Vektorrom

Et vektorrom, av og til også kalt et lineært rom, er en mengde av elementer som må oppfylle noen egenskaper som gjør at elementene i mengden, som vi kaller vektorer, oppfører seg «pent».

Et eksempel på et vektorrom

Før vi definerer vektorrom, viser vi et eksempel på et vektorrom som du allerede burde kjenne fra skolen, bare at du ikke vet at det er et vektorrom. Det er de vanlige vektorene i planet.

Med en vektor i planet mener vi et ordnet par (a, b), der a, b ∈ ℝ. Det er hvilke som helst koordinater i rommet ℝ² (det betyr det kartesiske produktet ℝ × ℝ). En slik vektor kan vi vise som en pil fra punktet (0, 0) til punktet (a, b). Vektoren (2, 3) ville se slik ut:

Vi vet at vektorer kan adderes etter regelen (a, b) + (c, d) = (a + c, b + d). Summen av vektorene (2, 3) + (4, 1) ville være lik vektoren (2 + 4, 3 + 1) = (6, 4). Grafisk ville vi vist det slik:

Samtidig kan vi regne ut k ganger en vektor, der k er et reelt tall. k ganger en vektor skriver vi som k · (a, b). Resultatet er en ny vektor som er definert som k · (a, b) = (k · a, k · b). Grafisk viser det seg ved at vektoren blir «strukket», «forkortet» eller endrer retning. Hvis vi har vektoren u = (2, 3), ser vektorene 2 · u, $\frac{1}{2}u$ og −1 · u slik ut:

At mengden av alle vektorer i ℝ² med operasjonene definert på denne måten danner et vektorrom, skal vi bevise senere. Først definerer vi vektorrom, og på dette vektorrommet ℝ² viser vi de enkelte egenskapene.

Definisjon av vektorrom

Et vektorrom (eller også lineært rom) er en mengde V som ikke er tom, og elementene i den kaller vi vektorer. Videre må det finnes to operasjoner på mengden: addisjon av vektorer, altså en avbildning V × V ⟶ V, og multiplikasjon av en vektor med et reelt tall, altså en avbildning ℝ × V ⟶ V. (Mer generelt kan vi i stedet for mengden av de reelle tallene bruke en hvilken som helst kropp, men om det i senere artikler.) Addisjon av vektorer skriver vi med tegnet +, multiplikasjon med ·. Disse to operasjonene må oppfylle følgende betingelser. Altså, for alle x, y, z ∈ V og for alle a, b ∈ ℝ må det gjelde (legg merke til at vektorene x, y, z er skrevet med fet skrift, mens tallene a, b er skrevet vanlig):

1. x + y = y + x: addisjon av vektorer er kommutativ. Hvis vi går tilbake til eksempelet med vektorer i ℝ², er det likegyldig om vi adderer vektorene slik (2, 3) + (4, 1) eller omvendt: (4, 1) + (2, 3) .

• (x + y) + z = x + (y + z): addisjon av vektorer er assosiativ. Igjen kan vi sette inn noen vektorer fra ℝ², og vi ser at det går opp.
• a · (b · x) = (a · b) · x: den assosiative loven for multiplikasjon. For vektorene våre gjelder at 4 · (5 · (6, 7)) er det samme som (4 · 5) · (6, 7). Begge uttrykkene gir vektoren (20 · 6, 20 · 7).
• a · (x + y) = a · x + a · y: den distributive loven for vektorer fra V. Igjen ser vi at 2 · ((2, 3) + (4, 5)) er det samme som 2 · (2, 3) + 2 · (4, 5). Begge uttrykkene gir vektoren (2 · 6, 2 · 8).
• (a + b) · x = a · x + b · x: distributivitet for addisjon av tall.
• 1 · x = x: hvis vi multipliserer en vilkårlig vektor med det reelle tallet 1, endres ikke verdien til vektoren. I vårt tilfelle gjelder at 1 · (5, 8) = (5, 8).
• Det finnes et element 0 ∈ V slik at 0 · x = 0. Den feite nullen, altså 0, er den såkalte nullvektoren, mens den vanlige nullen 0 rett og slett er tallet null. Dette punktet sier at det i V må finnes en vektor som vi får ved å multiplisere en vilkårlig vektor x ∈ V med tallet null. For rommet vårt ℝ² er det vektoren (0, 0), for alle vektorer (a, b) ∈ ℝ² gjelder at 0 · (a, b) = (0, 0).

Dette er alle egenskapene som et vektorrom (lineært rom) V må oppfylle. Hvis vi multipliserer en vektor med et reelt tall a, kaller vi dette tallet a en skalar. Vi snakker derfor ofte om multiplikasjon med en skalar, og med det mener vi et uttrykk på formen a · x, der a er et reelt tall og x er en vektor.

