Fortynning og blanding av løsninger

En løsning oppstår når vi for eksempel løser etanol i vann. Vi får en ensartet blanding som består av det oppløste stoffet (etanol) og løsemidlet (vann). Vanligvis mener vi en løsning i flytende tilstand, men generelt kan vi også ha en løsning av to faste stoffer, for eksempel en legering som bronse.

Konsentrasjonen til en løsning

Konsentrasjonen forteller oss hvor mye oppløst stoff det er i løsningen. Vi har flere måter å oppgi konsentrasjon på:

• Masseprosent: hvor mange gram oppløst stoff det er i 100 g løsning.
• Volumprosent: hvor mange milliliter oppløst stoff det er i 100 ml løsning.
• Prosentvis: hvor mange prosent oppløst stoff det er i løsningen, for eksempel kan vi ha en 40 %-løsning, som betyr at det er 40 ml stoff per 100 ml løsning.

Hvilken konsentrasjon ville en løsning av vann og etanol ha hvis vi hadde 500 ml av denne løsningen, og 150 ml av den var etanol? For å få volumprosenten må vi vite hvor mange ml som er i 100 ml. Men vi vet hvor mange ml som er i en halv liter. Vi kan ta enhetsmetoden til hjelp. Først regner vi ut hvor mye etanol det ville vært i 1 ml løsning, og det gjør vi ved å dele mengden etanol på 500:

$$\frac{150\text{ml}}{500}=0,3\text{ml}$$

Når vi vet mengden etanol i 1 ml, finner vi mengden i 100 ml ved å multiplisere denne mengden med 100:

$$0,3\text{ml}\cdot 100=30\text{ml}$$

Løsningen har altså en konsentrasjon på 30 ml etanol per 100 ml. Det er dermed en 30 %-løsning.

Blandingsoppgaver

I en blandingsoppgave regner vi ut konsentrasjonen til en løsning vi får ved å blande to ulike løsninger. La oss tenke oss at vi har to løsninger:

1. en løsning på 500 ml som inneholder 30 % etanol,
2. en løsning på 400 ml som inneholder 20 % etanol.

Hvilken konsentrasjon får vi hvis vi blander disse løsningene? La V₁ = 500 være volumet til den første løsningen, V₂ = 400 volumet til den andre løsningen og V = V₁ + V₂ volumet til den ferdige løsningen.

Videre trenger vi den såkalte volumandelen, som bare er prosentuttrykket for konsentrasjonen skrevet om til en brøk. Den første løsningen med konsentrasjon 30 % har dermed volumandelen $c_1=\frac{30}{100}$, og den andre løsningen med konsentrasjon 20 % har volumandelen $c_2=\frac{20}{100}$. (Hvis vi arbeidet med gram i stedet for liter, ville vi hatt masseandeler, og prinsippet ville vært det samme.) La den ferdige løsningen ha volumandelen c. Nå kan vi skrive opp likningen for blandingsoppgaven:

$$c_1\cdot V_1+c_2\cdot V_2=c\cdot V$$

I denne likningen er den eneste ukjente for oss den endelige konsentrasjonen c. Alle verdiene til venstre for likhetstegnet kjenner vi fra oppgaveteksten, og det endelige volumet V kjenner vi også, det er bare summen av volumene V₁ og V₂:

$$c_1\cdot V_1+c_2\cdot V_2=c\cdot (V_1+V_2)$$

Vi setter inn konkrete verdier for alle variablene:

$$\frac{30}{100}\cdot 500+\frac{20}{100}\cdot 400=c\cdot (500+400)$$

På venstre side regner vi nå ut produktene av brøkene, og på høyre side legger vi bare sammen volumene:

$$150+80=c\cdot 900$$

Nå deler vi hele likningen på 900, slik at bare den endelige konsentrasjonen c blir stående på høyre side:

$$\frac{150+80}{900}=c$$

Vi legger sammen telleren og bytter bare om venstre og høyre side av likningen (vanligvis vil vi ha den ukjente til venstre):

$$c=\frac{230}{900}$$

Det er den endelige volumandelen vår. Hvis vi vil ha forholdet uttrykt som desimaltall, regner vi ut 230 delt på 900:

$$\frac{230}{900}=\mathrm{0,255}555\dots$$

Prosentuttrykket får vi ved å multiplisere dette forholdet med 100, og da får vi omtrent 25,6 %. Den ferdige løsningen får en konsentrasjon på omtrent 25,6 %, altså omtrent 25,6 ml etanol per 100 ml.

Hva skal vi fortynne med for å få den løsningen vi ønsker?

Men vi kan også trenge å finne ut noe litt annet. La oss igjen ha en løsning på 500 ml som inneholder 30 % etanol, og en annen løsning som inneholder 55 % etanol. Hvor mange ml av den andre løsningen må vi blande med den første for å få en 40 %-løsning? Igjen bruker vi likningen for blandingsoppgaven

$$c_1\cdot V_1+c_2\cdot V_2=c\cdot (V_1+V_2)$$

Den eneste ukjente er V₂, alt annet kjenner vi. I forhold til forrige tilfelle kjenner vi nemlig $c=\frac{40}{100}$, siden vi vet hvilken løsning vi vil lage. Vi setter de kjente verdiene inn i likningen:

$$\frac{30}{100}\cdot 500+\frac{55}{100}\cdot V_2=\frac{40}{100}(500+V_2)$$

Vi multipliserer hele likningen med 100:

$$30\cdot 500+55\cdot V_2=40\cdot (500+V_2)$$

Vi regner ut produktet på venstre side og ganger ut parentesen på høyre side:

$$15000+55\cdot V_2=40\cdot 500+40\cdot V_2$$

Vi trekker fra 15 000 på begge sider av likningen:

$$55\cdot V_2=40\cdot 500+40\cdot V_2-15000$$

Vi trekker fra 40 · V₂ på begge sider av likningen:

$$55\cdot V_2-40\cdot V_2=40\cdot 500-15000$$

Vi legger sammen og trekker fra det vi kan:

$$15\cdot V_2=20000-15000$$

Vi regner ut høyre side:

$$15\cdot V_2=5000$$

Vi deler begge sider av likningen på 15:

$$V_2=\frac{5000}{15}=\mathrm{333,333}\dots$$

Vi må altså helle til omtrent 333 ml (en tredjedels liter) av den andre 55 %-løsningen for å få en løsning med konsentrasjon 40 %. Vi kan kontrollere om vi har regnet riktig. Den første løsningen på 500 ml inneholdt 30 % etanol, som betyr at den inneholdt 150 ml etanol. Hvis vi heller til 333 ml av den andre 55 %-løsningen, inneholder den 183 ml etanol. Til sammen har vi altså fått en løsning med volum 500 ml + 333 ml, som er 833 ml, og som inneholder 150 ml + 183 ml, som er 333 ml etanol. Når vi regner ut forholdet

$$\frac{333}{833}\approx 0,4$$

får vi (etter avrunding) en 40 %-løsning av etanol og vann.