Numere algebrice

Un număr care este rădăcină a unui polinom cu coeficienți întregi se numește număr algebric. Ce înseamnă asta în practică? Putem lua orice număr și juca cu el un joc matematic. Scopul jocului este să luăm un număr x și să-l reducem la zero, folosind doar adunarea, scăderea, înmulțirea și puterile, iar în transformări avem voie să folosim doar numere întregi. Pe exemple va fi mai clar.

Începem cu numărul 42. Cum l-am transforma ca să obținem zero? Putem scădea din el numărul întreg 42 și obținem zero (înmulțirea cu zero nu este permisă):

$42 - 42 = 0$

Pentru că am reușit să reducem numărul 42 la zero, numărul 42 este algebric. Asta a fost destul de banal. Ce zici de o fracție, de exemplu $\frac{7}{3}$ ? Pentru că putem lucra doar cu numere întregi, nu putem scădea din această fracție $\frac{7}{3}$ ca să obținem zero. Trebuie să ne descurcăm altfel. Mai întâi înmulțim fracția cu trei:

$3 \cdot \frac{7}{3} = \frac{3 \cdot 7}{3} = 7$

Am obținut un număr întreg, iar pe acesta știm să-l reducem la zero: scădem șapte. Putem scrie astfel

$3 \cdot \frac{7}{3} - 7 = 0$

și putem spune că fracția șapte treimi este tot un număr algebric. Luăm un număr și mai complicat, radicalul din doi: $\sqrt{2}$ . Nicio înmulțire sau adunare nu ne ajută, trebuie mai întâi să scăpăm de radical. Ridicăm expresia la pătrat:

${(\sqrt{2})}^{2} = 2$

Am obținut un număr întreg pe care știm să-l reducem la zero, scădem doi:

${(\sqrt{2})}^{2} - 2 = 0$

Și radicalul din doi, care este un număr irațional, este un număr algebric. Deocamdată pare că orice număr încercăm este algebric. Dar numărul lui Euler, numărul e? Și el este irațional, deci are o scriere zecimală infinită fără repetiții, asemănător radicalului din doi. Spre deosebire de radicalul din doi, nu există însă nicio cale de a-l reduce la zero cu operațiile pe care ni le-am permis. Orice am aduna cu numărul lui Euler, orice înmulțiri sau ridicări la putere am face, obținem mereu un alt număr irațional. De aceea numărul lui Euler nu este un număr algebric, ura!

La fel, nici numărul π (3,14) nu este algebric.

Numerele care nu sunt algebrice se numesc transcendente.

Definiția exactă

Pentru fiecare număr algebric trebuie deci să existe un polinom cu coeficienți întregi a cărui rădăcină este chiar acest număr algebric. Rădăcina unui polinom este numărul pentru care polinomul este egal cu zero. Revenind la exemplele de mai sus, pentru numărul 42 am obține ecuația

$x - 42 = 0$

și, pentru că rădăcina polinomului x − 42 este chiar x = 42, înseamnă că 42 este număr algebric. Pentru numărul rațional $\frac{7}{3}$ ar fi ecuația

$3 x - 7 = 0$

pentru că rădăcina polinomului 3x − 7 este chiar $x = \frac{7}{3}$ . Iar pentru radicalul din doi am obține

$x^{2} - 2 = 0$

pentru că rădăcina polinomului x² − 2 este chiar radicalul din doi. Pentru numărul lui Euler sau pentru π nu putem alcătui nicio astfel de ecuație sau de polinom, pentru că sunt numere transcendente și nu sunt numere algebrice.

Exemple de numere algebrice

Orice număr întreg este și algebric.
Orice număr rațional (fracție) este algebric.
Numerele iraționale sunt mai complicate. Cum am văzut, unele numere iraționale sunt algebrice, de exemplu radicalul din doi, dar altele nu sunt, cum este numărul lui Euler.
Orice radical de ordin n dintr-un număr întreg este algebric.
Raportul de aur este un număr algebric.

Legături și surse

« Anterior: Numere reale

Următor: Numere complexe »