Distributiv lov

Distributivitet er en egenskap ved to binære operasjoner, som for eksempel addisjon og multiplikasjon. Distributivitet sier oss, for multiplikasjon og addisjon, at vi kan «gange ut en parentes». Hvis vi for eksempel har uttrykket

$$2\cdot (3+4)$$

vet vi at vi kan gange ut parentesen, og da får vi et annet uttrykk

$$2\cdot (3+4)=2\cdot 3+2\cdot 4$$

Begge uttrykkene gir det samme resultatet, tallet 14. Denne utmultipliseringen kunne vi gjøre fordi multiplikasjon på mengden av reelle tall er distributiv over addisjon. Generelt gjelder at hvis vi har to operasjoner · og +, så sier vi at operasjonen · er distributiv over operasjonen + på mengden M hvis det gjelder at

$$\begin{array}{rcl}a\cdot (b+c)& =& (a\cdot b)+(a\cdot c)\\ (b+c)\cdot a& =& (b\cdot a)+(c\cdot a)\end{array}$$

for alle a, b, c ∈ M. Et annet eksempel på distributive operasjoner er operasjonene fra utsagnslogikk, konjunksjon ∧ og disjunksjon ∨. La oss tenke oss at vi har utsagnene A, B og C. Hvis vi sier «A og samtidig (B eller C)», skriver vi det som

$$A\wedge (B\vee C)$$

Og siden konjunksjon er distributiv over disjunksjon, gjelder samtidig

$$(A\wedge B)\vee (A\wedge C)$$

Altså, med ord: «(A og samtidig B) eller (A og samtidig C)». For å ha et eksempel på operasjoner som ikke er distributive, tar vi for eksempel addisjon og subtraksjon:

$$10-(5+3)$$

Det riktige resultatet er selvsagt 2, for når vi har regnet ut parentesen, får vi 10 − 8, som er 2. Hvis vi brukte den distributive regelen på denne utregningen, ville vi fått uttrykket:

$$(10-5)+(10-3)$$

Etter å ha regnet ut parentesene ville vi hatt 5 + 7, som er 12. Vi ser at vi fikk feil svar, så addisjon og subtraksjon er ikke distributive.

Flere eksempler: noen operasjoner med matriser oppfyller den distributive loven. Vektorer i et vektorrom gjør det også. Operasjonene over en kropp må være distributive.