Dobbel betydning av plusstegnet +

Vær oppmerksom på at plusstegnet + i noen uttrykk kan ha dobbel betydning. For eksempel har vi i punktet distributivitet for addisjon av tall likningen (a + b) · x = a · x + b · x. Der adderer tegnet + på venstre side av likningen reelle tall, for både a og b er reelle tall, mens det på høyre side adderer vektorer, for resultatet av produktet a · x er en vektor.

Denne automatiske gjenkjenningen brukes ofte i matematikk — det er alltid klart ut fra sammenhengen hvilken addisjon som menes. Hvis vi har uttrykket x + y og x, y er vektorer, bruker vi vektoraddisjon. Hvis x, y var tall, ville vi brukt vanlig addisjon. Hvis det var matriser, ville vi brukt matriseaddisjon, osv.

Vi kunne brukt et annet tegn for addisjon av vektorer, for eksempel ⊕. Da kunne vi skrevet distributiviteten for addisjon av tall slik: (a + b) · x = a · x ⊕ b · x. Det vanlige + betyr her addisjon av de reelle tallene a, b, tegnet ⊕ betyr addisjon av vektorer. Som regel brukes imidlertid det ene tegnet + for begge versjonene av addisjon, og betydningen skjønner vi av sammenhengen. Det samme gjelder tegnet ·.

Vektorrommet R²

I den første delen definerte vi vektorrommet V = ℝ², og nå skal vi bevise at det virkelig er et vektorrom. Først må vi kontrollere om vi har definert operasjonene addisjon og multiplikasjon riktig. Addisjonen skal addere to vektorer, og resultatet skal være en ny vektor. Det er oppfylt, for (a, b) + (c, d) = (a + c, b + d). Når vi adderer to vektorer fra ℝ², får vi en ny vektor fra ℝ².

Hvis vi for eksempel hadde definert addisjon av vektorer som summen av lengdene deres, ville ikke det vært en gyldig addisjonsoperasjon i et vektorrom. Lengden til vektoren (a, b) regner vi ut som $\sqrt{a^2+b^2}$. Resultatet av summen (3, 4) + (5, 12) ville da være tallet $\sqrt{3^2+4^2}+\sqrt{5^2+{12}^2}=5+13=18$, som ikke er en vektor i rommet ℝ².

Videre må vi kontrollere om vi har definert multiplikasjonen riktig. Multiplikasjonen multipliserer et reelt tall med en vektor fra ℝ², og resultatet skal være en ny vektor fra ℝ². Det er igjen oppfylt, for multiplikasjon med en skalar har vi definert som k · (a, b) = (k · a, k · b).

Etter tur kontrollerer vi alle 7 egenskapene som et vektorrom må oppfylle. For de enkelte vektorene x, y setter vi inn vektorene våre (a, b), (c, d), … etter som det passer, det må du ikke bli skremt av.

1. x + y = y + x, kommutativitet for addisjon av vektorer. Er addisjonen av vektorer vi har definert, kommutativ? Ja, det er den, for den er definert som (a, b) + (c, d) = (a + c, b + d). Hvis vi bytter om vektorene på venstre side, får vi: (c, d) + (a, b) = (c + a, d + b). Siden c + a er summen av to reelle tall og addisjon av reelle tall er en kommutativ operasjon, gjelder c + a = a + c, og det samme for det andre paret: d + b = b + d. Det gjelder altså at (a + c, b + d) = (c + a, d + b).

• (x + y) + z = x + (y + z). Dette blir litt av en lek med parenteser. I bunn og grunn er det enkle omforminger, bare at de blir uoversiktlige, for det blir rett og slett altfor mange parenteser. Vi prøver å regne ut denne summen av vektorer:

$$((a,b)+(c,d))+(e,f)=(a+c,b+d)+(e,f)=((a+c)+e,(b+d)+f)$$

Siden a, c, e er reelle tall og addisjon er assosiativ på de reelle tallene, gjelder (a + c) + e = a + c + e. Det samme for den andre koordinaten. Vi kan altså skrive at

$$((a,b)+(c,d))+(e,f)=(a+c+e,b+d+f)$$

Nå prøver vi å addere de samme vektorene med parentesene plassert på en annen måte:

$$(a,b)+((c,d)+(e,f))=(a,b)+(c+e,d+f)=(a+(c+e),b+(d+f))$$

Igjen gjelder a + (c + e) = a + c + e, så vi kan skrive at

$$(a,b)+((c,d)+(e,f))=(a+c+e,b+d+f)$$

Vi ser altså at uansett hvordan vi setter parenteser rundt summen av tre vektorer, kommer vi alltid fram til den samme vektoren (a + c + e, b + d + f). Addisjon i ℝ² er altså assosiativ og oppfyller også den andre egenskapen til vektorrom.

Du kan prøve å sette inn konkrete tall for variablene a, …, f, og du vil se at det går opp.

