Formarea pătratului perfect
Cu metoda formării pătratului perfect putem scrie funcția de gradul al doilea ax2 + bx + c în forma (x + m)2 + n.
Algoritmul formării pătratului perfect
Algoritmul folosește formula clasică pentru ridicarea la pătrat a unei paranteze:
Procedeul este următorul. Deocamdată presupunem că a = 1. Să ne imaginăm că avem funcția de gradul al doilea f(x) = x2 + 6x + 1 și vrem s-o aducem la forma (x + m)2 + n. Mai întâi determinăm valorile din prima paranteză: (x + m)2. Ce număr trebuie să punem în locul lui m? Conform formulei trebuie să fie valabilă egalitatea (x + m)2 = x2 + 2mx + m2. În funcția f avem x2, e în regulă. Dar în locul termenului de gradul întâi avem 6x. Ce valoare trebuie să alegem pentru m ca să avem 6x = 2mx? Evident trebuie să avem m = b/2 = 6/2 = 3. Pentru m vom pune deci întotdeauna jumătate din valoarea numărului b din funcția de gradul al doilea.
Am obținut astfel forma (x + 3)2 + n. Rămâne să determinăm numărul n. Știm deja că (x + m)2 = x2 + 2mx + m2. Partea x2 + 2mx este cea dorită, dar expresia m2 este în plus, în funcția f nu există nimic echivalent. De aceea scădem m2 din rezultatul de acum. Obținem forma (x + m)2 − m2, care, după desfacerea parantezelor, este egală cu x2 + 2mx + m2 − m2. După scădere avem deci doar x2 + 2mx.
În funcția f mai avem însă termenul liber c. Pur și simplu îl adunăm. Obținem forma (x + m)2 − m2 + c, după desfacerea parantezelor x2 + 2mx + m2 − m2 + c și după simplificare x2 + 2mx + c. Deoarece m = b/2, această expresie este egală cu x2 + bx + c, deci, după desfacerea parantezelor expresiei (x + m)2 − m2 + c, obținem înapoi funcția inițială – am calculat corect. (Repet că a = 1, nu lipsește nimic nicăieri.)
Pentru funcția-exemplu f obținem deci expresia sub formă de pătrat (x + 3)2 − 9 + 1 = (x + 3)2 − 8. Putem verifica desfăcând parantezele înapoi:
Metoda formării pătratului perfect se folosește, de exemplu, când vrei să desenezi graficul unei funcții de gradul al doilea.
Când a ≠ 1
În cazul în care avem o funcție pentru care nu este adevărat că a = 1, procedăm astfel: scoatem factor comun numărul a din toată funcția și continuăm cum știm deja. Exemplu:
Scoatem factor comun pe 2 din toată funcția:
Funcția din interiorul parantezei știm deja s-o aducem la pătrat.
Acest rezultat îl înlocuim în ecuația precedentă și obținem:
