✖

Finnes det flere partall eller oddetall?

Hva tror du, hvilke tall finnes det flest av? Partall eller oddetall? Eller finnes det like mange? Hvordan kunne vi avgjøre det? Og hva med andre tall? Finnes det flere partall eller naturlige tall? Naturlige tall eller rasjonale tall? Det er ikke helt enkelt, for av alle de nevnte tallene finnes det uendelig mange. Likevel klarer vi å sammenligne og finne ut hvilke tall det finnes flest av og hvilke det finnes færrest av.

La oss vise det på en liten mengde av tall. Tenk deg to mengder av tall: de blå tallene og de røde tallene:

1
2
3
4
5
6
7
8
9

Kan vi på noen måte si hvilke tall det finnes flest av? De røde eller de blå? Vi ser tydelig at… Hva? At du er fargeblind og ikke ser det tydelig? Greit, fra nå av viser vi de røde tallene i tillegg som små firkanter:

1
2
3
4
5
6
7
8
9

Bra, nå kan vi tydelig se at det finnes flere blå tall enn røde. Det var enkelt, for vi arbeider med endelige mengder av tall, og derfor klarer vi å telle dem. Vi ser at vi har seks blå tall og bare tre røde. Uendelige mengder blir ikke like enkle, for dem kan vi ikke telle. La oss derfor svare på spørsmålet fra tittelen: Finnes det flere partall eller oddetall? For enkelhets skyld holder vi oss til positive tall. Tenk deg en sekk full av alle oddetall og en sekk full av alle partall. Hvilken sekk er størst?

1
3
5
7
9
11
13
15
…
2
4
6
8
10
12
14
16
…

Vel, å forestille seg et uendelig antall tall er ikke akkurat lett, og å telle dem er enda vanskeligere. Finnes det ingen annen måte vi kan sammenligne størrelsen på mengder på?

Sammenligning av to endelige mengder

Tenk deg at vi har en sekk full av brudgommer og en sekk full av bruder. Hvis vi har én brud til hver brudgom og én brudgom til hver brud, kan vi si at vi har like mange brudgommer og bruder:

👰 👰 👰 👰 👰 👰

🤵 🤵 🤵 🤵 🤵 🤵

Ser du? Hver brud i den første raden har sin egen ektemann i den andre raden, og omvendt — hver ektemann har sin egen kone. Men det kunne også inntruffet et annet tilfelle: Hver brud ville hatt sin ektemann, men ikke hver ektemann ville hatt en brud:

👰 👰 👰 👰 👰 ❌

🤵 🤵 🤵 🤵 🤵 🤵

Hver kone har en ektemann, men én ektemann blir sittende igjen alene uten kone. Når vi har én ektemann til overs, kan vi si at vi har flere ektemenn enn koner. På samme måte, hvis det blir én brud til overs

👰 👰 👰 👰 👰 👰

🤵 🤵 🤵 🤵 🤵 ❌

kan vi si at vi har flere bruder enn ektemenn.

Sammenligning av to uendelige mengder

Kan vi bruke denne fremgangsmåten når vi sammenligner to uendelige mengder? Kan vi pare hvert oddetall med et partall og hvert partall med et oddetall, uten at vi kan bruke noen av tallene mer enn én gang? Ja, det kan vi! Hvert oddetall n kan vi pare med partallet n + 1. Altså parer vi tallet 5 med tallet 5 + 1, tallet 149 med tallet 150 osv. Paringen vises i følgende animasjon:

1
3
5
7
9
11
13
15
17
19
21
23
25
27
29
31
33
35
37
39
41
43
45
47
49
2
4
6
8
10
12
14
16
18
20
22
24
26
28
30
32
34
36
38
40
42
44
46
48
50

For hvert rødt oddetall har vi et tilsvarende unikt blått partall, og for hvert blå partall har vi et tilsvarende unikt rødt oddetall. Vi har klart å pare alle oddetallene med alle partallene. Men det betyr at det finnes like mange partall som oddetall!

Greit, det var ikke helt overraskende, ikke sant? La oss prøve å sammenligne andre mengder av tall: alle naturlige tall versus partallene. Her blir resultatet mer sjokkerende.

Finnes det flere naturlige tall eller partall?

Hvilke tall finnes det flest av? Naturlige tall eller partall?

1
2
3
4
5
6
7
8
…
 
2
 
4
 
6
 
8
…

Vi kan åpenbart se at de naturlige tallene samtidig inneholder alle partallene. Og i tillegg inneholder de naturlige tallene noen tall til — oddetallene. Det er altså klart at det må finnes flere naturlige tall — de inneholder jo dobbelt så mange tall!

