Distribuição de probabilidade

A distribuição de probabilidade de uma variável aleatória nos diz qual é a probabilidade de a variável aleatória assumir exatamente determinado valor.

Distribuição de uma variável discreta

Tomemos uma variável aleatória discreta; por exemplo, poderíamos observar quantos copos de chope por dia bebe o beberrão local, o Seu Bambu. Observando o Seu Bambu durante um mês inteiro, construímos a tabela a seguir:

Vemos que o Seu Bambu se segurou um pouco no começo do mês, mas depois passou a emendar um chope no outro. E a semana a partir do dia 11 deve ter sido de loucura. Vamos chamar essa variável aleatória discreta de X. Agora nos interessa saber qual é a probabilidade de o Seu Bambu beber, em um dia qualquer do mês, exatamente x copos de chope.

Antes de calcularmos a probabilidade propriamente dita, construímos um simples gráfico de frequências. Pegamos todas as quantidades de copos de chope que o Seu Bambu bebeu em algum dia e as colocamos em um gráfico de frequências. Por exemplo, o Seu Bambu bebeu dez copos de chope em nove dias ao todo, então para o valor dez copos teremos uma coluna com o valor nove:

Lemos o gráfico assim: o Seu Bambu bebeu seis copos de chope em três dias do mês.

Qual é a probabilidade de o Seu Bambu ter bebido dez copos de chope em um dia? Formalmente, escreveríamos assim: representamos a função de probabilidade por P e escreveríamos a pergunta sobre dez copos assim: P(X = 10). Com isso perguntamos qual é a probabilidade de a variável aleatória X assumir o valor dez.

A probabilidade será igual à frequência relativa do valor dado. Então construímos também o gráfico de frequência relativa:

Agora podemos dizer que P(X = 10) é igual a 0,3, ou seja, 30%.

Probabilidade experimental versus teórica

Vamos pegar como exemplo um dado comum. Vamos tentar lançá-lo 600 vezes. Do ponto de vista da clássica probabilidade matemática, temos a mesma chance de sair o um, o dois, …, o seis. Cada face do dado tem probabilidade $\frac{1}{6}$ de sair. Puramente em teoria, cada lado deveria, então, sair exatamente cem vezes quando lançamos o dado seiscentas vezes.

Isso, claro, provavelmente não vai acontecer. No nosso experimento podemos obter estes resultados:

Vemos que a frequência relativa e, portanto, também a probabilidade de aparecer um ponto no dado é 0,175, ou seja, 17,5%. Isso, embora esteja perto da probabilidade $\frac{1}{6}$, que é 0,16666…, não é exatamente igual.

Isso não significa que uma ou outra probabilidade esteja errada. Construir um dado perfeitamente equilibrado não é nada fácil, e também pode ser difícil realizar o próprio teste, em que lançamos o dado 600 vezes.

A probabilidade matemática funciona, portanto, em condições ideais, em que lançaríamos o dado infinitamente. Quanto mais tempo lançássemos um dado idealmente equilibrado, mais as frequências relativas de cada resultado se aproximariam da probabilidade matemática teórica.

Por isso distinguimos duas probabilidades: a teórica (ou matemática), que parte de condições idealizadas, e a experimental (também chamada de estatística ou empírica), que calculamos a partir das frequências relativas dos nossos dados.

Para calcular a probabilidade estatística, deveríamos ter à disposição um conjunto de dados suficientemente grande. Por exemplo, observamos o nosso beberrão, o Seu Bambu, por apenas um mês, mas seria muito melhor se o observássemos por pelo menos um ano.

Distribuição de uma variável contínua

Em uma variável contínua não determinamos a probabilidade em um ponto, mas sempre em um intervalo. A probabilidade será igual ao tamanho da área sob a curva, de modo que, para o cálculo, vamos precisar da integral. Podemos ter um gráfico de variável contínua como este, que pode ser, por exemplo, a medição de algum desvio em cm:

No eixo x temos, portanto, valores em cm e, no eixo y, frequências relativas. Digamos que medimos apenas valores no intervalo [−4, 4]. A probabilidade empírica de medirmos um desvio nesse intervalo é, portanto, 1, ou seja, 100%.

Como a área se relaciona com isso? Dizemos que o tamanho da área ${\int }_{-4}^{4}p(x)$, em que p é a função de probabilidade, nos dá justamente esses 100%. Se perguntássemos qual é a probabilidade empírica de o valor estar no intervalo [0, 4], obteríamos esta figura:

A parte destacada anteriormente correspondia a 100%; esta corresponde a 50%, porque a área é evidentemente a metade. Com exatidão, expressaríamos a probabilidade estatística como a razão

$$\frac{{\int }_0^{4}p(x)}{{\int }_{-4}^{4}p(x)}.$$

Lei dos grandes números

A conhecida lei dos grandes números está ligada à seção anterior. Informalmente, ela diz que, em um grande número de tentativas independentes, a frequência relativa (a probabilidade estatística) se aproxima da probabilidade matemática.

Podemos imaginar isso novamente no lançamento de uma moeda. Pode sair cara ou coroa, e cada lado tem probabilidade $\frac{1}{2}$, 50%. Se lançarmos a moeda quatro vezes, podem sair três caras e uma coroa. A frequência relativa é, então, $\frac{3}{4}$ e $\frac{1}{4}$. Isso está bem longe de $\frac{1}{2}$.

Se lançarmos a moeda dez vezes no total, podem sair sete caras e três coroas. Essas são as frequências $\frac{7}{10}$ e $\frac{3}{10}$. Isso ainda está longe de $\frac{1}{2}$, mas esses números já estão mais perto de um meio do que as frequências anteriores.

Poderíamos continuar assim. Se lançássemos a moeda mil vezes, poderiam sair 520 caras e 480 coroas. Essas já são as frequências $\frac{13}{25}$ e $\frac{12}{25}$, que já se aproximam bastante de um meio (para ter uma ideia, $\frac{13}{25}=0,52$).

Repare que, embora as frequências relativas estejam bem mais perto de um meio, as frequências absolutas estão muito mais distantes da frequência “ideal”. Quando lançamos a moeda dez vezes, a frequência absoluta ideal de cada lado era 5. Ou seja, que saíssem cinco caras e cinco coroas. Como saíram sete caras, isso dá uma diferença de dois lançamentos: 7 − 5 = 2. Tivemos “dois lançamentos de diferença” em relação ao que ocorreria na situação ideal.

Mas, quando lançamos a moeda mil vezes, saíram 520 caras, o que dá uma diferença de 20 lançamentos em relação ao ideal, pois, no caso ideal, cada lado deveria sair 500 vezes. Parece, então, que, quanto mais vezes lançamos, mais distantes ficam os resultados.

Isso, porém, não atrapalha em nada: a lei dos grandes números não afirma que nos aproximaremos do ideal da frequência absoluta, mas da relativa. E essas se aproximam. Ou seja, nas frequências absolutas talvez nos afastemos, mas nas relativas nos aproximamos.