Distribuição uniforme e normal de frequências

Existem duas distribuições de frequências típicas que encontramos com frequência também na prática. São a distribuição uniforme de frequências e a distribuição normal de frequências.

Distribuição uniforme de frequências

Distribuição uniforme significa que, no nosso conjunto, todos os valores aparecem com a mesma frequência. Podemos, por exemplo, contar quantos meses tiveram os anos 2000, 2001, …, 2009:

Se lançamos um dado clássico idealizado, temos probabilidade $\frac{1}{6}$ de sair 1, probabilidade $\frac{1}{6}$ de sair 2 etc. Falamos, então, de distribuição uniforme de probabilidade, porque cada resultado tem a mesma probabilidade.

Uma distribuição não uniforme seria se tivéssemos um dado viciado, no qual sairia sempre o seis com probabilidade $\frac{1}{3}$. As outras faces também não podem ter probabilidade $\frac{1}{3}$. Do mesmo modo, poderíamos contar o número de dias de cada mês: nem todos os meses têm o mesmo número de dias, de modo que não se trataria de uma distribuição uniforme de frequências.

Distribuição normal de probabilidade

A distribuição normal também é chamada, às vezes, de distribuição de Gauss. Ela é usada apenas em variáveis aleatórias contínuas. A distribuição normal padrão tem esta forma:

Essa curva é descrita pela chamada função gaussiana, que tem a forma:

$$f(x)=\frac{1}{\sigma \sqrt{2\pi }}{\mathrm{e}}^{-\frac{{(x-\mu )}^2}{2{\sigma }^2}}$$

A função é bastante complicada, e você não precisa decorá-la. Mas vemos que podemos parametrizar a distribuição normal por meio da média e do desvio padrão/da variância. Para diferentes valores de média e de desvio, podemos obter gráficos diferentes:

A distribuição normal é importante porque simula com bastante fidelidade diversas distribuições que podemos encontrar na realidade. Vemos que a curva sempre tem um máximo global, justamente no ponto do valor médio. Por exemplo, a curva vermelha tem o máximo no ponto X = 0, e a média dessa grandeza é, portanto, zero. A curva é simétrica: tem simetria axial em relação à reta que é perpendicular ao eixo X e passa pela média, isto é, pelo ponto X = 0. Em outras palavras, a curva à esquerda do zero tem o mesmo aspecto que à direita do zero. A curva verde tem as mesmas propriedades, só que não com o zero, e sim com o ponto X = −2.

A distribuição normal pode descrever com fidelidade a distribuição da inteligência, ou do QI, entre as pessoas. O valor médio do QI é, por definição, 100. Além disso, há aproximadamente o mesmo número de pessoas com QI acima de 100 e abaixo de 100. Há aproximadamente tantas pessoas de inteligência levemente abaixo da média quanto levemente acima da média, e os bobões são tão numerosos quanto os gênios. Embora às vezes não pareça :-). Gráfico que mostra a distribuição aproximada do QI:

Na distribuição normal, o desvio padrão tem um papel importante. Se temos uma distribuição normal com desvio σ, então vale que aproximadamente 68% dos valores se encontram no intervalo [μ − σ, μ + σ]. Ou seja, cerca de 68% dos valores diferem da média em no máximo um desvio padrão. Aproximadamente 95% dos valores ficam no intervalo [μ − 2σ, μ + 2σ] e 99,7% dos valores no intervalo [μ − 3σ, μ + 3σ]. A figura a seguir mostra isso de forma clara:

Referências

• Algumas imagens são da Wikipédia, dos artigos Distribuição normal e Intelligence.