Ja, om livet bare var så enkelt!

Vi bryr oss jo ikke om hvorvidt den ene mengden av tall inneholder noen tall ekstra. Vi bryr oss om hvorvidt vi på en eller annen måte kan pare tallene fra to ulike mengder. Klarer vi å pare hvert partall med hvert naturlig tall? Selv om det finnes flere naturlige tall? Jo da, det kan vi.

Hvert naturlig tall p kan vi enkelt pare med partallet 2 · p, og omvendt — hvert partall n kan vi pare med det naturlige tallet n / 2. Så det naturlige tallet 5 parer vi med partallet 10, og partallet 14 parer vi med det naturlige tallet 7 osv. Paringen for de første tallene vises i følgende animasjon:

1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
2
4
6
8
10
12
14
16
18
20
22
24
26
28
30
32
34
36
38
40
42
44
46
48
50

Plutselig har vi for hvert naturlig tall et unikt partall, og for hvert partall har vi et unikt naturlig tall! Hva så om det finnes flere naturlige tall? Det finnes uendelig mange av begge tallene, og vi går aldri tom for dem. Fra vårt synspunkt er altså mengden av partall like stor som mengden av naturlige tall! 😱

Det er litt kontraintuitivt, men slik er det.

Finnes det flere naturlige tall eller rasjonale tall?

Rasjonale tall er brøker. Alle tall som kan skrives på formen p/q der p og q er hele tall og q ≠ 0, er rasjonale tall. For eksempel er ½, ¾ eller 8 rasjonale tall, men π er ikke et rasjonalt tall. Det finnes mange flere rasjonale tall enn naturlige. For eksempel finnes det mellom tallene 2 og 4 bare ett helt tall, nemlig tallet 3, men uendelig mange rasjonale tall. Det finnes faktisk uendelig mange rasjonale tall også mellom tallene 0,001 og 0,002. Så mange rasjonale tall er det!

Man skulle altså vente at mengden av rasjonale tall må være større enn mengden av naturlige tall. Men samtidig aner vi alle på en måte at det er en hake ved det. Greit, la oss prøve å pare de rasjonale tallene med de naturlige tallene. Vi begynner med å skrive de rasjonale tallene i en slik tabell:

1⁄1
1⁄2
1⁄3
1⁄4
1⁄5
1⁄6
2⁄1
2⁄2
2⁄3
2⁄4
2⁄5
2⁄6
3⁄1
3⁄2
3⁄3
3⁄4
3⁄5
3⁄6
4⁄1
4⁄2
4⁄3
4⁄4
4⁄5
4⁄6
5⁄1
5⁄2
5⁄3
5⁄4
5⁄5
5⁄6
6⁄1
6⁄2
6⁄3
6⁄4
6⁄5
6⁄6

Mønsteret bør være tydelig: Alle brøkene i den første raden har tallet én i telleren (over brøkstreken) og i nevneren etter hvert økende tall 1, 2, 3 osv. I kolonnen er det omvendt. Hvis vi fortsatte i det uendelige, ville vi i denne tabellen ha alle brøker som finnes. For eksempel står brøken 1478/517 i rad 1478 og i kolonne 517. La oss nå prøve å lage paringsfunksjonen vår. Vi kunne lage den slik:

  • Det naturlige tallet 1 parer vi med den første brøken i den første raden, altså med 1/1
  • Det naturlige tallet 2 parer vi med den andre brøken i den første raden, altså med 1/2
  • Det naturlige tallet 3 parer vi med den tredje brøken i den første raden, altså med 1/3
  • Det naturlige tallet 4 parer vi med den fjerde brøken i den første raden, altså med 1/4
  • …

Har vi på denne måten klart å pare alle naturlige tall? Ja visst. Hvert naturlig tall har sin motpart. Det naturlige tallet 174 har brøken 1/174 som motpart. Men gjelder det også omvendt? Har hver brøk sin motpart blant de naturlige tallene? Hvilken motpart har brøken 2/3? Ingen, for med paringsfunksjonen vår kom vi aldri til den andre raden. Vi klarte bare å pare den første raden av brøker.

