Mulțimi

O mulțime poate fi înțeleasă ca o colecție de elemente. Fiecare mulțime conține deci un anumit număr de elemente, care poate fi finit sau infinit. Ea poate să nu conțină niciun element, iar atunci vorbim despre mulțimea vidă. Mulțimea o notăm de obicei cu o literă mare de tipar, de exemplu M, iar elementele mulțimii cu o literă mică, de exemplu m.

Ce este o mulțime

Mulțimea este una dintre noțiunile de bază ale matematicii, prin care se definesc multe alte lucruri, așa că este bine să lămurim de la început ce este o mulțime, ca să nu bâjbâi mai departe în învățare.

Mulțimea este, așadar, o colecție de elemente oarecare. În matematică lucrăm cel mai des cu mulțimi de numere, adică cu mulțimi ale căror elemente sunt numere. Scrierea clasică a unei mulțimi în matematică este aceasta:

$$M=\{1,2,3\}$$

Astfel am descris o mulțime numită „M”, care conține trei elemente: unu, doi și trei. Mulțimile le scriem întotdeauna între acolade; practic, ori de câte ori vezi acolade, este vorba despre o mulțime.

La ce putem folosi mulțimile? Mulțimile ne arată adesea dintre ce elemente putem alege. De exemplu, în viața de zi cu zi ai putea spune ceva de genul: „Ana, hai să ne jucăm, vrei? Gândește-te la un număr de la unu la cinci.” Prin asta i-ai delimitat Anei un interval de numere dintre care poate alege. În matematică ai folosi o mulțime:

$$L=\{1,2,3,4,5\}$$

Apoi i-ai putea spune Anei: „Ana, hai să ne jucăm, vrei? Gândește-te la un număr care se află în mulțimea L.” Sigur jocul ar fi imediat mai distractiv. În matematică folosim pentru a scrie că un element aparține unei mulțimi simbolul ∈, iar când nu aparține, folosim ∉. Dacă vrem să spunem că unu aparține mulțimii L, dar șapte nu, am scrie astfel: 1 ∈ L și 7 ∉ L.

Mulțimea poate fi, desigur, vidă; pentru aceasta folosim fie scrierea P = {}, fie, mai simplu, P = ∅. Atenție, ambele scrieri înseamnă „mulțimea vidă”; dacă ai scrie însă P = {∅}, ai scrie o mulțime care conține în ea mulțimea vidă. Aceasta nu este același lucru cu mulțimea vidă.

Ordinea și elementele repetate

Despre o mulțime nu spunem că are elementele ordonate într-un anumit fel. Mulțimea conține o colecție neordonată de elemente. Dacă avem două mulțimi A = {1, 2, 3} și B = {3, 2, 1}, spunem că sunt egale. Ordinea elementelor în mulțime pur și simplu nu contează.

La fel, nu ne interesează nici elementele repetate. Dacă o mulțime conține de mai multe ori același element (de mai multe ori același număr), luăm în considerare întotdeauna o singură apariție a elementului respectiv. Din nou, dacă avem aceste două mulțimi A = {1, 1, 2, 2, 2} și B = {2, 1}, le considerăm egale. Nu contează că mulțimea A conține „mai multe” elemente, pentru că are elemente scrise de două sau de trei ori. Când lucrăm cu mulțimi, aceste elemente repetate pur și simplu le eliminăm.

Cardinalul și egalitatea

Putem defini noțiunea de cardinal al unei mulțimi, adică numărul de elemente din mulțime. Din exemplul anterior, A = {1, 1, 2, 2, 2} și B = {2, 1}, ar rezulta că cardinalul mulțimii A este doi, dar și cardinalul mulțimii B este doi, pentru că nici când numărăm elementele unei mulțimi nu ne interesează elementele repetate. Cardinalul unei mulțimi îl notăm între bare verticale: |A| = |B| = 2.

Cum probabil ai înțeles deja, două mulțimi sunt egale dacă au aceleași elemente. Câteva exemple:

$$\begin{array}{rcl}\{1,2,3\}& =& \{1,2,3\}\\ \{1,2,3\}& =& \{1,2,3,2,3,1\}\\ \{a,h,o,j\}& =& \{o,o,h,j,a,o\}\\ \{1,3,5,9\}& \ne & \{1,3,9\}\\ \varnothing & \ne & \left\{x\right\}\end{array}$$

O proprietate importantă este că mulțimile pot conține, ca element al lor, din nou o mulțime. Exemplu: C = {1, 2, {3, 4, 5, 6}}. Este important să înțelegi că mulțimea C are trei elemente, nu șase. Mulțimea C conține trei elemente: unu, doi și o mulțime. Elementele 3, 4, 5 și 6 le conține mulțimea interioară, nu mulțimea C. Deci |C| = 3. Un exemplu mai complicat:

$$D=\{0,\{1,\{2,3\}\},\left\{4\right\}\}$$

Câte elemente conține mulțimea D? Conține trei elemente, acestea fiind:

$$D_1=0,D_2=\{1,\{2,3\}\},D_3=\left\{4\right\}$$

O mulțime poate fi finită sau infinită. Mulțimile finite sunt toate cele pe care le-am menționat până acum. Infinită este, de exemplu, mulțimea tuturor numerelor.

