Å sette utenfor parentes

Før vi begynner med å sette utenfor parentes, tar vi for oss det å gange ut parenteser, fordi det henger tett sammen med det å sette utenfor parentes. Man kan til og med si at det å sette utenfor parentes er den helt motsatte operasjonen av å gange ut parenteser.

Å gange ut en parentes

Å gange ut en parentes er en enkel operasjon som vi viser med et eksempel: Vi regner ut uttrykket 3 · (5 + 8). Vi har to måter å gå fram på. Vi kan legge sammen uttrykket i parentesen og får 3 · 13, fordi 5 + 8 = 13.

Den andre måten er at vi ganger ut parentesen. Det betyr at vi tar tallet foran parentesen, tre-tallet, og multipliserer begge tallene i parentesen med det. Plusstegnet i parentesen blir stående. Vi får:

$$3\cdot (5+8)=(3\cdot 5+3\cdot 8)$$

Begge framgangsmåtene gir samme resultat: (3 · 5 + 3 · 8) = 15 + 24 = 39.

Hvorfor det å gange ut en parentes fungerer

Hvorfor kan vi gjøre dette, hvorfor fungerer det å gange ut? La oss tenke oss et produkt som en utskrevet sum. Hvis vi for eksempel skriver 3 · 7, sier vi at vi vil legge sammen tallet sju tre ganger, altså 3 · 7 = 7 + 7 + 7.

På samme måte kan vi skrive ut et eksempel med parentes: 3 · (5 + 8) er det samme som (5 + 8) + (5 + 8) + (5 + 8). Siden rekkefølgen ikke spiller noen rolle ved addisjon, kan vi fjerne parentesene og flytte femmerne og åttetallene ved siden av hverandre slik: 5 + 5 + 5 + 8 + 8 + 8. Og her ser vi at dette uttrykket kan skrives om med multiplikasjon slik: 3 · 5 + 3 · 8, som er det vi gjorde da vi ganget ut.

Eksempler på å gange ut parenteser

1. Gang ut 5 · (4 + 7). Igjen multipliserer vi bare tallene i parentesen med fem og får 5 · (4 + 7) = 5 · 4 + 5 · 7.
2. Gang ut 6 · (x + 4). La oss ikke bli skremt av den ukjente, men bare multiplisere den med seks også. Vi får: 6 · (x + 4) = 6x + 6 · 4.
3. Gang ut x · (4 + 173). Nå har vi den ukjente foran parentesen, så vi multipliserer begge tallene inni parentesen med x. Vi får x · (4 + 173) = 4x + 173x.
4. Gang ut: 4x · (2x + 7). Nå har vi den ukjente både foran parentesen og inni den, og i tillegg et mer sammensatt uttrykk foran parentesen. Det gjør heller ingenting, vi multipliserer innholdet i parentesen med 4x slik: 4x · (2x + 7) = 4x · 2x + 4x · 7 = 8x² + 28x.

Å sette et tall utenfor parentes

Å sette utenfor parentes er den omvendte framgangsmåten av å gange ut en parentes. I begynnelsen har vi for eksempel uttrykket 10x + 5. Hvis vi nå finner et tall som vi kan dele begge leddene på på en fornuftig måte, kan vi sette dette tallet utenfor parentes. I uttrykket vårt blir det tallet 5, fordi 10x / 5 = 2x og 5 / 5 = 1. Vi kan altså skrive at

$$10x+5=5\cdot (2x+1).$$

Når vi ganger ut parentesen 5 · (2x + 1) igjen, får vi 10x + 5. Målet med å sette utenfor parentes er vanligvis å forenkle uttrykket eller skrive det som et produkt, slik at vi kan forkorte det i en brøk.

Å sette den ukjente utenfor parentes

Ofte setter vi den ukjente selv utenfor parentes, vi trenger ikke bare sette tall utenfor. Hvis vi har uttrykket 3x² + 7x, kan vi sette x utenfor parentes, det vil si at vi dividerer begge leddene med x, setter på parentes og multipliserer parentesen med x. Vi får 3x² + 7x = x · (3x + 7).

Vanligvis prøver vi å sette «så mye som mulig» utenfor parentes. Hvis vi har uttrykket 8x² + 12x, kan vi bare sette x utenfor og få 8x² + 12x = x · (8x + 12), men vi ser at vi også kunne satt tallet 4 utenfor parentesen. Det kan vi gjøre nå, i etterkant, og vi får: x · (4 · (2x + 3)). De ytre parentesene kan vi fjerne, og vi får: 4x · (2x + 3).

Vi ville imidlertid kommet til det samme resultatet hvis vi hadde satt uttrykket 4x utenfor parentes direkte fra det opprinnelige uttrykket 8x² + 12x. Hvis vi skrev det ut, ville vi fått

$$8x^2+12x=4x\cdot (8x^2/4x+12x/4x)=4x\cdot (2x+3).$$

Å sette mer sammensatte uttrykk utenfor parentes

Hittil har vi bare satt utenfor parentes i uttrykk med to ledd. Men vi kan også gjøre det i lengre uttrykk. Fra 7x³ + 5x² + 2x kan vi for eksempel sette x utenfor og få x · (7x² + 5x + 2).

Vi trenger heller ikke alltid sette bare et pent tall utenfor, vi kan sette hva som helst utenfor. Fra uttrykket 6x + 7 kan vi for eksempel sette tallet 2 utenfor, men da får vi et lite pent resultat, fordi vi må dele begge leddene på to. For 6x går det fint, fordi 6x / 2 = 3x, men for tallet 7 går det ikke så pent: 7 / 2 = 3,5. Vi får da uttrykket: 6x + 7 = 2 · (3x + 3,5).

Løste eksempler

• Sett en passende felles faktor utenfor parentes i 25x + 45. Ved første øyekast ser vi at vi kan sette tallet 5 utenfor, så vi får 5 · (5x + 9).

• Forenkle brøken

  $$\frac{3x^2+7x}{x}.$$

  Først setter vi x utenfor parentes i telleren i brøken. Vi får da x · (3x + 7) i telleren. Nå kan vi forkorte x i hele brøken.

  $$\frac{3x^2+7x}{x}=\frac{x\cdot (3x+7)}{x}=3x+7$$

• Sett en passende felles faktor utenfor parentes i −2x² − 8x. Her har vi for første gang negative tall. Det gjør ingenting, akkurat som vi har satt positive tall utenfor parentes, kan vi sette negative tall utenfor. Vi kan sette −2x utenfor med en gang. Vi får

  $$-2x^2-8x=-2x(x+4).$$