Numere complexe

Numerele complexe sunt o extindere a numerelor reale. În mulțimea numerelor reale putem efectua majoritatea operațiilor clasice: adunarea, scăderea, înmulțirea și împărțirea (cu excepția împărțirii la zero). Putem calcula și radicali, dar numai din numere nenegative. Aici apare o lacună, de exemplu atunci când rezolvăm o ecuație de gradul al doilea și obținem un discriminant negativ. Această lacună este acoperită de numerele complexe.

Ce este un număr complex

Numerele complexe se deosebesc de numerele obișnuite mai ales prin faptul că au două părți – una reală și una imaginară. Un număr complex este o pereche ordonată de numere (x, y), unde numărul x este partea reală, iar numărul y este partea imaginară. Dacă partea reală este nulă, numărul complex se numește pur imaginar. Numerele x și y sunt ele însele reale.

Mulțimea numerelor complexe se notează cu litera mare ℂ.

Egalitatea numerelor complexe: spre deosebire de numerele obișnuite, numerele complexe au două componente. Dacă două numere complexe trebuie să fie egale, ele trebuie să fie egale în ambele componente. Numerele complexe următoare sunt deci diferite între ele: (2, 3) ≠ (0, 3) ≠ (2, 0). Numerele complexe z₁ = (1, 2) și z₂ = (1, 2) sunt egale: z₁ = z₂.

Forma algebrică și unitatea imaginară

Numerele complexe se scriu mai des în forma algebrică, care arată astfel. Numărul complex (x, y) are forma algebrică x + yi, unde i se numește unitatea imaginară. Pentru pătratul unității imaginare avem o relație foarte importantă:

$$i^2=-1$$

Această egalitate o vom folosi des în continuare, împreună cu celelalte puteri ale lui i. Puterile mai mari se pot calcula în mod obișnuit. De exemplu, dacă vrem să simplificăm i³, putem descompune expresia după regulile de calcul cu puteri în i² · i. Știm deja că i² este egal cu minus unu. Pe al doilea i nu îl mai putem descompune, deci obținem: i³ = −i.

$$i^3=\underset{-1}{\underbrace{i^2}}\cdot \underset{i}{\underbrace{i}}=-i$$

La fel pentru i⁴. Îl putem descompune în i² · i², iar cum i² = −1, obținem: −1 · (−1) = 1.

$$i^4=\underset{-1}{\underbrace{i^2}}\cdot \underset{-1}{\underbrace{i^2}}=(-1)\cdot (-1)=1$$

Deci i⁴ = 1. Putem folosi acest fapt când calculăm puteri și mai mari ale unității imaginare. De exemplu, pentru i⁷ îl putem descompune în i⁴ · i³. Știm că i⁴ = 1, deci obținem 1 · i³. Și știm că i³ = −i. Rezultatul este: 1 · (−i) = −i.

Adunarea și înmulțirea

Numerele complexe se pot aduna și înmulți. La adunarea a două numere complexe z₁ și z₂ adunăm separat părțile reale și părțile imaginare:

$$z_1+z_2=(x_1+y_{1}i)+(x_2+y_{2}i)=(x_1+x_2)+(y_1+y_2)i$$

Exemplu: z₁ = 3 + 7i și z₂ = 5 + 8i. Suma arată astfel: z₁ + z₂ = (3 + 5) + (7 + 8)i = 8 + 15i.

Produsul a două numere complexe este ceva mai complicat, dar se poate calcula ca o înmulțire obișnuită de paranteze. Formula de bază arată astfel:

$$z_1\cdot z_2=(x_1+y_{1}i)\cdot (x_2+y_{2}i)=(x_1{x}_2-y_1{y}_2)+(x_1{y}_2+x_2{y}_1)i$$

Și cum am ajuns la ea? Încercăm să înmulțim z₁ · z₂ la fel ca pe o paranteză obișnuită. Obținem:

$$z_1\cdot z_2=x_1{x}_2+x_1{y}_{2}i+x_2{y}_{1}i+y_1{y}_2{i}^2$$

Deoarece i² = −1, după ce transformăm ultimul termen obținem:

$$z_1\cdot z_2=x_1{x}_2+x_1{y}_{2}i+x_2{y}_{1}i-y_1{y}_2$$

Iar acum grupăm termenii fără unitatea imaginară și pe cei cu ea:

$$z_1\cdot z_2=(x_1{x}_2-y_1{y}_2)+(x_1{y}_2+x_2{y}_1)i$$

Exemplu. Să înmulțim numerele 5 + 6i și 4 + 7i. Obținem:

$$(5+6i)\cdot (4+7i)=20+35i+24i+42i^2=20+59i-42=-22+59i$$

Opusul, inversul și conjugatul unui număr complex

• Opusul numărului complex x + yi are forma −x − yi. Ca în cazul numerelor reale, obținem opusul înmulțind numărul complex dat cu minus unu. Exemplu: opusul lui 2 + 7i este −2 − 7i. Opusul lui −5 + 8i este 5 − 8i etc.

• Inversul numărului complex x + yi are forma $\frac{1}{x+yi}$. Inversul numărului 4 − 2i are deci forma $\frac{1}{4-2i}$.

• Conjugatul numărului x + yi are forma x − yi. Se notează de obicei cu o bară deasupra, astfel: $\bar{z}$, sau cu o steluță z^∗. Acest număr se numește conjugatul numărului complex z. Conjugatul numărului 2 + 9i este numărul 2 − 9i.

Scăderea și împărțirea

Odată ce am definit opusul și inversul, putem defini și operațiile de scădere și împărțire. Dacă vrem să scădem două numere complexe, z₁ − z₂, adunăm la z₁ opusul lui z₂. În practică obținem o formulă simplă:

$$z_1-z_2=(x_1+y_{1}i)-(x_2+y_{2}i)=(x_1-x_2)+(y_1-y_2)i$$

La fel, împărțirea z₁ / z₂ o transformăm în înmulțire: calculăm z₁ · z₂′, unde z₂′ este inversul numărului z₂.

Modulul

Modulul numărului complex z se calculează cu formula:

$$|z|=\sqrt{x^2+y^2}=\sqrt{z\cdot \bar{z}}$$

(Sub radicalul din a doua formă, al doilea z este conjugatul lui z.) Semnificația acestei formule se vede bine în reprezentarea geometrică a numerelor complexe.

Orice număr complex al cărui modul este egal cu unu se numește număr complex de modul 1. Exemple de numere complexe de modul 1: 1, i, $\frac{\sqrt{2}}{2}+\frac{\sqrt{2}}{2}i$.

Proprietățile modulului:

• Modulul unui număr complex este un număr real.
• |z| ≥ 0
• $|z|=|-z|=|\bar{z}|$, unde $\bar{z}$ este conjugatul lui z.