Submulțimea

Fie două mulțimi A = {1, 2} și B = {1, 2, 3}. Aceste mulțimi sunt diferite, pentru că nu conțin aceleași elemente, mulțimea B este mai mare. Totuși, ai observat sigur că mulțimea B conține exact aceleași elemente ca mulțimea A, doar că are în plus elementul 3. În acest caz putem spune că A este submulțime a lui B.

Dacă A este submulțime a lui B, atunci trebuie ca toate elementele conținute de mulțimea A să fie conținute și de mulțimea B. A fi submulțime este o relație și o scriem cu simbolul ⊆. Definiția formală:

$$A\subseteq B\iff \mathrm{\forall }x\in A:x\in B$$

De obicei se presupune că mulțimile A și B pot fi egale și tot va fi adevărat că A ⊆ B. Dacă vrem să exprimăm varianta strictă a submulțimii, folosim un alt simbol: ⊂. Atunci, dacă A ⊂ B, mulțimea B trebuie să fie mai mare (dacă este finită), adică trebuie să conțină un element pe care mulțimea A nu îl conține. O astfel de mulțime o numim „submulțime proprie”. Deci, dacă A ⊂ B, atunci A este submulțime proprie a lui B. Atenție: în manualele din România ⊂ notează adesea incluziunea obișnuită (nestrictă); în acest articol însă le deosebim – ⊆ este incluziunea, iar ⊂ incluziunea strictă. Definiția submulțimii proprii:

$$A\subset B\iff (A\subseteq B\wedge A\ne B)$$

Definiția este aceeași ca la submulțimea obișnuită, doar că cele două mulțimi nu au voie să fie egale. Câteva exemple:

$$\begin{array}{rcl}\{a,h,o\}& \subseteq & \{a,h,o,j\}\\ \{a,h,o\}& \subset & \{a,h,o,j\}\\ \{2,4,6\}& \subseteq & \{2,4,6,8,\dots \}\\ \{2,4,6\}& \subset & \{2,4,6,8,\dots \}\\ \{1,2,3\}& ⊈& \{1,3\}\\ \{1,2,3\}& \not\subset & \{1,3\}\\ \{0,1\}& \subseteq & \{0,1\}\\ \{0,1\}& \not\subset & \{0,1\}\\ \varnothing & \subseteq & \left\{\pi \right\}\\ \varnothing & \subset & \left\{\pi \right\}\\ \varnothing & \subseteq & \left\{\varnothing \right\}\\ \varnothing & \subset & \left\{\varnothing \right\}\\ \left\{0\right\}& ⊈& \varnothing \\ \left\{0\right\}& \not\subset & \varnothing \\ \{\diamond ,△,\odot ,‡,\wr \}& \subseteq & \{\diamond ,△,\odot ,‡,\wr ,\star ,\bullet ,\mp \}\\ \{\diamond ,△,\odot ,‡,\wr \}& \subset & \{\diamond ,△,\odot ,‡,\wr ,\star ,\bullet ,\mp \}\end{array}$$

Proprietățile submulțimii:

• A ⊆ A: o mulțime este întotdeauna submulțime a ei înseși.
• A ⊄ A: o mulțime nu este niciodată submulțime proprie a ei înseși.
• ∅ ⊆ A: mulțimea vidă este submulțime a oricărei mulțimi.
• A ⊄ ∅: mulțimea vidă nu are nicio submulțime proprie.

Cu ajutorul submulțimilor putem scrie egalitatea mulțimilor:

$$A=B\iff A\subseteq B\wedge B\subseteq A$$

Dacă cele două mulțimi sunt egale, atunci fiecare este submulțime a celeilalte.

Submulțimea o mai putem numi și „incluziune”.

Mulțimea părților

Mulțimea părților unei mulțimi este mulțimea tuturor submulțimilor mulțimii date. Se notează de obicei fie $\mathcal{P}(M)$, fie 2^M.

