Relasjoner

En relasjon er den matematiske motparten til det vanlige begrepet «forhold». I hverdagen er for eksempel Nora i et forhold til Ingrid, nærmere bestemt forholdet «mor — datter». Et annet slikt forhold kan være «land — hovedstaden i dette landet». Som eksempel kan vi ta Egypt — Kairo.

Flere eksempler på relasjoner

La oss ta flere eksempler til hjelp. I innledningen nevnte vi relasjonene (forholdene) «å være moren til datteren sin» og «å være hovedstaden i et land». La oss se på en til: «å være et partall». I denne relasjonen er tallene 2, 4, 8, 18, 58, 66 og mange andre. Tallene 1, 3, −7, 19 er ikke i relasjonen «å være et partall». En relasjon fra hverdagen kan være «å være en mann». Jakob, Henrik, Lukas og Filip er i relasjonen «å være en mann».

Et annet eksempel kan være relasjonen «mindre enn». For eksempel er tallet tre «mindre enn» tallet fem. Matematisk kan vi skrive det som 3<5. Eller likhetsrelasjonen: tallet tre «er lik» tallet tre, matematisk: 3 = 3.

Vi kan også ha mer kompliserte eksempler: «far og mor er foreldrene til barnet». I denne relasjonen er det en trippel av personer: faren Daniel, moren Emma og barnet Sofie. I matematikk kunne vi finne på en relasjon med tre elementer slik: summen av de to første tallene er lik det tredje tallet. For eksempel er disse tallene, i denne rekkefølgen, i relasjonen: 3, 4, 7, fordi 3 + 4 = 7. Disse tallene er ikke i relasjonen: 3, 5, 12, fordi 3 + 5 ≠ 12.

Aritet til en relasjon

Aritet er et rart ord, men det sier bare hvor mange elementer vi har i relasjonen. I de foregående eksemplene jobbet vi med ulikt antall elementer. I relasjonen «å være en mann» klarte vi oss med ett element, så vi kan si: «Per er en mann». Vi trenger bare ett navn, ett element. Om en slik relasjon sier vi at den er unær.

I neste eksempel hadde vi relasjonen «mindre enn». Den jobbet med to tall, to elementer. Vi sa at tallet tre er mindre enn fem. Vi brukte to elementer, så relasjonen er binær.

I det siste eksempelet brukte vi til sammen tre elementer: summen av to tall skulle være lik det tredje. Vi hadde altså tallene a, b, c, og det måtte gjelde at a + b = c. Denne relasjonen er ternær.

For høyere ariteter kan vi bruke betegnelsen n-ær relasjon. Men vi kan bruke den også for lavere ariteter, og skrive en binær relasjon som en 2-ær relasjon. Elementene i relasjonen skriver vi så som ordnede n-tupler. Hvis vi har en binær relasjon, skriver vi dem som par, vanligvis enten med runde parenteser eller med vinkelparenteser. Så hvis vi vil skrive at tallene tre og fem er i relasjonen «mindre enn», må vi skrive tallene som et par: (3, 5), eventuelt ⟨ 3, 5 ⟩. Vær oppmerksom på at rekkefølgen må passes på, for motsatt rekkefølge ville ikke gjelde: (3, 5) ≠ (5, 3) — fem er ikke mindre enn tre.

Et familieeksempel

Før vi går løs på de matematiske definisjonene, prøver vi enda et typisk eksempel med en familie. La oss si at vi har disse medlemmene av en familie:

• Max: bestefar på farssiden;
• Jakob: far;
• Ingrid: mor;
• Sofie: datter;
• Filip: sønn.