• a · (b · x) = (a · b) · x. Igjen skriver vi først ut venstre side av likningen, og for x setter vi inn vektoren (c, d):

$$a\cdot (b\cdot (c,d))=a\cdot (b\cdot c,b\cdot d)=(a\cdot (b\cdot c),a\cdot (b\cdot d))$$

Siden multiplikasjon av reelle tall er assosiativ, får vi likheten a · (b · c) = a · b · c. Vi kan altså skrive:

$$a\cdot (b\cdot (c,d))=(a\cdot b\cdot c,a\cdot b\cdot d)$$

Nå skriver vi ut høyre side av likningen, altså siden (a · b) · x:

$$(a\cdot b)\cdot (c,d)=((a\cdot b)\cdot c,(a\cdot b)\cdot d)$$

Igjen gjelder (a · b) · c = a · b · c, så:

$$(a\cdot b)\cdot (c,d)=(a\cdot b\cdot c,a\cdot b\cdot d)$$

Vi ser at begge sider av likningen gir den samme resulterende vektoren (a · b · c, a · b · d), så likningen gjelder.

• a · (x + y) = a · x + a · y. Framgangsmåten blir den samme, vi skriver ut venstre side av likningen:

$$a\cdot ((c,d)+(e,f))=a\cdot \left((c+e,d+f)\right)=(a\cdot (c+e),a\cdot (d+f))$$

Siden a, c, e er reelle tall, der den distributive loven gjelder, får vi likheten: a · (c + e) = ac + ae. Vi kan altså skrive:

$$a\cdot ((c,d)+(e,f))=(ac+ae,ad+af)$$

Høyre side av likningen:

$$a\cdot (c,d)+a\cdot (e,f)=(ac,ad)+(ae,af)=(ac+ae,ad+af)$$

Vi ser at venstre og høyre side av likningen er like etter omformingene.

• (a + b) · x = a · x + b · x: Vi går fram på en veldig lignende måte som i forrige trinn. Omforming av venstre side av likningen:

$$(a+b)\cdot (c,d)=((a+b)\cdot c,(a+b)\cdot d)=(ac+bc,ad+bd)$$

Høyre side:

$$a\cdot (c,d)+b\cdot (c,d)=(ac,ad)+(bc,bd)=(ac+bc,ad+bd)$$

• 1 · x = x: Jeg tror riktignok ikke at noen i det hele tatt har klart å lese helt hit, men la gå, vi fortsetter :-). Dette punktet er i hvert fall enkelt. Vi skal kontrollere at 1 · (a, b) = (a, b). Det gjelder sikkert, for

$$1\cdot (a,b)=(1\cdot a,1\cdot b)=(a,b)$$

• Det finnes et element 0 ∈ ℝ² slik at 0 · x = 0: det er vektoren (0, 0). For den gjelder at 0 · (a, b) = (0, 0), for

$$0\cdot (a,b)=(0\cdot a,0\cdot b)=(0,0)$$

Størrelsen på vektorrom

Hva er det minste vektorrommet som finnes? Av definisjonen vet vi at et vektorrom er en mengde V som ikke er tom, så den minste mulige størrelsen vi kan tenke oss, er en mengde med én vektor. Av det sjuende punktet i definisjonen vet vi at rommet må inneholde nullvektoren. Mengden V = {0} er altså en kandidat til å være det minste vektorrommet.

Addisjon kan vi definere som 0 + 0 = 0 og multiplikasjon som a · 0 = 0. Uansett hva vi gjør, får vi alltid nullvektoren. Denne mengden med ett element har åpenbart alle de sju påkrevde egenskapene.

Nå vet vi at det finnes et vektorrom med ett element. Finnes det et vektorrom som har to elementer? Kan vi for mengden V = {x, 0} definere operasjonene addisjon og multiplikasjon slik at det blir et vektorrom?

Svaret er at nei, det finnes ikke noe vektorrom med to elementer. Og det finnes heller ikke noe annet endelig vektorrom enn det nevnte med ett element. Alle andre vektorrom er allerede uendelige. Men hvis vi, som antydet, i stedet for mengden av de reelle tallene brukte en annen, endelig, kropp, kunne vi få et annet endelig vektorrom også.

Oppsummering

Definisjonen av vektorrom er ikke helt enkel, vektorene og operasjonene må oppfylle til sammen 7 betingelser, og det er ikke så få. På den andre siden er disse betingelsene ganske trivielle og forståelige — de går ut på at det skal være lett å jobbe med vektorene. Takket være de definerte betingelsene kan vi addere vektorer fra et vektorrom uten å måtte kontrollere om resultatet av addisjonen kan bli en vektor fra et annet vektorrom. På samme måte kan vi multiplisere en vektor med et reelt tall og får alltid en vektor fra det samme rommet. At vektorene og operasjonene deres følger den kommutative, assosiative og distributive loven, er også ganske naturlig.

Vi kunne definert vektorrom også mer generelt. I stedet for mengden av de reelle tallene kan vi ta en hvilken som helst kropp. Men om det i senere artikler.