Exemplu: M = {1, 2, 3}. Care sunt toate submulțimile? Cu siguranță submulțimea vidă și mulțimea M însăși. Apoi: {1}, {2}, {3}, {1, 2}, {1, 3}, {2, 3}. Toate aceste mulțimi formează mulțimea părților mulțimii M. Scriem: $\mathcal{P}(M)=\{\varnothing ,M,\left\{1\right\},\left\{2\right\},\left\{3\right\},\{1,2\},\{1,3\},\{2,3\}\}$.

Deoarece mulțimea vidă este submulțime a oricărei mulțimi, iar M este întotdeauna submulțime a lui M, va fi mereu adevărat că $\varnothing \in \mathcal{P}(M)$ și $M\in \mathcal{P}(M)$.

Cum scriem o mulțime

Un mod l-am menționat deja: enumerarea simplă a elementelor. Folosim pentru aceasta acolade. M = {1, 2, 3} sau N = {a, b, c, d} etc. Dacă scriem o mulțime infinită, putem folosi trei puncte, atunci când este clar cum continuă șirul de elemente: M = {1, 2, 3, …}

Principalul mod de a scrie o mulțime este proprietatea caracteristică a mulțimii. În general, scrierea ar arăta astfel: {x ∈ X | P(x)}, unde X este mulțimea din care alegem elementele, iar P(x) este o formulă care precizează elementele mulțimii. Formula poate fi scrisă pur matematic sau în cuvinte. În locul lui „|” se folosește și punct și virgulă: „;”.

De exemplu: „fie mulțimea M formată din toate numerele care indică o zi a lunii”. O lună are cel mult 31 de zile, deci o astfel de mulțime ar avea 31 de elemente, de la 1 la 31. Am putea-o scrie cu trei puncte astfel: M = {1, 2, 3, …, 30, 31}. Altă scriere a aceleiași mulțimi ar putea arăta așa: {x ∈ ℤ | x este ziua unei luni}, unde ℤ notează mulțimea numerelor întregi.

Un exemplu mai matematic ar putea suna: „fie mulțimea P formată din toate numerele pozitive divizibile cu cinci”. Atunci mulțimea ar arăta astfel: P = {5, 10, 15, 20, 25,…}

Să încercăm să scriem matematic mulțimea T a numerelor naturale mai mici decât zece: T = {x ∈ ℕ | x<10}. Această scriere ne spune: mulțimea T este formată din elementele x pe care le luăm din mulțimea numerelor naturale și care îndeplinesc condiția de a fi mai mici decât 10. Ne uităm deci la numerele naturale și le păstrăm doar pe cele mai mici decât zece: {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} (în România ℕ îl conține pe 0; dacă ai lucra cu ℕ^∗, ar lipsi 0). Și gata.

Alt exemplu: Y = {x ∈ ℤ | x ≠ 0}. Am definit mulțimea Y, care conține elementele x pe care le luăm din numerele întregi, iar singura condiție pe care trebuie să o îndeplinească x este să nu fie zero. Mulțimea Y conține deci toate numerele întregi cu excepția lui zero.

Alt exemplu: G = {x ∈ ℝ | x · x = x}. Mulțimea G conține elementele x pe care le luăm din numerele reale și pentru toate elementele x trebuie să fie adevărat că, înmulțite cu ele însele, obținem din nou numărul x. De exemplu, putem încerca numărul 5. Conform definiției ar trebui să avem egalitatea 5 · 5 = 5. Evident, aceasta nu este adevărată, deci numărul 5 nu va fi element al mulțimii G. Încercăm unu: 1 · 1 = 1. Pentru el este evident adevărat, deci unu va fi element al mulțimii G. Al doilea și totodată ultimul element va fi numărul zero. Pentru niciun alt număr nu va mai fi adevărat. Putem scrie: G = {0, 1}.

Și ultimul exemplu. Scriu ceva mai complicat, ca să vezi că proprietatea caracteristică poate fi și complicată:

$$X=\{x\in \mathbb{R}|(x^2=2x)\vee (\sin (x)=\pi \wedge \cos (x)=\pi )\}$$

În practică, mulțimea este definită cel mai des prin proprietatea caracteristică și se poate spune că o mare parte dintre noțiunile din matematică sunt definite cu ajutorul mulțimilor. Dacă luăm un interval, putem spune că intervalul (a, b) este mulțimea I pentru care are loc:

$$I=\{x\in \mathbb{R}|(x>a)\wedge (x<b)\}$$

Sunt toate elementele din mulțimea numerelor reale care sunt mai mari decât a și mai mici decât b, exact ceea ce exprimă intervalul.

Alte surse

• Bělohlávek, Vychodil: Diskrétní matematika 1 (în limba cehă)
• Wikipedia