Først finner vi alle medlemmene av familien som svarer til relasjonen: «å være en mann». Dette er en 1-ær, altså unær, relasjon. I relasjonen vil det derfor alltid være bare ett element, ett familiemedlem. Nå må vi skrive opp alle familiemedlemmene som er av hankjønn. Rekkefølgen spiller ingen rolle her. Relasjonen «å være en mann» inneholder altså disse elementene: {(Max), (Jakob), (Filip)}. Legg merke til at selv om dette er en unær relasjon, har vi brukt parenteser. Det er ikke nødvendig, notasjonen ville vært lesbar uten dem også, men for å være konsekvent har jeg beholdt parentesene. Samlingen av alle elementene i relasjonen er så en vanlig mengde, derfor de krøllete parentesene.

Nå finner vi alle relasjonene «far — sønn». Dette er allerede ved første øyekast en binær relasjon, i resultatet vil det forekomme ordnede par av elementer. Den resulterende mengden ser slik ut: {(Jakob, Filip), (Max, Jakob)}. Faren Jakob er far til sønnen Filip, og bestefaren Max er far til faren Jakob. Legg merke til at rekkefølgen virkelig spiller en rolle: Jakob er med to ganger, men én gang på første plass som far og én gang på andre plass som sønn.

Vi prøver enda en relasjon: «forelder — barn». Her blir det flere, for på første plass kan hvilken som helst av foreldrene stå, både far og mor, og på andre plass kan hvilket som helst barn stå, både sønn og datter. Vi må også ta med at bestefar Max er forelder til Jakob, men ikke til Ingrid. Jakob og Ingrid er derimot begge foreldre til Sofie og Filip. Sofie og Filip er ikke foreldre til noen, siden de bare er nitten og tretten år gamle. Resultatet blir disse ordnede parene: {(Max, Jakob), (Jakob, Sofie), (Jakob, Filip), (Ingrid, Sofie), (Ingrid, Filip)}. Legg merke til at både Jakob og Ingrid er med to ganger — én gang som foreldre til datteren Sofie og én gang som foreldre til Filip.

En siste godbit om binære relasjoner. La oss si at vi har denne relasjonen: «søsken — søsken». Her må vi være klar over at rekkefølgen spiller en rolle i relasjoner, så hvis vi bare skrev «Sofie — Filip» som resultat for denne relasjonen, ville det vært feil, for det er et helt annet ordnet par enn «Filip — Sofie». Derfor er det riktige resultatet: {(Sofie, Filip), (Filip, Sofie)}.

Og til slutt et lite eksempel på en ternær relasjon: Skriv opp alle ordnede tripler i denne relasjonen: «bestefar — far — barn». I oppgaven har vi bare én bestefar og én far, men to etterkommere. Det er ikke nok å skrive bare varianten med Sofie eller med Filip, vi må skrive opp begge. Det ville vært noe annet hvis det sto «sønn» i stedet for «barn» til slutt. Det riktige resultatet er: {(Max, Jakob, Sofie), (Max, Jakob, Filip)}.

Definisjon av unær relasjon

La oss undersøke de enkleste relasjonene, de unære. Med en unær relasjon mener vi en mengde av elementer. Mengden {2, 3} kan representere en relasjon. For eksempel relasjonen «å være et primtall mindre enn fem» eller «å være en ikke-triviell divisor i tallet seks», avhengig av tolkningen vår.

Skarpe lesere har lagt merke til at den andre relasjonen er definert litt rart. Den sier at relasjonen skal inneholde de ikke-trivielle divisorene i tallet seks, og i den resulterende mengden har vi tallene 2 og 3. Mangler det ikke noen der? Tallene 1 og 6 er trivielle divisorer, dem er vi ikke interessert i. Men de negative tallene, altså −2 og −3, burde også være med. Mengden av alle ikke-trivielle divisorer i tallet 6 ser slik ut: {−3, −2, 2, 3}.

På samme måte som vi for funksjoner angir definisjonsmengden, angir vi for en relasjon en underliggende mengde — mengden som vi velger elementene i relasjonen fra. I de foregående eksemplene angav vi for eksempel en familie, der det var bestefar Max og så videre. Vi valgte ikke fedre og barn fra alle familier i verden. Hvis vi angir mengden av de naturlige tallene som underliggende mengde, er relasjonen vår i orden.

Nå kan vi gå løs på definisjonen av relasjon. Hvis vi har de naturlige tallene som underliggende mengde, hvilke elementer kan den unære relasjonen vår inneholde? Igjen bare naturlige tall. Enten alle eller bare en del av dem. Vi kan altså si at relasjonen er en delmengde av mengden av de naturlige tallene. Mer generelt: hvis vi har en unær relasjon R og en underliggende mengde M, gjelder R ⊆ M, relasjonen R er en delmengde av mengden M.

Definisjon av binær relasjon

Hvordan blir det for en binær relasjon? I en binær relasjon er elementene i relasjonen R ordnede par. Hvert element i paret kan være fra en ulik mengde. Vi kan ha relasjonen «forelder — antall barn». Forelderen velges fra mengden av mennesker, for eksempel i Europa, og antall barn velges fra mengden av de naturlige tallene pluss null.

Hvordan får vi mengden av alle mulige par ut av to mengder? Ved hjelp av kartesisk produkt. Hvis vi har mengdene A = {a, b, c}, B = {1, 2}, får vi med det kartesiske produktet:

$$A\times B=\{(a,1),(a,2),(b,1),(b,2),(c,1),(c,2)\}$$

Det er mengden av alle mulige par vi kan få ved at et element fra mengden A står på første plass og et element fra mengden B på andre plass. Hvis vi altså har en binær relasjon R mellom mengdene A og B, kan vi definere denne relasjonen som R ⊆ A × B.

Hvis vi beholdt de foregående mengdene A og B og definerte en relasjon R mellom dem slik: «bokstav — bokstavens plass i alfabetet», ville denne relasjonen se slik ut: R = {(a, 1), (b, 2)}. Bokstaven c er ikke med her, fordi paret (c, 3) ikke forekommer i det kartesiske produktet A × B.

Definisjon av n-ær relasjon

Til slutt definerer vi en generell n-ær relasjon R mellom mengdene M₁, M₂, …, M_n:

$$R\subseteq M_1\times M_2\times \dots \times M_n$$

En relasjon er altså en delmengde av ordnede n-tupler. Et eksempel på en binær relasjon kan være relasjonen «mindre enn», altså <. Den kan vi definere mellom noen tallmengder, for eksempel mellom de naturlige tallene. Da ser relasjonen slik ut:

$$<\subseteq \mathbb{N}\times \mathbb{N}$$

(Ikke bli skremt av at tegnet < står så rart på venstre side. Det er bare navnet på relasjonen. Det kunne igjen stått R der, og da ville R representert relasjonen mindre enn.)

Konkret ser relasjonen slik ut:

$$\begin{array}{rcl}<=& & (1,2),(1,3),(1,4),(1,5),\dots \\ & & (2,3),(2,4),(2,5),(2,6),\dots \\ & & (3,4),(3,5),(3,6),(3,7),\dots \\ & & (4,5),(4,6),(4,7),(4,8),\dots \\ & & \dots \\ & & \end{array}$$

Det er mengden av ordnede par der det naturlige tallet på første plass er mindre enn det naturlige tallet på andre plass.

Skrivemåte for relasjoner

Relasjoner gir vi vanligvis navn med store bokstaver R, S osv. eller med innarbeidede symboler: <, ⊆, = osv. Av de foregående definisjonene ser vi at en relasjon i virkeligheten er en mengde. Nesten alt i matematikken er jo egentlig en mengde :-). Derfor kan vi, hvis vi vil si at elementet r hører til relasjonen R, skrive det som r ∈ R.

For eksempel kan vi skrive (1, 3) ∈ <, og det betyr at paret av tallene en og tre hører til relasjonen mindre enn. For binære relasjoner møter vi ofte en hyggeligere skrivemåte som du kjenner fra grunnskolen. I stedet for å bruke operatoren «være element i» ∈ skriver vi rett og slett 1 < 3. På samme måte skriver vi vanligvis ikke (5, 5) ∈ =, men 5 = 5.