Betyr det at det finnes flere rasjonale tall enn naturlige? Dessverre ikke — at én paringsstrategi ikke fungerer for oss, betyr ikke at en annen ikke vil fungere. La oss denne gangen ta det langs diagonalene:

1⁄1
1⁄2
1⁄3
1⁄4
1⁄5
1⁄6
2⁄1
2⁄2
2⁄3
2⁄4
2⁄5
2⁄6
3⁄1
3⁄2
3⁄3
3⁄4
3⁄5
3⁄6
4⁄1
4⁄2
4⁄3
4⁄4
4⁄5
4⁄6
5⁄1
5⁄2
5⁄3
5⁄4
5⁄5
5⁄6
6⁄1
6⁄2
6⁄3
6⁄4
6⁄5
6⁄6
  • Det naturlige tallet 1 parer vi med brøken 1/1 (den første diagonalen),
  • det naturlige tallet 2 parer vi med brøken 1/2 (den andre diagonalen),
  • det naturlige tallet 3 parer vi med brøken 2/1 (den andre diagonalen),
  • det naturlige tallet 4 parer vi med brøken 1/3 (den tredje diagonalen),
  • det naturlige tallet 5 parer vi med brøken 2/2 (den tredje diagonalen),
  • det naturlige tallet 6 parer vi med brøken 3/1 (den tredje diagonalen),
  • osv.

Du kan se paringsstrategiene i animasjonen:

1⁄1
1
1⁄2
2
1⁄3
4
1⁄4
7
1⁄5
11
1⁄6
16
2⁄1
3
2⁄2
5
2⁄3
8
2⁄4
12
2⁄5
17
2⁄6
 
3⁄1
6
3⁄2
9
3⁄3
13
3⁄4
18
3⁄5
 
3⁄6
 
4⁄1
10
4⁄2
14
4⁄3
19
4⁄4
 
4⁄5
 
4⁄6
 
5⁄1
15
5⁄2
20
5⁄3
 
5⁄4
 
5⁄5
 
5⁄6
 
6⁄1
21
6⁄2
 
6⁄3
 
6⁄4
 
6⁄5
 
6⁄6
 

På denne måten kan vi dekke alle brøker. Ingen diagonal er uendelig, så vi blir ikke værende i noen diagonal «for alltid». Til slutt vil hver brøk ha fått tilordnet et naturlig tall, og selvfølgelig vil hvert naturlig tall ha fått tilordnet en unik brøk.

Vel… Egentlig ikke helt. Når vi ser på tabellen vår med brøker på nytt, ser vi at mange tall gjentar seg der. For eksempel representerer brøkene 1/1, 2/2, 3/3 osv. det samme tallet — tallet 1. På samme måte representerer brøkene 1/2, 2/4 og 3/6 én halv. I virkeligheten avbilder vi altså de naturlige tallene 1, 5, 13 osv. på det samme rasjonale tallet 1! Vi har flere brudgommer som gifter seg med den samme bruden. Det går ikke!

Heldigvis kan vi enkelt rette opp det. Vi stryker rett og slett fra tabellen alle brøker som ikke står på uforkortelig form, altså stryker vi alle brøker som kan forkortes. Etter dette er det bare unike rasjonale tall igjen i tabellen, og diagonaltrikset vårt vil fungere. Hvert naturlig tall blir paret med et unikt rasjonalt tall og omvendt.

Men det betyr at mengden av naturlige tall er like stor som mengden av rasjonale tall!

Så langt ser det ut til at alle uendelige mengder er like store. Finnes det noen uendelig mengde som er større enn mengden av naturlige tall?

Finnes det flere naturlige tall eller reelle tall?

Nå kommer vår siste redning inn i bildet: de reelle tallene. Noen andre tall har vi ikke igjen på tallinjen. Hvordan ser de reelle tallene ut? De reelle tallene inneholder alle de rasjonale tallene og i tillegg alle de irrasjonale. Hvis vi skriver tallet i desimalform, gjelder det at et rasjonalt tall:

  • enten har en endelig desimalutvikling, for eksempel 0,4841554,
  • eller har en uendelig periodisk desimalutvikling: 0,1313131313…

Irrasjonale tall har derimot alltid en uendelig desimalutvikling som samtidig ikke er periodisk. Et irrasjonalt tall er for eksempel tallet π, som er lik 3,141592653… (ingen periode). La oss si på forhånd at det finnes mange flere reelle tall enn rasjonale tall og dermed enn naturlige tall. Mengden av reelle tall er større enn mengden av naturlige tall. Og hvordan viser vi det?

