en forkortelse for 4 + (−2), og 4 / 2 er bare en forkortelse for 4 · 2−1.

En oversikt over kropper

Nå har vi formelt innført begrepet algebraisk kropp. Hvis vi skulle uttrykke intuitivt hva en kropp egentlig er, kan vi si at det er en slags struktur som lar oss addere, subtrahere, multiplisere og dividere vilkårlige objekter, så sant vi kan definere disse operasjonene på dem, og det på en måte som ligner på hvordan vi gjør det i elementær aritmetikk.

Vår første kropp

Når vi nå så fint har funnet på og beskrevet kropper, la oss konstruere en virkelig kropp. Først velger vi mengden av elementer i kroppen. Foreløpig skal vi ikke eksperimentere for mye med plysjelefanter eller sokker, og velger de naturlige tallene som elementer i kroppen. For at alt skal bli skikkelig enkelt, tar vi bare tallene 0, 1, 2, 3, 4. Mengden T vår ser altså slik ut:

T={0,1,2,3,4}

Nå mangler vi bare å definere operasjonene ⊕ og ⊗ på en lur måte. Her bruker vi addisjonen og multiplikasjonen som vi allerede kjenner fra aritmetikken. Vi endrer dem bare litt, slik at de fungerer i kroppen vår.

  • Operasjonen ⊕ Summen av to elementer a ⊕ b finner vi ved å regne ut resten etter divisjon med fem av summen a + b . Addisjon i kroppen vår ser altså slik ut: 1 ⊕ 1 = 2    1 ⊕ 3 = 4    2 ⊕ 3 = 0    4 ⊕ 2 = 1 osv.
  • Operasjonen ⊗ Produktet av to elementer a ⊗ b finner vi ved å regne ut resten etter divisjon med fem av produktet ab . Multiplikasjon i kroppen vår ser altså slik ut: 1 ⊗ 1 = 1    2 ⊗ 2 = 4    2 ⊗ 3 = 1    4 ⊗ 2 = 3    osv.

Og så er vi i mål. Nå har vi laget en fullverdig kropp. Det gjenstår bare å kontrollere at alle aksiomene gjelder, slik at vi er sikre på at vi virkelig har laget en kropp og ikke et eller annet misfoster.

  • Kommutativitet og assosiativitet for addisjon og multiplikasjon kan du sikkert kontrollere selv, og det samme gjelder distributivitet.
  • Av måten vi definerte addisjon og multiplikasjon på, følger det også at det finnes et nullelement (i vårt tilfelle er det tilfeldigvis akkurat tallet 0) og et enhetselement (i vårt tilfelle 1), og at disse er forskjellige.
  • Nå gjenstår det bare å kontrollere at det finnes motsatte og inverse elementer. Alle ser sikkert at til hvert tall i mengden {0, 1, 2, 3, 4} finnes det et tall i den samme mengden slik at summen av dem blir null eller fem (altså 0 i kroppen vår).
  • Tilsvarende gjelder for multiplikasjon: til hvert tall i mengden som ikke er null, finnes det et tall som gir produktet resten 1 etter divisjon med fem (altså 1 i kroppen vår). For eksempel har tallet 4 det inverse elementet 4, fordi 4 · 4 = 16, og etter divisjon med 5 er resten 1. Prøv å finne de andre inverse elementene!

Eksempler på flere kropper

Nylig laget vi en kropp som har fem elementer. Det viser seg at vi på samme måte kan lage flere kropper der antallet elementer er et primtall. Slike kropper kalles restklassekropper og skrives Zp, der p er antallet elementer i kroppen. De brukes svært ofte både i matematikk og informatikk, og selvfølgelig også i ulike eksamensoppgaver.

Går det an å lage kropper med et annet antall elementer enn et primtall? Ja, det går, men ikke på den måten som jeg nettopp viste. Hvorfor ikke? Tenk deg en kropp laget etter framgangsmåten ovenfor, med bare fire elementer. I en slik kropp gjelder 2 ⊗ 2 = 0. Altså er produktet av to tall som ikke er null, lik null. Det kan ikke skje i en kropp. Det er riktignok ikke direkte forbudt i kroppsaksiomene, men det kan ganske lett utledes fra dem. Det viser seg imidlertid at hvis vi bruker polynomer i stedet for tall som elementer i kroppen, kan vi lage kropper der antallet elementer er en potens av et primtall. Altså finnes det en kropp med fire elementer, siden fire er en potens av to.

Selvfølgelig finnes det også kropper med uendelig mange elementer. For eksempel danner mengden av de reelle tallene sammen med den vanlige addisjonen og multiplikasjonen vår også en kropp. Det gjelder selvfølgelig ikke bare de reelle tallene, men også de rasjonale og de komplekse. De naturlige og de hele tallene danner ikke en kropp, fordi de mangler motsatte og inverse elementer.

Og det beste til slutt. Ingen foreskriver selvfølgelig at kropper må bestå av tall, polynomer eller noen matematiske objekter i det hele tatt. Som jeg har sagt, kan du lage en kropp av sokker, plysjelefanter og så videre. Det eneste problemet blir vel å definere addisjon og multiplikasjon på elefanter. Det interessante her er at du aldri vil klare å lage en kropp som inneholder seks sokker. For seks er verken et primtall eller en potens av et primtall. Men du kan fint lage en kropp med sytten sokker, nummerere dem (hvit sokk er 0, svart 1, grønn 2 og så videre) og addere dem på samme måte som vi adderte i restklassekroppen.

Og hva er det hele godt for?

Hvis du har lest helt hit, lurer du kanskje på hva i all verden vi skal med en så sprø struktur som en algebraisk kropp. Jo, kropper er svært viktige, både fra et teoretisk synspunkt, fordi de beskriver og ikke minst generaliserer det man kunne kalle regning, altså aritmetikk, og fra et praktisk synspunkt, fordi mange problemer i matematikk og informatikk blir enklere å løse hvis vi tenker på dem som regning i kropper. Endelige kropper har for eksempel stor betydning for kodene på CD- og DVD-plater. Når det gjelder selve lineær algebra, er kropper dessuten grunnsteinen for andre, mer kompliserte og dermed også langt mer nyttige og interessante strukturer, for eksempel vektorrom. De utgjør nemlig en slags grunnlag for hele lineær algebra.

Artikkelen er skrevet av Lishaak.