Numere întregi

Numerele întregi sunt numerele care nu au parte zecimală; ele conțin numerele naturale și opusele lor (numerele negative).

Proprietăți

Numerele întregi formează o mulțime care conține numerele …, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, … Mulțimea se notează de obicei cu litera Z cu linia din mijloc dublată: ℤ, de la cuvântul german „Zahlen” (numere). Numerele întregi formează o mulțime infinită și numărabilă.

Numerele întregi au, de exemplu, următoarele proprietăți:

1. Sunt închise față de adunare și înmulțire, la fel ca numerele naturale. Asta înseamnă că, dacă adunăm două numere întregi, obținem tot un număr întreg.
2. Spre deosebire de numerele naturale, numerele întregi sunt închise și față de scădere. Numerele naturale nu erau, pentru că diferența a două numere naturale putea fi un număr negativ. Pentru numerele întregi asta nu ne deranjează, pentru că ele conțin și numerele negative.
3. La fel ca numerele naturale, nu sunt închise față de împărțire. Încă se poate întâmpla ca, după împărțire, să obținem un număr care nu este întreg.
4. Pentru fiecare număr întreg c există opusul său −c. Dacă avem numărul 10, opusul său este −10. Pentru 55 este −55. La fel și pentru numerele negative: pentru −13 opusul este 13. Dacă avem numărul întreg c și opusul său −c, atunci suma lor este zero: c + (−c) = 0. De aceea opusul lui zero este tot zero.

Numere pare și impare

Numerele întregi se pot împărți în numere pare și numere impare. Numerele pare sunt cele divizibile cu doi, adică 2, −4, −8, 40, 124 etc. Numerele impare dau restul unu la împărțirea cu doi, adică sunt numerele −1, 1, 5, 19, −41 etc. Observă că și numerele negative sunt pare sau impare (adică −5 este într-adevăr impar) și că zero este număr par.

Proprietăți față de adunare: dacă adunăm două numere pare, obținem tot un număr par. Celelalte proprietăți se află în tabelul următor:

$$\begin{array}{rcl}\text{par}+\text{par}& =& \text{par}\\ \text{par}+\text{impar}& =& \text{impar}\\ \text{impar}+\text{impar}& =& \text{par}\end{array}$$

Un tabel asemănător pentru înmulțire:

$$\begin{array}{rcl}\text{par}\cdot \text{par}& =& \text{par}\\ \text{par}\cdot \text{impar}& =& \text{par}\\ \text{impar}\cdot \text{impar}& =& \text{impar}\end{array}$$

Împărțirea cu rest

Și pe mulțimea numerelor întregi putem defini împărțirea cu rest, la fel ca pentru numerele naturale, doar că trebuie să ținem seama de numerele negative. Definiția de bază arată de data aceasta astfel:

$$a=q\cdot b+r,a,q\in \mathbb{Z},b\in \mathbb{Z}\setminus \left\{0\right\},0\le r<|b|$$

În această expresie împărțim a:b, numărul q este câtul, iar numărul r este restul împărțirii. Numărul b trebuie să fie diferit de zero, nu putem împărți la zero. Restul trebuie să fie nenegativ și mai mic decât modulul lui b, ceea ce asigură că câtul și restul sunt unice.

Cum ar arăta o astfel de împărțire? Încercăm să împărțim −21:4. Numerele ar arăta așa:

$$-21=-6\cdot 4+3$$

Câtul este −6, iar restul este 3. Te poate surprinde că rezultatul este diferit față de cazul în care toate numerele ar fi pozitive:

$$21=5\cdot 4+1$$

Aici câtul ar fi 5, iar restul 1. Diferența vine tocmai de la numerele negative. La numerele pozitive căutăm mai întâi cel mai mare număr întreg care nu este mai mare decât 21 și se împarte exact la patru. Acesta este 20. De aceea împărțim 20:4 = 5 și obținem câtul 5. Restul îl obținem ca diferență 21 − 20.

La numerele negative procedăm la fel. Căutăm cel mai mare număr care nu este mai mare decât −21 și se împarte exact la 4. Numărul −20 este însă mai mare decât −21. De aceea cel mai mare număr care nu este mai mare decât −21 și se împarte exact la 4 este −24. Restul îl obținem din nou ca diferență −21 − (−24) = −21 + 24 = 3.

Articole conexe

• Divizibilitatea cu doi
• Divizibilitatea cu trei
• Divizibilitatea cu patru
• Divizibilitatea cu cinci
• Divizibilitatea cu șase
• Divizibilitatea cu șapte
• Divizibilitatea cu opt
• Divizibilitatea cu nouă
• Divizibilitatea cu zece
• Divizibilitatea cu unsprezece

Legături

• Wikipedia