Tenk deg at vi har funnet en paringsstrategi for å pare alle naturlige og alle reelle tall. La oss si at det er denne:

1 → 0,3452807674449021…
2 → 0,8978319745321683…
3 → 0,8972169570849831…
4 → 0,0635759905832629…
5 → 0,0081863365749335…
6 → 0,4000559394278442…
7 → 0,8637537627594889…
…

Anta at vi har alle de naturlige tallene til venstre og alle de reelle tallene til høyre. Hvis det var sant, ville vi ikke klart å finne noe reelt tall som mangler på høyre side. Siden vi allerede har spoilet at mengden av reelle tall er større, betyr det at det mangler et tall på høyre side. Jaja, men hvilket? Vi ser for eksempel at tallet 0,4818063607183678 mangler. Men hva om det skjuler seg akkurat under tallet 8?

1 → 0,3452807674449021…
2 → 0,8978319745321683…
3 → 0,8972169570849831…
4 → 0,0635759905832629…
5 → 0,0081863365749335…
6 → 0,4000559394278442…
7 → 0,8637537627594889…
8 → 0,4818063607183678
…

Og hva med tallet 0,4208424736008147? Det ser vi heller ikke. Men hva om det skjuler seg akkurat under tallet ni?

1 → 0,3452807674449021…
2 → 0,8978319745321683…
3 → 0,8972169570849831…
4 → 0,0635759905832629…
5 → 0,0081863365749335…
6 → 0,4000559394278442…
7 → 0,8637537627594889…
8 → 0,4818063607183678
9 → 0,4208424736008147
…

Slik går det ikke. For vi kan selvfølgelig ikke skrive ut alle parene, siden det finnes uendelig mange av dem, og vi kan ikke bare gjette på om dette tallet tilfeldigvis er der eller ikke. Vi trenger å finne et tall som er forskjellig fra alle tallene til høyre i tabellen, selv om vi ikke vet hvilke tall som står der til høyre. Hvordan klarer vi det?

For at to tall skal være forskjellige, holder det at de er forskjellige i ett siffer. For eksempel er tallene 0,123456 og 0,123457 ikke like — men de er forskjellige bare i ett siffer. Det holder for oss. Vi kan altså i tabellen vår alltid utheve det n-te sifferet etter desimalkommaet i det n-te reelle tallet:

1 → 0,3452807674449021…
2 → 0,8978319745321683…
3 → 0,8972169570849831…
4 → 0,0635759905832629…
5 → 0,0081863365749335…
6 → 0,4000559394278442…
7 → 0,8637537627594889…
8 → 0,4818063607183678
9 → 0,4208424736008147
…

og det nye tallet setter vi sammen slik at det i det n-te sifferet etter desimalkommaet er forskjellig fra det n-te sifferet i det n-te reelle tallet. Det nye tallet konstruerer vi altså ved å begynne med null: 0,??? og velge det første sifferet etter desimalkommaet slik at det er forskjellig fra det første sifferet i det første reelle tallet, altså slik at det er forskjellig fra tre. Vi skriver for eksempel 0,1???. Det andre sifferet må være forskjellig fra det andre sifferet i det andre reelle tallet, altså må det være forskjellig fra 9. Vi skriver for eksempel to: 0,12???. Osv. De ni første sifrene kunne altså se slik ut: 0,123123127 (se den siste raden i tabellen):

1 → 0,3452807674449021…
2 → 0,8978319745321683…
3 → 0,8972169570849831…
4 → 0,0635759905832629…
5 → 0,0081863365749335…
6 → 0,4000559394278442…
7 → 0,8637537627594889…
8 → 0,4818063607183678
9 → 0,4208424736008147
? → 0,123123127

Vi ser at dette tallet er forskjellig fra alle tallene, fordi det alltid er forskjellig fra alle tallene i minst ett siffer. Selv om tabellen vår inneholder uendelig mange tall, er det nye tallet vårt laget av uendelig mange sifre slik at det er forskjellig fra alle tallene i tabellen i minst ett siffer. Og legg merke til at vi kan konstruere uendelig mange tall som ikke står i tabellen! Hva følger av det? Vi klarer ikke å pare de naturlige tallene med de reelle tallene. Vi sitter alltid igjen med uendelig mange reelle tall som ikke blir paret med noen naturlige tall. Det finnes mange flere reelle tall enn naturlige tall.

Merknader til slutt

  • I hele artikkelen har vi for enkelhets skyld ignorert negative tall. Men de forandrer selvsagt ingenting, og som lekse kan du justere paringsstrategiene som er nevnt her, slik at de også fungerer med negative tall.
  • Størrelsen på mengden av naturlige tall har til og med et eget navn. Vi kaller den alef-null.
  • I matematikken bruker vi ofte begrepet kardinalitet eller mektighet for en mengde i stedet for «størrelsen på en mengde».